2023无锡江阴高三上学期期末考试数学含解析

江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷

数  学2023.1

注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ）

A．0 B． C．2 D．5

3．给出下列四个命题，其中正确命题为（    ）

A．是的充分不必要条件

B．是的必要不充分条件

C．是函数为奇函数的充要条件

D．是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件

4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

7．在平面直角坐标系xOy中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

8．设，，，这三个数的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

9．若，，且，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t（单位：时），全科免费下载公众号《高中僧课堂》则以下说法中正确的选项是（    ）

A．时针OA旋转的角速度为

B．分针OB旋转的角速度为

C．一小时内（即时），为锐角的时长是

D．一昼夜内（即时），S取得最大值为44次

11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）

A．事件B与事件相互独立 B．

C．  D．

12．已知P为抛物线上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（    ）

A．的最小值为5

B．若线段AB的中点为M．则△NAB的面积为

C．若，则直线的斜率为2

D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为，则EF平分

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为__________．

14．的展开式中x的升幂排列的第3项为__________．

15．已知函数，曲线在点处的切线与y轴相交于点，则函数的极小值为__________．

16．（第一空2分，第二空3分）已知向量，向量与向量的夹角为，，则向量__________；若向量与向量的夹角为，向量，其中，当时，实数a的取值范围为__________．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（本题满分10分）

已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D．

（1）用正弦定理证明：；

（2）若，，，求BD．

18．（本题满分12分）

已知等差数列的前n项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，令，求数列的前n项和．

19．（本题满分12分）

天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．

（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；

（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．

参考数值：，，．

20．（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，，，，平面PAD，点M满足．

（1）若，求证：平面平面PCM；

（2）设平面MPC与平面PCD的夹角为，若，求的值．

21．（本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，设曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线上的点到原点O的最短距离为．以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为．

（1）求椭圆的标准方程：

（2）设AB是过椭圆中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点（与O不重合），若M是l与椭圆的交点，求△AMB的面积的取值范围．

22．（本题满分12分）

已知函数．

（1）若有两个零点，求a的取值范围；

（2）若方程有两个实数根，，且，证明：．

江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．【答案】A

【解析】，，，，选A．

2．【答案】D

【解析】为纯虚数，

∴，∴，∴，选D．

3．【答案】C

【解析】“”是“”的充要条件，A错．

“”是“”的既不充分又不必要条件，B错．

时，是奇函数，充分，为奇函数，

则，则为充要条件，故答案选C．

4．【答案】B

【解析】设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，

正六棱柱的侧面积，正六棱锥的母线长

，

又∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则，∴

，选B．

5．【答案】C

【解析】，∴为奇函数关于原点对称，排除B．

时，，∴排除D．

，，排除A，选C．

6．【答案】D

【解析】，，成等比数列，，

∴，∴，选D．

7．【答案】B

【解析】，则，，

圆心，，都在，则两圆内切或内含．

∴，∴，故选B．

8．【答案】C

【解析】，∵，∴

，且时，（泰勒展开式求导易证）

∴，∴，

∴，选C．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

9．【答案】AB

【解析】，则，A对，C错．

，则，B对，D错，选AB．

10．【答案】ACD

【解析】OA旋转的角速度为，A对．

OB旋转的角速度为，B错．

或，，

则或，，C对．

的周期为且每个周期仅岀现一次最大值

故最大值取得的次数为，D对，选ACD．

11．【答案】BD

【解析】，，

先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，，

先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，

先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，．

，B对．

，

，

，C错．

，A错．

，D对．

12．【答案】ACD

【解析】在抛物线上，∴，抛物线：，．

对于A，过点P作抛物线的准线的垂线FD，垂足为D，

由抛物线定义可知，连接DM，则

M，P，D三点共线时，取最小值，A对．

对于B，∵为AB中点，则，

∵，在直线l上，，∴，

N到直经l的距离，则，B错．

对于C，设代入得，

令，，，，

，

，，∴，C对．

对于D，在抛物线上且轴，设，，

易知EG，EH斜率存在，，，，

则，，

则EF平分，D对．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．【答案】

【解析】由题意，∴，双曲线：．

14．【答案】

【解析】展开式第项

展开式第项

，，，

，，，

，，，

．

15．【答案】

【解析】切点，，

切线：过，∴

，或3，

在，，，．

16．【答案】；

【解析】设，，，

∴或，∴或，与夹角的，则

∴

∴

，，，

，∴，

∴，∴．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请

将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．【解析】（1）在和中，分别由正弦定理

∵，由AD平分，

∴．

（2）∵，，，∴，

∵AD平分，由（1）知，∴．

18．【解析】（1）设公差为d，∴

∴，∴．

（2）

∴，①

，②

①②

∴．

19．【解析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，

，，，

∴X的分布列如下：

．

（2）．

∴符合该项指标的学生人数为：人

每个学生通过投的概率对，

∴最终通过学校选拔人数，

∴．

20．【解析】（1）证明：∵，，，∴．

∵，∴，而，∴，∴．

∵平面PAD，平面ABCD，

∴平面平面PAD且平面平面，

由平面PAD，平面ABCD，∴，

且，，，∴，

∴，又∵，∴平面PCM．

又∵平面，∴平面平面，

或由，∴且平面，

所以平面平面；

（2）如图建系，∵，∴，∴，

，，，∴，，，

设平面MPC与平面PCD的一个法向量分别为，，

∴

，

∵，∴

，∵，

∴．

21．【解析】（1）曲线围成的图形如图

∴，即

且，解得，

∴椭圆的标准方程为．

（2）方法一：①若AB斜率为0，则；

②若AB斜率不存在，则；

③若AB斜率存在且不为0，设AB方程为

，∴

∵，

∴

令，，∴

一方面，另一方面

综上：面积的取值范围为．

方法二：设，，不妨设，

由A，M在椭圆上

，而，③

①③，

且

由解得

综上：面积的取值范围为．

22．【解析】（1）．

当时，，在R上，不可能有两个零点；

当时，令且在上；上，

要使有两个零点，首先必有

当时，注意到，，，

∴在和上各有一个零点，符合条件．

综上：实数a的取值范围为．

（2）由有两个实根，，

∴令，∴有两个实根，，

要证：

只需证：

由，结合①知

①②

证：，即证：

而，证毕！