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七年级数学下册压轴题专题 整式的乘法压轴题十种模型
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这是一份七年级数学下册压轴题专题 整式的乘法压轴题十种模型，共33页。
专题 整式的乘法压轴题十种模型
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 计算单项式乘单项式】 1
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】 2
【考点三 单项式乘多项式的应用】 3
【考点四 计算多项式乘多项式】 5
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 6
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】 8
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】 9
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】 11
【考点十 整式乘法混合运算】 12
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2022·四川·华蓥市第二中学八年级期末）计算：等于___________．
【变式训练】
1．（2022·河南师大附中八年级期中）计算_________
2．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）计算___________
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】
例题：（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）计算：____________．
【变式训练】
1．（2022·福建省永春第二中学八年级阶段练习）计算：__________．
2．（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【考点三 单项式乘多项式的应用】
例题：（2022·山东·郯城县育才中学七年级阶段练习）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）．
(1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S；
(2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值．
2．（2022·河南·鹤壁市致远中小学七年级期中）某校要用36米长的围栏搭建一个长方形花圃，花圃一边靠足够长的墙，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用围栏制作），设长方形花圃的宽为x米．
(1)用含x的代数式表示长方形花圃的长__________米．
(2)用含x的代数式表示长方形花圃的面积．
(3)当时，求长方形花圃的面积．
【考点四 计算多项式乘多项式】
例题：（2022·上海市市西中学七年级期中）计算：．
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
2．（2022·上海市第三女子初级中学七年级期中）计算：
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）若，则______．
【变式训练】
1．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）若，则的结果为___________．
2．（2022·上海市西延安中学七年级期中）若p、q、r均为整数，且，则r的值为___________．
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷）已知的结果中不含项，则m=__________．
【变式训练】
1．（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）如果的结果中不含有一次项，那么常数m的值为____________．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2022·上海青浦兰生学校七年级期中）化简并求值；其中，
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
2．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）已知展开式中不含和项．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，求代数式的值．
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2022·河南·测试·编辑教研五七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为440元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【变式训练】
1．（2022·陕西渭南·八年级期末）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）．
(1)求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
(2)若，求铺设地砖的面积．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2022·辽宁·鞍山市第三十六中学八年级阶段练习）观察以下等式：
；
；
．
(1)按以上等式的规律，填空： ＝；
(2)利用（1）中的公式化简：．
【变式训练】
1．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
【考点十 整式乘法混合运算】
例题：（2022·重庆·八年级期中）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期中）计算：
(1)； (2)．
3．（2021·北京·中国农业大学附属中学八年级期中）计算：
(1) (2)；
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）计算的结果（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021春·山东济南·七年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．
4．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
二、填空题
6．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）计算：__________．
7．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
8．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知，，则的值为___________．
9．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知二次三项式与的乘积展开式中不含项，也不含项，则_______．
10．（2022春·广东茂名·七年级统考期中）小明在计算一道整式乘法的题：，因为把“”抄成了“”，得到的结果是，则m的值为______．
三、解答题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
12．（2022春·黑龙江大庆·六年级校考期中）计算．
(1) (2)
13．（2022秋·宁夏吴忠·八年级校考期中）先化简，再求值：其中．
14．（2022春·广西桂林·七年级校考期中）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
15．（2021秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含项与项．
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
16．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
18．（2022秋·上海·七年级校考期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按规定请写出的结果；
(3)当a取的相反数时，请计算的值．
专题 整式的乘法压轴题十种模型
【考点导航】
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【典型例题】 1
【考点一 计算单项式乘单项式】 1
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】 2
【考点三 单项式乘多项式的应用】 3
【考点四 计算多项式乘多项式】 5
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 6
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】 8
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】 9
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】 11
【考点十 整式乘法混合运算】 12
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2022·四川·华蓥市第二中学八年级期末）计算：等于___________．
【答案】##
【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南师大附中八年级期中）计算_________
【答案】
【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再用单项式乘多项式进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘多项式运算法则进行计算即可．
2．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）计算___________
【答案】
【分析】根据幂的乘方运算、单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的乘法、幂的乘方，解本题的关键在熟练掌握运算法则．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】
例题：（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）计算：____________．
【答案】
【分析】根据整式的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查单项式乘多项式，解题关键是熟练掌握计算法则．
【变式训练】
1．（2022·福建省永春第二中学八年级阶段练习）计算：__________．
【答案】
【分析】把单项式乘多项式的每一项，即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式法则是关键．
2．（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【答案】##
【分析】根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以单项式的知识，掌握多项式乘以单项式的运算法则是解答本题的关键．
【考点三 单项式乘多项式的应用】
例题：（2022·山东·郯城县育才中学七年级阶段练习）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)50
【分析】（1）延长，交于点H，用大长方形的面积减去三个三角形的面积即可得出答案；
（2）把，代入（1）中得出的代数式，即可求出结果．
【详解】（1）解：延长，交于点H，如图所示：
；
（2）解：把，代入得：
．
【点睛】本题主要考查了列代数式，以及代数式求值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握割补法．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）．
(1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S；
(2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值．
【答案】(1)周长，面积
(2)840000元
【分析】（1）所有的边数之和即是广场的周长；求出大长方形的面积，再减去空白部分的面积即可求出广场的面积；
（2）代入求值得出阴影部分面积，总面积乘以每平米费用即可得出总费用．
【详解】（1）根据题意有，
解：广场的周长：，
广场的面积：；
∴；
（2）解：当米，米时，
（平方米），
（元），
∴修建广场的总费用W的值为840000元．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，单项式与多项式的乘法，以及代数式求值知识点，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
2．（2022·河南·鹤壁市致远中小学七年级期中）某校要用36米长的围栏搭建一个长方形花圃，花圃一边靠足够长的墙，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用围栏制作），设长方形花圃的宽为x米．
(1)用含x的代数式表示长方形花圃的长__________米．
(2)用含x的代数式表示长方形花圃的面积．
(3)当时，求长方形花圃的面积．
【答案】(1)
(2)平方米
(3)112平方米
【分析】（1）长方形花圃的宽为x米，根据在如图所示的两处各留1米宽的门，可得长方形花圃的长为米，即可求解；
（2）根据长方形的面积公式计算，即可；
（3）把代入（2）中的结果，即可．
【详解】（1）解：设长方形花圃的宽为x米，
则长方形花圃的长为米；
故答案为：
（2）解：根据题意得：长方形花圃的面积为
平方米；
（3）解：当时，平方米．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到长方形花圃的长是解题的关键．
【考点四 计算多项式乘多项式】
例题：（2022·上海市市西中学七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】按多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握运算法则是关键，注意不要漏乘项．
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式可进行求解．
【详解】解：==．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
2．（2022·上海市第三女子初级中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式运算法则去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）若，则______．
【答案】5
【分析】根据整式的乘法展开，得到关于的方程，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则．
【变式训练】
1．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）若，则的结果为___________．
【答案】21
【分析】根据多项式的乘法法则以及等式的性质求得m的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，代数式的求值，掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
2．（2022·上海市西延安中学七年级期中）若p、q、r均为整数，且，则r的值为___________．
【答案】2或或14或-14
【分析】将展开，根据结果得到，，再结合p，q的范围求出具体值，代入计算可得r值．
【详解】解：，
则，，
p、q、r均为整数，
，或，，,或，，
或，
故答案为：2或或14或-14．
【点睛】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的p，q值．
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷）已知的结果中不含项，则m=__________．
【答案】6
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合不含项，即其系数为0，即可求出的值．
【详解】
∵的结果中不含项，
∴
解得：
故答案为：6
【点睛】本题考查多项式乘多项式，明确不含项，则其系数为0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）如果的结果中不含有一次项，那么常数m的值为____________．
【答案】
【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，令x的一次项的系数为0，可求出m的值．
【详解】∵
又∵结果中不含的一次项
∴
解得：．
故填：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当多项式中不含有哪一项时，即这一项的系数为0．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【答案】12
【分析】先化简与的乘积，再另和的项的系数等于零即可解得．
【详解】解：．
积中不含和的项，
．
，．
．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的化简，熟知多项式不含某项即为某项的系数等于零是解题的关键．
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2022·上海青浦兰生学校七年级期中）化简并求值；其中，
【答案】，
【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当，时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算多项式乘多项式，以及积的乘方，再合并同类项，进行化简，然后代值计算即可．
【详解】原式 ，
当时，
原式 ．
【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握多项式乘多项式，积的乘方以及合并同类项的法则，正确的化简，是解题的关键．
2．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）已知展开式中不含和项．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，再由题意所要求的对应项系数为零，即可求得m与n的值；
（2）利用多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，再把m与n的值代入化简后的式子中计算求值即可．
【详解】（1）解：，
根据展开式中不含和项得：，，
解得：，，
即，；
（2）解：，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，正确运算是关键，注意相乘的两个多项式项数较多，不要漏乘项．
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2022·河南·测试·编辑教研五七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为440元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】(1)平方米
(2)24200元
【分析】（1）根据图形用大长方形的面积减去小长方形的面积即可求解；
（2）将，，代入代数式，乘以400，即可求解．
【详解】（1）解：
（平方米），
∴用含a，b的整式表示花坛的面积为平方米；
（2）当，时，
建花坛的总工程费为：
（元），
答：建花坛的总工程费为24200元．
【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积，代数式求值，根据题意列出代数式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西渭南·八年级期末）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）．
(1)求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
(2)若，求铺设地砖的面积．
【答案】(1)平方米
(2)铺设地砖的面积为225平方米．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：由题可知，铺设地砖的面积为：
（平方米）；
（2）解：∵，
∴原式（平方米）．
答：铺设地砖的面积为225平方米．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【答案】(1)平方米
(2)3900元
【分析】（1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可；
（2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用．
【详解】（1）解：长方形地块的面积为：，
中间预留部分的面积为：，
，
因此绿化的面积S为平方米；
（2）解：由题意知，（平方米），
（元），
因此完成绿化共需要3900元．
【点睛】本题考查列代数式、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积．
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2022·辽宁·鞍山市第三十六中学八年级阶段练习）观察以下等式：
；
；
．
(1)按以上等式的规律，填空： ＝；
(2)利用（1）中的公式化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据各个等式所呈现的规律得出答案；
（2）利用（1）中的公式进行计算即可．
【详解】（1）由各个等式所呈现的规律得，，
故答案为：；
（2）原式＝==
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是解决问题的前提，发现各个等式所呈现的规律是得出答案的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）由所给等式可归纳出，由此可解；
（2）将所求代数式变形为，利用总结出来的规律即可求解．
【详解】（1）解：①由所给等式可知，
因此；
故答案为：；
②由题意可知，
因此；
故答案为：；
（2）解：，
．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是根据已知等式总结出规律．
【考点十 整式乘法混合运算】
例题：（2022·重庆·八年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：分别用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加即可求解；
（2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)x
(2)
【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ．
（2） ．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算法则，以及合并同类项是解本题的关键．
2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则进行计算；
（2）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2021·北京·中国农业大学附属中学八年级期中）计算：
(1) (2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用积的乘方运算法则，计算，用单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项；
（2）用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项；
（1）
解：；
（2）
，
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及知识点：积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）计算的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则及单项式乘多项式法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查单项式乘多项式及去括号：括号前面是负号去掉括号要变号．
2．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以单项式可判断A，B，再利用幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算了判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，幂的乘方运算，掌握“幂的运算法则与单项式乘以单项式的运算法则”是解本题的关键．
3．（2021春·山东济南·七年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，得到m，n的值，然后根据负整数指数幂的运算法则得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开式子，再合并，根据不含x的一次项，则含x的一次项的系数为0，即可求解．
【详解】解：
，
展开式中不含x的一次项，
，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项则这项的系数为0，属于基础题．
5．（2022秋·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
【答案】C
【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】解：大长方形的面积为，
类卡片的面积是，
∴需要类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张，
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键．
二、填空题
6．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）计算：__________．
【答案】
【分析】根据单项式乘以单项式运算法则：系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，结合同底数幂的乘法运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以单项式、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
7．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
【答案】
【分析】利用单项式乘以多项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算，解题的关键是要熟记运算法则．
8．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知，，则的值为___________．
【答案】7
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，再变形，整体代入数值即可求解．
【详解】∵，，
∴
．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知多项式乘法法则的变形应用．
9．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知二次三项式与的乘积展开式中不含项，也不含项，则_______．
【答案】
【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令三次项与一次项系数为，即可求出a与b的值，即可求得的值
【详解】∵
∵展开式中不含项，也不含项，
∴，
解得：，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．
10．（2022春·广东茂名·七年级统考期中）小明在计算一道整式乘法的题：，因为把“”抄成了“”，得到的结果是，则m的值为______．
【答案】2
【分析】根据错误的符号进行计算，即可得出的值．
【详解】解：
，
所以而且，
解得：．
故答案为2．
【点睛】本题是多项式乘多项式，熟练掌握法则是关键，同时本题要注意理解题意，根据错误的符号进行计算，得出相应结论．
三、解答题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
12．（2022春·黑龙江大庆·六年级校考期中）计算．
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式运算展开，再合并同类项；
（2）先在中括号里面去括号展开后，再进行合并同类项．
（1）
解：
．
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了整式加减法运算，多项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则．
13．（2022秋·宁夏吴忠·八年级校考期中）先化简，再求值：其中．
【答案】，
【分析】先根据单项式乘以多项式的计算法则化简，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．
14．（2022春·广西桂林·七年级校考期中）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据多项式的乘法进行化简，然后代入字母的值进行计算即可求解；
（2）根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入计算即可求解．
（1）
解：原式＝
，
当时，
原式
；
（2）
解：原式＝
，
当时
原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式化简求值，正确的计算是解题的关键．
15．（2021秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含项与项．
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)首先去括号，合并同类项，再根据积中不含项与项，可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可求得；
(2)把及p、q的值分别代入代数式，计算即可求得．
（1）
解：
的积中不含项与项，
解得，；
（2）
解：，，，
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值问题，解题的关键是正确求出p，q的值．
16．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
【答案】(1)型卡片的长为：，宽为：
(2)所拼成的长方形的面积为364
【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可；
（2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积．
【详解】（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：；
（2）所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答的关键是得出型卡片的长和宽．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的公式计算即可．
【详解】（1）解：
=
=；
=
=
故答案为：，．
（2）由（1）得
故答案为：．
（3）
=
=；
=
=．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式及探索规律题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
18．（2022秋·上海·七年级校考期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按规定请写出的结果；
(3)当a取的相反数时，请计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)264
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；
（3）将代入（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：的相反数是2，
当时，
．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．
专题 整式的乘法压轴题十种模型
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 计算单项式乘单项式】 1
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】 2
【考点三 单项式乘多项式的应用】 3
【考点四 计算多项式乘多项式】 5
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 6
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】 8
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】 9
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】 11
【考点十 整式乘法混合运算】 12
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2022·四川·华蓥市第二中学八年级期末）计算：等于___________．
【变式训练】
1．（2022·河南师大附中八年级期中）计算_________
2．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）计算___________
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】
例题：（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）计算：____________．
【变式训练】
1．（2022·福建省永春第二中学八年级阶段练习）计算：__________．
2．（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【考点三 单项式乘多项式的应用】
例题：（2022·山东·郯城县育才中学七年级阶段练习）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）．
(1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S；
(2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值．
2．（2022·河南·鹤壁市致远中小学七年级期中）某校要用36米长的围栏搭建一个长方形花圃，花圃一边靠足够长的墙，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用围栏制作），设长方形花圃的宽为x米．
(1)用含x的代数式表示长方形花圃的长__________米．
(2)用含x的代数式表示长方形花圃的面积．
(3)当时，求长方形花圃的面积．
【考点四 计算多项式乘多项式】
例题：（2022·上海市市西中学七年级期中）计算：．
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
2．（2022·上海市第三女子初级中学七年级期中）计算：
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）若，则______．
【变式训练】
1．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）若，则的结果为___________．
2．（2022·上海市西延安中学七年级期中）若p、q、r均为整数，且，则r的值为___________．
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷）已知的结果中不含项，则m=__________．
【变式训练】
1．（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）如果的结果中不含有一次项，那么常数m的值为____________．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2022·上海青浦兰生学校七年级期中）化简并求值；其中，
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
2．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）已知展开式中不含和项．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，求代数式的值．
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2022·河南·测试·编辑教研五七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为440元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【变式训练】
1．（2022·陕西渭南·八年级期末）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）．
(1)求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
(2)若，求铺设地砖的面积．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2022·辽宁·鞍山市第三十六中学八年级阶段练习）观察以下等式：
；
；
．
(1)按以上等式的规律，填空： ＝；
(2)利用（1）中的公式化简：．
【变式训练】
1．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
【考点十 整式乘法混合运算】
例题：（2022·重庆·八年级期中）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期中）计算：
(1)； (2)．
3．（2021·北京·中国农业大学附属中学八年级期中）计算：
(1) (2)；
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）计算的结果（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021春·山东济南·七年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．
4．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
二、填空题
6．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）计算：__________．
7．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
8．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知，，则的值为___________．
9．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知二次三项式与的乘积展开式中不含项，也不含项，则_______．
10．（2022春·广东茂名·七年级统考期中）小明在计算一道整式乘法的题：，因为把“”抄成了“”，得到的结果是，则m的值为______．
三、解答题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
12．（2022春·黑龙江大庆·六年级校考期中）计算．
(1) (2)
13．（2022秋·宁夏吴忠·八年级校考期中）先化简，再求值：其中．
14．（2022春·广西桂林·七年级校考期中）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
15．（2021秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含项与项．
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
16．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
18．（2022秋·上海·七年级校考期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按规定请写出的结果；
(3)当a取的相反数时，请计算的值．
专题 整式的乘法压轴题十种模型
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 计算单项式乘单项式】 1
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】 2
【考点三 单项式乘多项式的应用】 3
【考点四 计算多项式乘多项式】 5
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 6
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】 8
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】 9
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】 11
【考点十 整式乘法混合运算】 12
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2022·四川·华蓥市第二中学八年级期末）计算：等于___________．
【答案】##
【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南师大附中八年级期中）计算_________
【答案】
【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再用单项式乘多项式进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘多项式运算法则进行计算即可．
2．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）计算___________
【答案】
【分析】根据幂的乘方运算、单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的乘法、幂的乘方，解本题的关键在熟练掌握运算法则．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【考点二 计算单项式乘多项式及求值】
例题：（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）计算：____________．
【答案】
【分析】根据整式的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查单项式乘多项式，解题关键是熟练掌握计算法则．
【变式训练】
1．（2022·福建省永春第二中学八年级阶段练习）计算：__________．
【答案】
【分析】把单项式乘多项式的每一项，即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式法则是关键．
2．（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【答案】##
【分析】根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以单项式的知识，掌握多项式乘以单项式的运算法则是解答本题的关键．
【考点三 单项式乘多项式的应用】
例题：（2022·山东·郯城县育才中学七年级阶段练习）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)50
【分析】（1）延长，交于点H，用大长方形的面积减去三个三角形的面积即可得出答案；
（2）把，代入（1）中得出的代数式，即可求出结果．
【详解】（1）解：延长，交于点H，如图所示：
；
（2）解：把，代入得：
．
【点睛】本题主要考查了列代数式，以及代数式求值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握割补法．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）．
(1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的周长C和面积S；
(2)若米，米，修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W的值．
【答案】(1)周长，面积
(2)840000元
【分析】（1）所有的边数之和即是广场的周长；求出大长方形的面积，再减去空白部分的面积即可求出广场的面积；
（2）代入求值得出阴影部分面积，总面积乘以每平米费用即可得出总费用．
【详解】（1）根据题意有，
解：广场的周长：，
广场的面积：；
∴；
（2）解：当米，米时，
（平方米），
（元），
∴修建广场的总费用W的值为840000元．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，单项式与多项式的乘法，以及代数式求值知识点，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
2．（2022·河南·鹤壁市致远中小学七年级期中）某校要用36米长的围栏搭建一个长方形花圃，花圃一边靠足够长的墙，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用围栏制作），设长方形花圃的宽为x米．
(1)用含x的代数式表示长方形花圃的长__________米．
(2)用含x的代数式表示长方形花圃的面积．
(3)当时，求长方形花圃的面积．
【答案】(1)
(2)平方米
(3)112平方米
【分析】（1）长方形花圃的宽为x米，根据在如图所示的两处各留1米宽的门，可得长方形花圃的长为米，即可求解；
（2）根据长方形的面积公式计算，即可；
（3）把代入（2）中的结果，即可．
【详解】（1）解：设长方形花圃的宽为x米，
则长方形花圃的长为米；
故答案为：
（2）解：根据题意得：长方形花圃的面积为
平方米；
（3）解：当时，平方米．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到长方形花圃的长是解题的关键．
【考点四 计算多项式乘多项式】
例题：（2022·上海市市西中学七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】按多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握运算法则是关键，注意不要漏乘项．
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式可进行求解．
【详解】解：==．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
2．（2022·上海市第三女子初级中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式运算法则去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．
【考点五 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）若，则______．
【答案】5
【分析】根据整式的乘法展开，得到关于的方程，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则．
【变式训练】
1．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）若，则的结果为___________．
【答案】21
【分析】根据多项式的乘法法则以及等式的性质求得m的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，代数式的求值，掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
2．（2022·上海市西延安中学七年级期中）若p、q、r均为整数，且，则r的值为___________．
【答案】2或或14或-14
【分析】将展开，根据结果得到，，再结合p，q的范围求出具体值，代入计算可得r值．
【详解】解：，
则，，
p、q、r均为整数，
，或，，,或，，
或，
故答案为：2或或14或-14．
【点睛】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的p，q值．
【考点六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷）已知的结果中不含项，则m=__________．
【答案】6
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合不含项，即其系数为0，即可求出的值．
【详解】
∵的结果中不含项，
∴
解得：
故答案为：6
【点睛】本题考查多项式乘多项式，明确不含项，则其系数为0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海市宝山区上海大学附属中学实验学校七年级期中）如果的结果中不含有一次项，那么常数m的值为____________．
【答案】
【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，令x的一次项的系数为0，可求出m的值．
【详解】∵
又∵结果中不含的一次项
∴
解得：．
故填：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当多项式中不含有哪一项时，即这一项的系数为0．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【答案】12
【分析】先化简与的乘积，再另和的项的系数等于零即可解得．
【详解】解：．
积中不含和的项，
．
，．
．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的化简，熟知多项式不含某项即为某项的系数等于零是解题的关键．
【考点七 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2022·上海青浦兰生学校七年级期中）化简并求值；其中，
【答案】，
【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当，时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算多项式乘多项式，以及积的乘方，再合并同类项，进行化简，然后代值计算即可．
【详解】原式 ，
当时，
原式 ．
【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握多项式乘多项式，积的乘方以及合并同类项的法则，正确的化简，是解题的关键．
2．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）已知展开式中不含和项．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，再由题意所要求的对应项系数为零，即可求得m与n的值；
（2）利用多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，再把m与n的值代入化简后的式子中计算求值即可．
【详解】（1）解：，
根据展开式中不含和项得：，，
解得：，，
即，；
（2）解：，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，正确运算是关键，注意相乘的两个多项式项数较多，不要漏乘项．
【考点八 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2022·河南·测试·编辑教研五七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为440元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】(1)平方米
(2)24200元
【分析】（1）根据图形用大长方形的面积减去小长方形的面积即可求解；
（2）将，，代入代数式，乘以400，即可求解．
【详解】（1）解：
（平方米），
∴用含a，b的整式表示花坛的面积为平方米；
（2）当，时，
建花坛的总工程费为：
（元），
答：建花坛的总工程费为24200元．
【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积，代数式求值，根据题意列出代数式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西渭南·八年级期末）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）．
(1)求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
(2)若，求铺设地砖的面积．
【答案】(1)平方米
(2)铺设地砖的面积为225平方米．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：由题可知，铺设地砖的面积为：
（平方米）；
（2）解：∵，
∴原式（平方米）．
答：铺设地砖的面积为225平方米．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【答案】(1)平方米
(2)3900元
【分析】（1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可；
（2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用．
【详解】（1）解：长方形地块的面积为：，
中间预留部分的面积为：，
，
因此绿化的面积S为平方米；
（2）解：由题意知，（平方米），
（元），
因此完成绿化共需要3900元．
【点睛】本题考查列代数式、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积．
【考点九 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2022·辽宁·鞍山市第三十六中学八年级阶段练习）观察以下等式：
；
；
．
(1)按以上等式的规律，填空： ＝；
(2)利用（1）中的公式化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据各个等式所呈现的规律得出答案；
（2）利用（1）中的公式进行计算即可．
【详解】（1）由各个等式所呈现的规律得，，
故答案为：；
（2）原式＝==
【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是解决问题的前提，发现各个等式所呈现的规律是得出答案的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）由所给等式可归纳出，由此可解；
（2）将所求代数式变形为，利用总结出来的规律即可求解．
【详解】（1）解：①由所给等式可知，
因此；
故答案为：；
②由题意可知，
因此；
故答案为：；
（2）解：，
．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是根据已知等式总结出规律．
【考点十 整式乘法混合运算】
例题：（2022·重庆·八年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：分别用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加即可求解；
（2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)x
(2)
【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ．
（2） ．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算法则，以及合并同类项是解本题的关键．
2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则进行计算；
（2）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2021·北京·中国农业大学附属中学八年级期中）计算：
(1) (2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用积的乘方运算法则，计算，用单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项；
（2）用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项；
（1）
解：；
（2）
，
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及知识点：积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）计算的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则及单项式乘多项式法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查单项式乘多项式及去括号：括号前面是负号去掉括号要变号．
2．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以单项式可判断A，B，再利用幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算了判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，幂的乘方运算，掌握“幂的运算法则与单项式乘以单项式的运算法则”是解本题的关键．
3．（2021春·山东济南·七年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，得到m，n的值，然后根据负整数指数幂的运算法则得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开式子，再合并，根据不含x的一次项，则含x的一次项的系数为0，即可求解．
【详解】解：
，
展开式中不含x的一次项，
，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项则这项的系数为0，属于基础题．
5．（2022秋·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
【答案】C
【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】解：大长方形的面积为，
类卡片的面积是，
∴需要类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张，
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键．
二、填空题
6．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）计算：__________．
【答案】
【分析】根据单项式乘以单项式运算法则：系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，结合同底数幂的乘法运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以单项式、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
7．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
【答案】
【分析】利用单项式乘以多项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算，解题的关键是要熟记运算法则．
8．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知，，则的值为___________．
【答案】7
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，再变形，整体代入数值即可求解．
【详解】∵，，
∴
．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知多项式乘法法则的变形应用．
9．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知二次三项式与的乘积展开式中不含项，也不含项，则_______．
【答案】
【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令三次项与一次项系数为，即可求出a与b的值，即可求得的值
【详解】∵
∵展开式中不含项，也不含项，
∴，
解得：，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．
10．（2022春·广东茂名·七年级统考期中）小明在计算一道整式乘法的题：，因为把“”抄成了“”，得到的结果是，则m的值为______．
【答案】2
【分析】根据错误的符号进行计算，即可得出的值．
【详解】解：
，
所以而且，
解得：．
故答案为2．
【点睛】本题是多项式乘多项式，熟练掌握法则是关键，同时本题要注意理解题意，根据错误的符号进行计算，得出相应结论．
三、解答题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
12．（2022春·黑龙江大庆·六年级校考期中）计算．
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式运算展开，再合并同类项；
（2）先在中括号里面去括号展开后，再进行合并同类项．
（1）
解：
．
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了整式加减法运算，多项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则．
13．（2022秋·宁夏吴忠·八年级校考期中）先化简，再求值：其中．
【答案】，
【分析】先根据单项式乘以多项式的计算法则化简，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．
14．（2022春·广西桂林·七年级校考期中）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据多项式的乘法进行化简，然后代入字母的值进行计算即可求解；
（2）根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入计算即可求解．
（1）
解：原式＝
，
当时，
原式
；
（2）
解：原式＝
，
当时
原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式化简求值，正确的计算是解题的关键．
15．（2021秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含项与项．
(1)求、的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)首先去括号，合并同类项，再根据积中不含项与项，可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可求得；
(2)把及p、q的值分别代入代数式，计算即可求得．
（1）
解：
的积中不含项与项，
解得，；
（2）
解：，，，
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值问题，解题的关键是正确求出p，q的值．
16．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
【答案】(1)型卡片的长为：，宽为：
(2)所拼成的长方形的面积为364
【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可；
（2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积．
【详解】（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：；
（2）所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答的关键是得出型卡片的长和宽．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的公式计算即可．
【详解】（1）解：
=
=；
=
=
故答案为：，．
（2）由（1）得
故答案为：．
（3）
=
=；
=
=．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式及探索规律题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
18．（2022秋·上海·七年级校考期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按规定请写出的结果；
(3)当a取的相反数时，请计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)264
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；
（3）将代入（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：的相反数是2，
当时，
．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．
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