河南省南阳市卧龙区第二十二中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

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河南省南阳市卧龙区第二十二中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式中，能与合并的是（　　）A． B． C． D．2．计算的结果是（　　）A．1 B． C． D．3．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）A． B． C． D．4．下列事件中，是必然事件的是（　　）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．在平面内，平行四边形的两条对角线相交C．掷两次硬币，必有一次正面朝上D．小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分5．关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　）A． B． C．且 D．且6．下列说法中，不正确的有（　　）①相等的圆周角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧；⑤圆的切线垂直于圆的半径；⑥一个圆有无数个内接三角形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）A．图象与轴的交点坐标为 B．图象的对称轴为直线C．当时，随的增大而减小 D．有最大值38．如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则的长为（　　）A． B． C． D．9．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　）A． B． C． D．10．如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，弧的长度为，则阴影部分的面积为（　　）A． B． C． D．二、填空题11．要使代数式有意义，x的取值范围是__________．12．如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为4，则平行四边形的面积为___________．13．有四张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张不放回，再从剩下的图案中抽取一张，抽到两张图案都是中心对称图案的卡片的概率是___________．14．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是___________．15．如图，内接于，，，的平分线交于点，则___________．三、解答题16．（1）（2）17．解方程：(1)(2)(3)(4)18．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接，交于点，交于点．(1)图中共有几对相似三角形？请分别写出来；(2)求证：19．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为45°，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为30°，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．(1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）．20．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积．       21．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，试解答下列问题：（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式. （2）这次跳投时，球出手处离地面多高？22．在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：，例如，求点到直线的距离．解：由直线知：，所以到直线的距离为：．根据以上材料，解决下列问题：(1)求点到直线的距离．(2)已知：是以点为圆心，为半径的圆，与直线相切，求实数的值；(3)如图，设点为问题2中上的任意一点，点为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值．参考答案：1．B【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．【详解】解：A．，不能与合并，故该选项不符合题意；B．，能与合并，故该选项符合题意；C．，不能与合并，故该选项不符合题意；D．，不能与合并，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．2．C【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，进而得出答案．【详解】解：故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．3．C【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【详解】解：，，，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．B【分析】根据必然事件的意义，结合各个选项中的具体事件发表进行判断即可．【详解】解：A. 任意买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；B. 在平面内，平行四边形的两条对角线相交，是必然事件，故该选项符合题意；C. 掷两次硬币，必有一次正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；D. 小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分，是随机事件，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握以上定义是解题的关键．5．B【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出m的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答．【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解，则且，解得：且；当方程为一元一次方程时，方程有解，则只需，即，综上：当时，方程有实数根，故选择：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答．6．C【分析】根据圆、圆心角、弧、弦，切线的的性质，圆的内接三角形的定义，垂径定理的相关知识进行解答即可．【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故①不正确；②平分非直径的弦的直径也平分弦所对的弧，故②不正确；③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故③不正确；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，故④正确；⑤圆的切线垂直于过切点的半径，故⑤不正确；⑥一个圆有无数个内接三角形，故⑥正确．故选：C．【点睛】本题考查了圆、圆心角、弧、弦，切线的的性质，圆的内接三角形的定义，垂径定理的相关知识，掌握以上知识是解题的关键．7．B【分析】求出当时，即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B、C、D．【详解】∵当时，，则二次函数与y轴的交点坐标为，故A不符合题意；∵二次函数解析式为，∴对称轴为直线，故B符合题意；∴当时，y随x的增大而减小，故C不符合题意，∵∴有最大值为4，D不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数图象的性质．8．B【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点作于点，依据三角函数值可得从而得，再由得，，由勾股定理得．【详解】解：在中，，，∴∴ 由勾股定理得， 过点作于点，如图，∵，，∴， ∴ ，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，在中，．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出的长是解答本题的关键．9．D【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性和开口方向判断即可．【详解】解：对称轴为直线，∵，∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，∵，且，∴．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．10．D【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可．【详解】四边形是矩形，，，，∵以点为圆心，以长为半径画弧交于点，∴，∵弧的长度为，∴∴，即，，，，阴影部分的面积．故选：D．【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积．11．且【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：且，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键．12．48【分析】由于四边形是平行四边形，那么，，根据平行线分线段成比例定理的推论可得，再根据是中点，易求出相似比，从而可求的面积，再利用与是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求的面积，进而可求的面积．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，又是中点，，，，，又，，．故答案为：48．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出的面积．13．##【分析】设分别表示圆、等腰三角形、矩形、菱形图案的卡片，其中只有等腰三角形不是中心对称图形，根据题意，列表法求概率即可求解．【详解】解：设分别表示圆、等腰三角形、矩形、菱形图案的卡片，其中只有等腰三角形不是中心对称图形，根据题意，列表如下：共有12种等可能结果，其中到两张图案都是中心对称图案的卡片的有6种，则抽到两张图案都是中心对称图案的卡片的概率是故答案为：．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．14．【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】∵，∴抛物线的顶点为，将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为，旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即．∴新抛物线的顶点故答案是：．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象旋转与平移的法则．15．【分析】过点作于，根据等弧所对的圆周角相等，得出，根据角平分线的定义得出，进而得出，根据，得出，即可求解．【详解】解：如图，过点作于，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，添加辅助线是解题的关键．16．（1）；（2）【分析】（1）分别化简各数，再合并；（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并计算．【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂和负指数幂，平方差公式和完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．17．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先移项，然后运用直接开平方法解答即可；（2）运用公式法解一元二次方程即可；（3）运用因式分解法解一元二次方程即可；（4）先移项，然后运用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：所以该方程的解为．（2）解：∵ ∴ ∴ ∴该方程的解为．（3）解：所以该方程的解为．（4）解：所以该方程的解为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，灵活运用直接开平方法、公式法、因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．18．(1)6对，见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可；（2）由得，有；由得，有，进而得出．【详解】（1）解：是平行四边形，，，，，，，五对，还有一对特殊的相似即，共6对；（2），．；，．．，即．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型．19．(1)4(2)【分析】（1）作于G，解，即可求出；（2）过点作于点，设米，用含x的代数式表示出、，根据列出方程，解方程得到答案．【详解】（1）过点作于点．由题意知，∴．又，，即，∴．答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为4米．（2）过点作于点，∵，∴．设大树高为．∵，∴，，．又，∴，即，解得．经检验，是原方程的根且符合题意．答：大树的高度是．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念．20．（1）见解析 （2） 【详解】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．21．（1）；（2）这次跳投时，球出手处离地面.【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，当x=-2，5时，即可求得结论．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，∴可设抛物线的函数关系式为. ∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得，∴，∴（2）设这次跳投时，球出手处离地面，因为（1）中求得，∴当时，. ∴这次跳投时，球出手处离地面.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．22．(1)(2)或(3)面积最大为，最小为【分析】（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；（2）把直线整理，得，利用公式列方程求解即可；（3）先求圆心到直线的距离，判断出到的最大距离与最短距离可得答案．【详解】（1）解：，其中，，，，∴点到直线的距离为；（2）解：直线整理，得，故，，．∵与直线相切，∴点到直线的距离等于半径，即，整理得，解得或；（3）解：如解图，过点作于点．∵在中，，，，∴圆心到直线的距离，∴上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∵，∴的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值．