初中数学中考复习 2019年广东省广州市越秀区实验中学中考数学三模试卷（含解析）

2019年广东省广州市越秀区实验中学中考数学三模试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）

1．绝对值等于2的数是（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．0或2

2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1

3．解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）

A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1） 

C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）

4．如图，∠1＝55°，∠3＝108°，则∠2的度数为（　　）

A．52° B．53° C．54° D．55°

5．下列命题中，错误的是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 

B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 

C．菱形的一条对角线平分一组对角 

D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形

6．若一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，则（　　）

A．k＜3 B．k＞3 C．k＞0 D．k＜0

7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°

8．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H为BC上一点，连接AH交BD于点G．若AD＝3，BC＝9，BH：HC＝1：2，则GO：BG＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．11：20

9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：

①b2﹣4ac＞0

②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解

③x1＜x0＜x2

④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0

其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③

10．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（满分18分，每小题3分）

11．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）＝　   　．

12．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于O，P是AB上一点，PO＝PA＝3，则菱形ABCD的周长是　   　．

13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　   　．

14．若一个圆锥的主视图是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积为　   　cm2．

15．数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣＝﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是　   　．

16．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝　   　度．

三．解答题

17．（9分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

18．（9分）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点，

（1）如图1，求证：AE＝CF；

（2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．

20．（10分）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：

九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100

九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99

通过整理，得到数据分析表如下：

（1）直接写出表中m、n的值；

（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；

（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．

21．（12分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

（2）当x+b＜时，请直接写出x的取值范围．

22．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）

23．（12分）如图1，点A是⊙O外一点．

（Ⅰ）过点A作⊙O的切线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（Ⅱ）如图2，设AC是⊙O的切线，点C是切点，已知tan∠A＝，求tan∠ABC的值．

24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．

（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：绝对值等于2的数是±2．

故选：C．

2．解：由x≥0且x﹣1≠0得出x≥0且x≠1，

x的取值范围是x≥0且x≠1，

故选：C．

3．解：方程变形得：﹣＝3，

去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），

故选：D．

4．解：∵∠3是△ABC的外角，∠1＝55°，∠3＝108°，

∴∠2＝∠3﹣∠1＝108°﹣55°＝53°．

故选：B．

5．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故此选项错误，符合题意；

B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，根据矩形性质得出，故此选项正确，不符合题意；

C．菱形的一条对角线平分一组对角；根据菱形性质得出，故此选项正确，不符合题意；

D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据正方形判定得出，故此选项正确，不符合题意；

故选：A．

6．解：∵一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，

∴k﹣3＜0，解得k＜3．

故选：A．

7．解：由题意知△ABC≌△DEC，

则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，

∴∠DAC＝＝＝75°，

故选：D．

8．解：连接DH，如图所示．

∵BC＝9，BH：HC＝1：2，

∴BH＝3＝AD．

又∵四边形ABCD为梯形，

∴AD∥BC，

∴四边形ABHD为平行四边形，

∴BG＝BD．

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴＝＝，

∴OD＝BD＝BD，

∴GO＝BD﹣BG﹣OD＝BD，

∴GO：BG＝1：2．

故选：A．

9．解：①∵x1＜x2，

∴△＝b2﹣4ac＞0，故本选项正确；

②∵点M（x0，y0）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，

∴x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解，故本选项正确；

③若a＞0，则x1＜x0＜x2，

若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；

④若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，

所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，

∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．

故选：B．

10．解：∵，

∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，

∴AC＝a，

∵BF⊥AC，

∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，

∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC

∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，

∴CE＝，AE＝，

∴＝，

∵△CEF∽△AEB，

∴＝（）2＝，

故选：A．

二．填空题

11．解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），

＝mn（n﹣m）+n（n﹣m），

＝n（n﹣m）（m+1）．

故答案为：n（n﹣m）（m+1）．

12．解：过P作PQ⊥AC，

∵在菱形ABCD中，

∴AC⊥BD，

∴PQ∥OB，

∵PO＝PA＝3，

∴Q为OA的中点，

∴P为AB的中点，

∴AB＝2PO＝6．

∴菱形ABCD的周长是6×4＝24．

故答案为：24．

13．解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，

∴m≤1，

故答案为：m≤1．

14．解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为1cm，母线长为6cm，

所以这个圆锥的侧面积＝•6•2π•1＝6π（cm2）．

故答案为6π．

15．解：∵x＞5

∴x相当于已知调和数15，

代入得，﹣＝﹣，

解得，x＝15．

经检验得出：x＝15是原方程的解．

故答案为：15．

16．解：设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，

∵∠EBA、∠EPC的角平分线交于点F

∴∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA＝y，

∵∠1＝∠F+∠ABF＝40°+y，

∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，

∴∠2＝2∠1，

∴2y+∠E＝2（40°+y），

∴∠E＝80°．

故答案为：80．

三．解答题

17．解：，

由①得，x＞﹣2；

由②得，x≥，

故此不等式组的解集为：x≥．

在数轴上表示为：．

18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，

∴BO＝DO，AD∥BC

∴∠EDB＝∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

∴△DOE≌△BOF（ASA），

∴OE＝OF；

（2）∵△DOE≌△BOF（ASA）；

∴OE＝OF，

又∵OB＝OD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形，

∴BE＝DE＝DF＝BF，

∵∠AEB＝60°，

∴∠EBF＝60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴EF＝BF，

∴与DE相等的所有线段为：BE，EF，BF，DF．

19．解：原式＝（﹣）÷

＝•

＝，

当x＝4时，原式＝＝．

20．解：（1）m＝（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）＝94；

把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，

则中位数n＝（95+96）＝95.5；

（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）；

（3）用A1，B1表示九（1）班两名98分的同学，C2，D2表示九（2）班两名98分的同学，

画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种，

则P（另外两个决赛名额落在同一个班）＝＝．

21．解：（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y＝（x＜0）的图象过点A（﹣1，2），

∴k＝﹣1×2＝﹣2，

∴反比例函数解析式为y＝﹣（x＜0）；

∵一次函数y＝x+b的图象过点A（﹣1，2），

∴2＝﹣+b，解得：b＝，

∴一次函数解析式为y＝x+．

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，

解得：，或，

∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（1，2），

设直线A′B的解析式为y＝mx+n，

则有，解得：，

∴直线A′B的解析式为y＝x+．

令y＝x+中x＝0，则y＝，

∴点C的坐标为（0，）．

（2）观察函数图象，发现：

当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴当x+＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0．

22．解：如图，延长CA交BE于点D，

则CD⊥BE，

由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，

设AD＝x米，

则BD＝x米，CD＝（20+x）米，

在Rt△CDB中，＝tan∠DCB，

∴≈0.65，

解得x≈37，

答：这段河的宽约为37米．

23．解：（Ⅰ）如图，如图，作线段AO的垂直平分线MN交AO于K，以K为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C，连接AC，OC，直线AC即为所求．

（Ⅱ）作CH⊥OA于H．

∵AC是⊙O的切线，

∴AC⊥OC，

∴∠ACO＝∠CHO＝90°，

∵∠A+∠AOC＝90°，∠OCH+∠AOC＝90°，

∴∠A＝∠OCH，

∴tan∠A＝tan∠OCH＝＝，设OH＝a，CH＝2a，则OC＝OB＝a，

在Rt△BCH中，tan∠ABC＝＝＝．

24．解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），

则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），

即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，

设点D（x，0），则点P（x， x2+x﹣2），点E（x，﹣x﹣2），

∵PE＝OD，OD＝﹣x，

∴PE＝（x2+x﹣2+x+2）＝x2+x，

解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），

即点D（﹣5，0）

S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，

①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，

BD＝1＝BM，

则MH＝yM＝BMsin∠ABC＝1×＝，

则xM＝，

故点M（﹣，﹣）；

②当BD＝DM（M′）时，

同理可得：点M′（﹣，）；

故点M坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．