2022-2023学年河南省漯河市高级中学高一上学期期末考试数学模拟试题（九）（解析版）

高一数学上学期期末考试模拟试题（九）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，集合，，则下列关系正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式得，由集合的运算与关系对选项逐一判断，

【详解】由得，，，

对于A，，故A错误，

对于B，C，，故B错误，C正确，

对于D，，故D错误，

故选：C

2. “”是“”（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，利用集合的包含关系可得结论.

【详解】由可得，因为，

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 下列判断正确的是（）

A. 函数既是奇函数又是偶函数 B. 函数是非奇非偶函数

C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义和性质，逐项判断即可.

【详解】解：对于A，，所以，故函数是偶函数，不是奇函数，故A错误；

对于B，函数的定义域为，

所以，则为奇函数，故B错误；

对于C，函数定义域满足，定义域不关于原点对称，

则函数非奇非偶，故C错误；

对于D，函数的定义域为，

所以，则函数是奇函数，故D正确.

故选：D.

4. 若，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理的二倍角公式、两角差的余弦公式化简变形后由同角关系可得的值．

【详解】因为，所以，

．

故选：A．

5. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，直接求解即可.

【详解】根据题意，由，得，

因为不等式的解集为，

所以由，知，解得，

故不等式的解集为.

故选：C.

6. 如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】确定A的值，根据函数的周期可计算，利用点代入解析式中结合函数的单调性质可求得，即可确定答案.

【详解】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，

由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，

则周期 ,则，

由题意知,代入解析式中，，

由于，故或，

根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，

所以，，，

故选：C

7. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有两个整数，则实数a的取值范围为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先由解析式得，得出关于对称，再得出在上单调递增，将原不等式转化为，然后对分，，讨论，解不等式即可.

【详解】当时，

，

则，即关于对称

又当时，在定义域上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，

所以由得，

即，

当时，不等式无解；

当时，即为，

此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；

若，则即为，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；

当，且时，，

得，，

显然当满足此式，不满足此式，

得满足此式，不满足此式，

，

解得

故选：A.

8. 定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题设，可得的解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为与交点个数大于3个，讨论参数a判断交点个数，进而画出和的图象，应用数形结合法有符合题设，即可求范围.

【详解】由题设，，即，

所以是周期为4的函数，

若，则，故，

所以，

要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，

当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，

所以.

综上，、的图象如下所示，

要使交点个数大于3个，则，可得.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出的周期性，并求出上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）

9. 下列说法正确的是（）

A. 函数的定义域是

B. 函数在其定义域上单调递减

C. 函数的值域是

D. 函数的图象过定点

【答案】CD

【解析】

【分析】选项A. 求出函数的定义域可判断；选项B.函数在其定义域上不是单调函数可判断；选项C. 由指数函数的性质可判断；选项D.  由时，可判断.

【详解】选项A.  函数的定义域是,故不正确.

选项B.  函数在其定义域上不是单调函数，故不正确.

选项C.  函数的值域是，故正确.

选项D.  当时，，则过，故正确.

故选：CD

10. 以下结论正确的是（）

A. 若，，，则的最小值为1； B. 若且，则；

C. 函数的最大值为0. D. 的最小值是2；

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据均值不等式的要求“一正二定三相等”，逐个验证选项是否正确.

【详解】对于A，由，由均值不等式可得（当且仅当时，等号成立），解得，所以的最小值为1，故A正确；

对于B，由知，根据均值不等式可得，（当且仅当时，等号成立），故B正确；

对于C，由，有，由均值不等式可得，（当且仅当时，等号成立），

有，当且仅当时取等号，所以函数的最大值为0，故C正确.

对于D，，等号成立的条件是，即，而不成立，所以等号不成立，因此的最小值不是2，故D错误；

故答案为：ABC

11. 已知在定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（）

A.

B.

C. ，

D. 方程在的各根之和为-6

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意可得是以4为周期的周期函数，再由，可判断选项A; 当时,求出可判断选项B；根据题意可得出从而可判断性选项C；作出的示意图，由图象的对称性数形结合可判断选项D.

【详解】由在定义在上的奇函数，则

由，所以，即

则，即是以4为周期的周期函数.

由题意，所以

又，则，所以

所以，故选项A正确.

选项B. 当时，故选项B不正确.

选项C.

所以

当时，均为增函数，则为增函数.

所以在上为增函数，

又为奇函数，且

所以在单调递增，所以，由

所以，所以必存在，使得，故选项C正确.

选项D. 因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，

然后由对称性作出在上的图象，如图所示.

根据对称性可知方程在的各根之和为 ，故选项D正确.

故选：ACD

12. 已知函数，下列说法正确的有（）

A. 不存在实数a，使f（x）的定义域为R

B. 函数f（x）一定有最小值

C. 对任意正实数a，f（x）的值域为R

D. 若函数f（x）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】A. 根据f（x）的定义域为R，由，利用判别式判断；B. 取判断；C.令，根据u的值域判断；D.由求解判断.

【详解】A. 若f（x）的定义域为R，则对于不等式，不成立，故正确；

B. 当时，，因为能取遍所有的数，所以，故错误；

C.，因为，所以u能取遍所有的数，所以f（x）的值域为R，故正确；

D. 若函数f（x）在区间上单调递增，则，

即，解得，所以实数a的取值范围是，故正确.

故选：ACD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 计算：___________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据对数计算公式及指数计算公式进行计算.

【详解】解：

故答案为：

14. 已知函数(其中)，其部分图象如图所示，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据图象的最大值和最小值得到，根据图象得到周期从而求出，再代入点得到的值可得答案.

【详解】由图象可得函数最大值为，最小值为，故

根据图象可知，

，

，

将代入，得，

所以，

，解得，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到，根据图象得到周期，从而求出，再代入图象过的特殊点得到的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.

15. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，就是它的均值点，现有函数是上的平均值函数，则实数t的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由平均值函数的定义可得时，有，即在上有解，化简可得，由此方程的根在内，可求出实数t的取值范围

【详解】由平均值函数的定义可得时，有，即在上有解，，得，从而可得，

令，，

因为函数的对称轴为，抛物线开口向上，

所以只要，即，解得，

所以实数t的取值范围为，

故答案为：

16. 已知函数（ω＞0，），，点，是图象上的任意两点，若时，的最小值为，则图象的对称轴是______．

【答案】

【解析】

【分析】由、的范围得到值，根据的值域和已知条件得到，根据周期公式可得，再根据正弦函数的对称轴方程可得答案.，

【详解】因为，所以，

因为，所以，，

，若，

则一个是最大值一个最小值，又的最小值为，

所以，得，所以，

所以，

由得，

则图象的对称轴是.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （1）求值：若，求的值；

（2）化简：.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意，，得，代入可得值；

（2）运用诱导公式，可化简求值.

【详解】解：（1）由题意，，得，得；

（2）.

18. 已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x2-x<0}

（I）若a=1，求AB，；

（II）若AB=，求实数a的取值范围

【答案】（I）；（II）或

【解析】

【分析】（I）先解不等式得集合B，再根据并集、补集、交集定义求结果；

（II）根据与分类讨论，列对应条件，解得结果.

【详解】（I）

a=1，A={x|0<x<3}，

所以

；

（II）因为AB=，

所以当时，，满足题意；

当时，须或

综上，或

【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.

19. 设函数（且，）．

（1）若是定义在R上的偶函数，求实数k的值；

（2）若，对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）1（2）

【解析】

【分析】（1）由函数奇偶性列出等量关系，求出实数k的值；（2）对原式进行化简，得到对恒成立，分和两种情况分类讨论，求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

由可得，

即对恒成立，可解得:

【小问2详解】

当时，有

由，

即有，且

故有对恒成立，

①若，则显然成立

②若，则函数在上单调递增

故有，解得：；

综上：实数a的取值范围为

20. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．

（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）P(x)＝；（2）8万件；万元．

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；

（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可.

【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．

依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；

当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.

所以P(x)＝；

（2）当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13，

当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；

当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.

当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.

由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．

【点睛】本题考查分段函数模型的应用，属中等题.

21. 已知函数是奇函数，其中e为自然对数的底数．

（1）求实数a的值，并写出函数的单调性（无需证明）；

（2）当不等式在恒成立时，求实数k的取值范围．

【答案】（1）；增函数

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数为奇函数，可得，即可求得，根据函数的解析式结合指数函数的单调性即可判断函数的单调性；

（2）由（1）可得不等式在恒成立，即不等式在恒成立，即在恒成立，分离参数得在恒成立，求出的最小值即可得解.

【小问1详解】

解：因为函数是奇函数，

所以，即，

所以，

所以，

函数为增函数；

【小问2详解】

解：不等式在恒成立，

即不等式在恒成立，

即不等式在恒成立，

因函数为增函数，

所以在恒成立，

即在恒成立，

因为，

所以.

22. 已知函数．

（1）若时，求函数的定义域；

（2）若函数有唯一零点，求实数a的取值范围；

（3）若对任意实数，对任意的、时，恒有成立，求正实数a的取值范围．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由题知，解不等式即可得解；

（2）将已知转化为有唯一零点，分类讨论和时两种情况研究方程的零点，即可得解；

（3）函数为减函数，求得函数的最值，将问题转化为，即，构造函数，讨论二次函数的对称轴在区间的左，中，右三种情况即可得解.

【小问1详解】

当时，

要使函数有意义，则，即，即，解得

所以函数的定义域为

【小问2详解】

函数有唯一零点，

即①有唯一零点，

即有唯一零点，

当时，，解得，符合题意；

当时，方程一元二次方程，其

当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；

当时，，方程有两个不等的实数根，；

若为方程①的解，则，解得；

若为方程①的解，则，解得；

要使方程①有唯一实数解，则

综上，实数a的取值范围为

【小问3详解】

函数，其中内部函数为减函数，外部函数为增函数，

由复合函数性质知为减函数，

，

不等式转化为，

即转化为

即

令，，即

二次函数对称轴为，由，开口向上

（1）当时，，函数上单调递减，

，解得，不符合题意，舍去；

（2）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

，即，解得，取交集得；

（3）当时，，函数在上单调递增，

，解得，取交集；

综上，正实数a的取值范围

【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.