初中数学中考复习 第三讲 代数计算与化简求值（原卷版）

代数计算在初中阶段是重点，是其它知识计算的基石，在历年中考考试中，往往以大题第一题的形式进行考察，也有在选择填空中考察的题，这部分难度较易，但是需要细心，往往有很多学生因为符号、去绝对值、三角函数值记忆不清等出错丢分。

二次根式主要围绕二次根式的乘除法、加减法运算，最简二次根式进行考察，需要格外注意最简二次根式中涉及的分母有理化。

分式计算是学生的难点，这部分内容主要围绕因式分解进行考察，结合分式的加减法运算。

1、整式：单项式和多项式统称为整式。

（1）单项式：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

（2)多项式：单项式的和叫做多项式。每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项，单项式的次数是几，就叫几次项。一个多项式中有几项，就叫 几项式。多项式里次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
  （3）同类项：字母相同、字母的指数也相同叫同类项。同类项与系数、字母位置无关。合并是指同类项的系数相加作为新的系数，同类项的字母和字母的指数不变。

2、整式的运算

（1）整式的加减法运算：

①几个整式相加减，用括号把每个整式括起来，用加减号连接；然后去括号、合并同类项。
②化简求值的步骤：去括号合并同类项化到最简代入特殊值

（2）绝对值运算

（3）指数幂运算

①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用公式： 

②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。逆用公式：

③：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用公式：

④：积的乘方，等于积的因式乘方积。 逆用公式：

⑤任何不等于0的数的0次幂都等于1。即

⑥负整数指数幂：

（4）整式乘除法运算：

①单项式的乘除法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式;单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

②单项式与多项式相乘的法则:  单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即

③多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.

 例1  计算：

【规范答题】原式；

 例2  计算：

【规范答题】；

 1  计算：．

 2  

 3  ；

 4  计算：；

 5  计算：．

 6  计算：．

1、二次根式的性质:

（1）语言描述：双重非负性。①根号下被开方数不为负数；②根号结果不为负数。

（2）性质运算：            

2、二次根式的计算

3、最简二次根式：满足以下条件的根式叫最简二次根式

   ①被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

4、二次根式的运算法则

（1）乘除法法则：算术平方根的积等于积的算术平方根：，[来源:Z。xx。k.Com]

算术平方根的商等于商的算术平方根．，

（2）加减法法则：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并．二次根式进行加减运算时，实数的运算法则、运算律仍然适用．

5、分母有理化：指将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去．

（1）单项式分母的分母有理化（运用有理化）：

（2）多项式分母的分母有理化（运用平方差公式）：

 例3  计算：（1） 　        (2)

【规范答题】

（1）原式=
　　         
      （2）=.

 例4  已知是的整数部分，，求的平方根．

【规范答题】，，，，

，的平方根是；

 7  计算：

 8  计算：．

 9  计算：（1）；          （2）；

 10  计算：（1）；（2）；（3）；

 11  计算：（1）；（2）；（3）．

 12  计算：．

[来源:Z§xx§k.Com]

 13  计算：．

 14  计算：．

1、三角函数值表

 例5  计算：．              

【规范答题】

（1）．

（2）原式[来源:学。科。网Z。X。X。K]

 15  计算下列代数式的值：

（1）                    （2）  

 16  计算下列代数式的值：

（1）                    （2）．

 17  计算下列代数式的值：

（1）                  （2）

 18  计算：．

 19  计算：．

 20  计算：．

 21  计算：．

[来源:学科网]

 22  计算：．

 23  计算：．

 24  计算：．

 25  计算：．

 26  计算：．

1、分式定义：如果表示两个整数，并且中含有字母，那么式子叫做分式。

2、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为        分式无意义：分母为

②分式值为：分子为且分母不为,

3、分式的性质

①基本性质：,为不等于的整式.
②最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

4、分式的运算

（1）分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，.

★关于通分：单项式分母以数字最小公倍数和字母最高次项的积为公分母。

多项式先进行因式分解，然后以公因式和各项的独因式积为公分母。

整式与分式相加减时，对整式进行通分，以分式的分母为分母，整式乘分母为分子。

（2）分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，

★①分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘。

②整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分。

 例6  计算：（1）；      （2）．

【规范答题】

（1）原式；

（2）原式

．

 27  化简．

 28  化简下列分式：

（1）

（2）

 29  化简下列分式：．

 30  若则的值为         .

 例7  先化简，再求值：，其中。

【规范答题】当时，，

原式

 31  先化简， 再求值：

（1），其中       （2），是的解．

 32  （1），其中．          （2），其中．

[来源:学科网]

 33  （1），其中      （2），满足

 34  先化简，再求值：，其中．

 35  先化简，再求值：，其中．

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 36  先化简，再求值：，其中．

 37  先化简，再求值：，其中．

 38  先化简，再求值：，其中．