连云港市赣马高级中学2022-2023学年高二数学上学期第二次阶段试卷（Word版附答案）

江苏省连云港市赣马高级中学2022-2023学年高二上学期

第二次阶段考试

数学试卷

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）

1．过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为(　　)

A．2x－y＋2＝0   B．x＋2y＋2＝0

C．2x－y－2＝0   D．2x＋y－2＝0

2．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)

A．3x＋4y＋5＝0   B．3x＋4y－5＝0

C．－3x＋4y－5＝0   D．－3x＋4y＋5＝0

3．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n等于(　　)

A．0              B．1           C．－1         D．2

4．已知P(－1,2)，Q(2,4)，直线l：y＝kx＋3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k等于(　　)

A.或6          B.              C．0            D．0或

5．直线x＋y＝0的倾斜角为(　　)

A．45°  B．60°  C．90°  D．135°

6．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0   B．x－2y＋1＝0

C．x＋2y－3＝0   D．2x－y－1＝0

7．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于(　　)

A.             B．2          C．2          D．4

8．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为(　　)

A．2x－y－5＝0   B．x－2y－1＝0

C．x－y－2＝0   D．x＋y－4＝0

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全对的5分，部分对的2分，有选错的0分．）

9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有(　　)

A．y－x＝1   B．y＋x＝3

C．y＝2x   D．y＝－2x

10．直线l1：m2x＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋(m－2)y＋m＝0，若l1∥l2，则m可以取的值为(　　)

A．－1            B．0          C．3           D．－2

11．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　)

A．(x－4)2＋(y－6)2＝6   B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6

C．(x－4)2＋(y－6)2＝36   D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是  (　　)

A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9

B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝

C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

D．在C上存在点M，使得MO＝2MA

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是______．

14．若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是______.

15．设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是_____.

16．设m为实数，若方程表示圆，则实数m的取值范围是________．

四、解答题（共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分．）

17．(10分)已知点A(－2,2)，直线l1：3x－4y＋2＝0.

(1)求过点A且与直线l1垂直的直线方程；

(2)直线l2为过点A且和直线l1平行的直线，求平行直线l1，l2间的距离．

18．(12分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3，3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.

19．(12分)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

20．(12分)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.

(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；

(2)过点M(－1，－2)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．

21．(12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．

22．(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4 m，高4 m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：≈3.74)

答案

1.C  解析　设该直线方程为2x－y＋m＝0，点(0，－2)在该直线上，则2×0＋2＋m＝0，m＝－2，即该直线方程为2x－y－2＝0.

2.A  解析　设所求直线上任意一点(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.

3.A 解析　所给两条直线平行，所以n＝－2.两条平行直线间的距离d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0.

4. D 解析　由题可知＝，解得k＝0或.

5．D 解析　因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°.

6．D 解析　圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝＝－，直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

7．B 解析　圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以弦长为2＝2.

8．D 解析　由条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，直线AC的斜率k＝1，则直线l的方程为y－1＝(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0.

9．AC 解析　当直线过原点时，斜率为＝2，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入点(1,2)可得－＝1，解得a＝－1，故方程为x－y＋1＝0.故所求直线方程为y＝2x或y－x＝1.

10．AB 解析　由m2(m－2)－3m＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝3.经验证，当m＝3时，两条直线重合，舍去．所以m＝0或m＝－1.

11．CD 解析　设圆心(a，b)，则b＝6.由＝5，得a＝±4，圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.

12．BC 解析　设P(x，y)，则＝，化简得(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，设D(m,0)，E(n,0)，则＝2，化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，所以B正确；

当A，B，P三点不共线时，＝＝可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；

若在C上存在点M，使得MO＝2MA，可设M(x，y)，则有＝2，

化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．

13．－ 解析　表示点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率，又点P(x，y)在线段AB上，由图知，

当点P与点B重合时，有最大值，又kBQ＝＝－，因此的最大值为－.

14．－11≤k≤－1且k≠－6 解析　因为两平行直线2x＋y－4＝0与2x＋y＋k＋2＝0的距离不大于，所以k＋2≠－4，且≤，求得－11≤k≤－1且k≠－6.

15．或. 解析　，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，与曲线有且只有一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.综上可知：或.

16． 解析　由，解得.所以m的取值范围为.

17．解　(1)设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x＋3y＋m＝0.……2分

把点A的坐标代入可得－8＋6＋m＝0，解得m＝2.             ……4分

所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x＋3y＋2＝0.        ……5分

(2)设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为3x－4y＋n＝0.    ……6分

把点A的坐标代入可得－6－8＋n＝0，解得n＝14，          

所以直线l2的方程为3x－4y＋14＝0，                        ……8分

所以平行直线l1，l2间的距离d＝＝.              ……10分

18.解　设点P的坐标为(a,0)(a>0)，点P到直线AB的距离为d，

由已知，得S△ABP＝AB·d＝·d＝5，解得d＝2.         ……4分

由已知易得，直线AB的方程为x－2y＋3＝0，所以d＝＝2，  ……8分

解得a＝7或a＝－13(舍去)，所以点P的坐标为(7,0)．                   ……12分

19．解　(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，           ……2分

整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.                          ……5分

(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，  ……7分

由点到直线的距离公式得＝3，即＝3，  ……9分

解得C＝1或C＝－29，                                       ……11分

故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.               ……12分

20.(1)证明　因为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，由题意得……2分

解得所以直线l恒过定点(－1，－2)．         ……4分

(2)解　设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，            ……6分

直线l1与x轴、y轴交于A，B两点，

则A，B(0，k－2)，                           ……8分

因为AB的中点为M，所以，解得k＝－2，……10分

所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.                        ……12分

21.解　设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，……4分

即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，……6分

圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，……10分

因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.……12分

22.解　如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A(2，0)，B(0,4)，……3分

由MA＝MB得，m＝－，则圆的方程为x2＋2＝2，……8分

所以当x＝2.5时，y＝－≈3.24<3.5.……11分

即一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道．……12分