七年级数学下册考点精练专题06 三角形折叠中的角度问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题06 三角形折叠中的角度问题，共37页。
专题06 三角形折叠中的角度问题
【例题讲解】
【原题再现】有这样一道题：

如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
（1）小明提出一种正确的解题思路：
连接，则么、分别为、的外角，……
请你按照小明的思路解决上述问题．
（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．
（3）【结论运用】将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，直接写出的度数．
解：（1）图1中，结论：2∠BAC=∠1+∠2，
理由是：连接AA′．

∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠DAE=∠DA′E，∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，
∵∠1=∠EA′A+∠EAA′，∠2=∠DA′A+∠DAA′，
∴∠1+∠2=∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′=2∠BAC；
（2）如图2，结论：2∠A=∠1-∠2．

理由：设EA′交AC于J．
∵∠1=∠EJA+∠A，∠EJA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A′+∠A+∠2=2∠A+∠2，
∴2∠A=∠1-∠2；
（2）如图，
根据折叠知：∠AEF=∠，∠EFD=∠，
∵∠1=110°，∴∠∠AEF=180°-110°=70°，
∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，
∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，
∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．
【综合演练】
1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（   ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（    ）

A．57° B．60° C．63° D．70°
3．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（    ）

A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　）

A．40° B．42° C．30° D．52°
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题(共0分)
5．如图，三角形纸片中，，．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在内，那么_____________．

6．在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为___________．

7．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．

8．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．


三、解答题(共0分)
9．如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，

(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．
10．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】
如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；
(2)【问题推广】
如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；
(4)【拓展提升】
在四边形BCDE中，EBCD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，之间的数量关系．
11．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，．

（1）求的度数；
（2）若保持的一边与平行，求的度数．
12．将纸片的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为．
（1）如图1，点落在内的点的位置．

①若，那么与有怎样的位置关系，请说明理由；
②如图2，、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；

③连接、，已知、恰好分别平分、（如图3），、与之间有怎样的数量关系，并说明理由；

（2）如图4，点落在外的点的位置．连接、，如果、恰好分别平分的两个外角，，那么、与之间的数量关系是______．（请直接写出结果）

13．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
14．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）
　
（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC． 
（2）若，∠BAD＝x° ．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
15．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．  
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
16．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③探索 、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ；
③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由.




17．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB,
（1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝　 　°；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝　 　°．
（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．

专题06 三角形折叠中的角度问题
【例题讲解】
【原题再现】有这样一道题：

如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
（1）小明提出一种正确的解题思路：
连接，则么、分别为、的外角，……
请你按照小明的思路解决上述问题．
（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．
（3）【结论运用】将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，直接写出的度数．
解：（1）图1中，结论：2∠BAC=∠1+∠2，
理由是：连接AA′．

∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠DAE=∠DA′E，∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，
∵∠1=∠EA′A+∠EAA′，∠2=∠DA′A+∠DAA′，
∴∠1+∠2=∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′=2∠BAC；
（2）如图2，结论：2∠A=∠1-∠2．

理由：设EA′交AC于J．
∵∠1=∠EJA+∠A，∠EJA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A′+∠A+∠2=2∠A+∠2，
∴2∠A=∠1-∠2；
（2）如图，
根据折叠知：∠AEF=∠，∠EFD=∠，
∵∠1=110°，∴∠∠AEF=180°-110°=70°，
∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，
∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，
∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．
【综合演练】
1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（   ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【分析】根据翻折的性质得到∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，根据三角形内角和定理推出∠ADE=∠ADB=105°，进一步计算即可解答．
【详解】解：∵∠B=∠BAE=50°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，
∴∠ADE=∠ADB=180°-50°-25°=105°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=75°，
∴∠CDE=105°-75°=30°，
故选：B．
【点睛】此题考查翻折的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．
2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（    ）

A．57° B．60° C．63° D．70°
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可知：∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，根据三角形外角性质可得：∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE＝∠A'BE＝21°，∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°．
【详解】解：由折叠性质可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，
∵∠BDC是△BDA的外角，
∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，
∴∠ABE＝∠A'BE＝21°，
∴∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°，
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC是解答此题的关键．
3．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（    ）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【分析】由四边形的内角和及三角形内角和即可求得．
【详解】∵，且∠C=50゜
∴
同理，在△CDE中，
由折叠性质得：，
∴
在四边形中，
∴
∴
∴∠2=15゜
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，多边形的内角和定理等知识，掌握多边形内角和定理及折叠的性质是关键．
4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　）

A．40° B．42° C．30° D．52°
【答案】B
【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

5．如图，三角形纸片中，，．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在内，那么_____________．

【答案】70
【分析】延长AF、BE交于点D，根据∠A＝70°，∠B＝75°，可得∠D＝35°，由将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，可得∠DFC+∠DEC＝290°，即可得答案．
【详解】解：延长AF、BE交于点D，

∵∠A＝70°，∠B＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，
∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝145°，
∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，
∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，
∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝290°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣290°＝70°，
故答案为：70．
【点睛】本题考查三角形中的折叠问题，解题的根据是掌握折叠的性质，灵活应用三角形内角和定理．
6．在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为___________．

【答案】
【分析】如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论．
【详解】解：如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．
∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠FAA′+∠FA′A,
∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F，
∵∠EAF=∠EA′F，
∴∠1+∠2=2∠EAF=110°，
∴∠A=55°．
故答案为：55°．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF．
7．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．

【答案】70
【分析】根据长方形的对边平行知ADBC，得∠DEF＝∠1＝55°，再根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF＝55°，继而由∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF可得答案．
【详解】解：由题意知ADBC，∠1＝55°，
∴∠DEF＝∠1＝55°，
根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF＝55°，
则∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF＝180°-55°-55°=70°，
∴∠2＝70°，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、折叠的性质．
8．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．

【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理以及折叠的性质，求出，，利用四边形内角和为，即可求出∠2．
【详解】解：在中，，
在中，，
由折叠性质可知： ，
四边形的内角和为，
，
，，
，
，，且∠1＝85°，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了三角形和四边形的内角和定理，熟练利用三角形内角和定理，求出两角之和，最后利用四边形的内角和求得某角的度数，这是解决该题的关键．

9．如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，

(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．
【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由见解析
(2)∠A=（∠2-∠1），理由见解析

【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；
（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
（1）
2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
（2）
∵沿DE折叠A和A'′重合，
∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，
又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，
∠2=180°-2∠ADE，
∠AED+∠ADE=180°-∠A，
∴∠1+90°+90°-∠2=180°-∠A，
即∠A=（∠2-∠1）．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
10．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】
如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；
(2)【问题推广】
如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；
(4)【拓展提升】
在四边形BCDE中，EBCD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)∠PBH的度数为
(3)
(4)F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP=∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°，再由垂线的定义得到∠BHP=90°，则∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°；
（3）先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE=130°，进而求出∠A=50°，同（1）即可得到答案；
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
（1）
解：∵∠A=50°，
∴，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：115°；
（2）
解：∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，
∵∠CBM=∠BAC+∠ACB，
∴2∠CBP=2∠BAP+∠ACB，
∴∠CBP=∠BAP+40°，
∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=100°-2∠BAP，
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°-∠BAP，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°，
∵BH⊥AP，即∠BHP=90°，
∴∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°；
（3）
解：由折叠的性质可得∠AED=∠PED，∠ADE=∠PDE，
∵∠1+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°，∠1+∠2=100°，
∴∠AEP+∠ADP=260°，
∴2∠AED+2∠ADE=260°，
∴∠AED+∠ADE=130°，
∴∠A=180°-∠AED-∠ADE=50°，
∴同（1）原理可得∠P=115°，
故答案为：115°；
（4）
解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，
∵，
∴∠CBE+∠BCD=180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，
∴，
∵，
∴；

当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得，，
∴；

当点F在D点右侧时，如图4-3所示：
同理可得；
综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
11．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，．

（1）求的度数；
（2）若保持的一边与平行，求的度数．
【答案】（1）60°；（2）45°或30°
【分析】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD=∠A′FE和∠A′的度数可求出答案．
（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA=90°，再根据折叠可得出∠ADE=45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC=60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．
【详解】解：（1）由折叠可知，
在中，

在中，
在四边形中，

因为

（2）①当时，
沿折叠


②当时，
由（1）知，，
，
沿折叠


综上，∠ADE的度数为：45°或30°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．
12．将纸片的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为．
（1）如图1，点落在内的点的位置．

①若，那么与有怎样的位置关系，请说明理由；
②如图2，、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；

③连接、，已知、恰好分别平分、（如图3），、与之间有怎样的数量关系，并说明理由；

（2）如图4，点落在外的点的位置．连接、，如果、恰好分别平分的两个外角，，那么、与之间的数量关系是______．（请直接写出结果）

【答案】（1）①，理由见解析；②，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）①若，则可推出，然后根据翻折的性质可推出，从而得出结论即可；②根据翻折的性质推出，然后结合三角形的内角和推出，从而代入替换得出结论即可；③根据、恰好分别平分、，可推出，然后结合②的结论进行变形整理即可；
（2）根据题意可推出，然后结合三角形的内角和以及（1）中②的结论，综合整理求解即可．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴，
由翻折的性质可得：，，
∴，
∴；
②，理由如下：
由翻折的性质可得：，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
③，理由如下：
∵、恰好分别平分、，
∴，，
∴，
在中，，
由②可知，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵、恰好分别平分的两个外角，，
∴，，
∴在中，，
即：，
整理得：，
在中，，
由②可知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，内角和与外角定理，以及角平分线的定义等，掌握基本性质，熟练运用基本定理是解题关键．
13．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
【答案】（1）;（2）;（3）见解析;（4）
【分析】（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
【详解】（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接

由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；                    
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【点睛】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．
14．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）
　
（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC． 
（2）若，∠BAD＝x° ．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①，②存在，或．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；
（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
【详解】（1）∵AE⊥BC
∴∠EAC+∠C=90°
∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°
∴∠B=∠EAC
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED
∴∠B=∠E
∴∠EAC=∠E
∴DE∥AC
（2）①∵∠B+∠C=90°，
∴∠B=40°，∠C=50°
∵DE⊥BC
∴∠EDF=90°
∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED
∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=°
∴∠DFE=50°
∵∠DFE=
∴
∴
②由题意可得，∠ADC=，  ∠ABD= ，
∠EDF=
∠DFE=
（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得，解得
（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得解得
（ⅲ）若∠DFE =∠E，可得解得（舍去）
综上可得或．
【点睛】本题考查了三角形折叠中的角度问题，熟知折叠的性质，平行的判定定理是解题的关键．
15．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．  
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30
【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，再由根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．
【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，
即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠FDE，
∴AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∴∠CAF＝∠E＝∠B
故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°
∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°
∴∠BAF＝∠C
又AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；
（2）①∵
∴
又∵，
∴∠C＝70°，∠B＝20°;
②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则,,
由翻折可知：∵, ,
∴, ,
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且．
【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
16．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③探索 、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ；
③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由.




【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3）
【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；
②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出84°；
③由邻补角定义可知，从而，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合，可求出；
（2）① 由（1）得2∠C，2∠B，2∠A，从而2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；
  ②由①可知， 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;   
  ③由①可知， ；
（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得.
【详解】解：（1）①∵，
∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，
∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,
∴∠C= 180°-80°-65°=35°；      
②∵，
∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,
∴∠CEC′+∠CDC′=276°，
∴360°-276°=84°；
  ③，      
因为，，
所以，  
因为在四边形中，，
所以，  
因为，
所以.      
（2）① 由①得
2∠C，2∠B，2∠A，
∴2(∠A+∠B +∠C)=360°;
  ②∵2∠C，2∠B，2∠A，2∠D，
∴ 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°;   
  ③∵n边形内角和是，
∴ ；   
（3）.

∵∠2=∠3+∠C，
∠3=∠1+∠=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C，
∴.
【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.
17．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB,
（1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝　 　°；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝　 　°．
（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．

【答案】（1）①∠ACB的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO为60°或72°．
【分析】（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论；
②由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分两种情况进行分类讨论．
【详解】解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为30°，60°；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．  
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO为60°或72°．
【点睛】本题考查翻折变换-折叠问题，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．