8．1　基本立体图形

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

问题导学

预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：

1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？

2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？

3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？

1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

(1)圆柱的结构特征

■名师点拨

(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．

(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．

(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．

(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．

(2)圆锥的结构特征

■名师点拨

(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．

(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．

(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．

(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．

(3)圆台的结构特征

■名师点拨

(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．

(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．

(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．

(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．

(4)球的结构特征

■名师点拨

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．

(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝.

2．简单组合体

(1)概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．

(2)两种构成形式

①由简单几何体拼接而成；

②由简单几何体截去或挖去一部分而成．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　)

(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(　　)

(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　)

(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

下列几何体中不是旋转体的是(　　)

解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．

过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是(　　)

A．直角三角形　　　　　　　 B．等腰三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

答案：B

可以旋转得到如图的图形的是(　　)

解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．

指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．

解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．

圆柱、圆锥、圆台、球的概念

　(1)给出下列说法：

①圆柱的底面是圆面；

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；

④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．

其中说法正确的是________．

(2)给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；

④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．

其中正确说法的序号是________．

【解析】　(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．

(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．

【答案】　(1)①②　(2)①④

(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　

　判断下列各命题是否正确．

(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．

(2)正确．

(3)错误．应为球面．

简单组合体的结构特征

　如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)

【解析】　该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.

【答案】　A

[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．

解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．

不规则平面图形旋转形成几何体的

结构特征的分析策略

(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．

(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．　

　已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．

(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．

(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．

(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．

旋转体中的计算问题

　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

【解】　设圆台的母线长为l cm，

由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设

截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

所以＝，所以＝＝.

解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.

解决旋转体中计算问题的方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．

[注意]　在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．

1．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，则圆台的母线长为________．

解析：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.

由＝，得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)．所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm)．所以圆台的母线长为6 cm.

答案：6 cm

2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为________．

解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝×2r2＝r2.

答案：r2

1．如图所示的图形中有(　　)

A．圆柱、圆锥、圆台和球　　 B．圆柱、球和圆锥

C．球、圆柱和圆台   D．棱柱、棱锥、圆锥和球

解析：选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是(　　)

A．圆锥   B．圆柱

C．球   D．棱柱

答案：D

3．下列说法中正确的是________．

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．

答案：②

4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.

解析：h＝20cos 30°＝20×＝10(cm)．

答案：10

5．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？

解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图(1)所示．

若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图(2)所示．

[A　基础达标]

1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是(　　)

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥

解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.

2．如图所示的组合体的结构特征是(　　)

A．一个棱柱中截去一个棱柱

B．一个棱柱中截去一个圆柱

C．一个棱柱中截去一个棱锥

D．一个棱柱中截去一个棱台

解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．

3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是　(　　)

A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形

解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．

4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是(　　)

A．圆锥

B．圆锥和球组成的简单组合体

C．球

D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体

答案：D

5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)

A．①②　　　　　　　　　　 B．①③

C．④   D．①⑤

解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．

6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：

①由一个长方体割去一个四棱柱构成．

②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．

③由一个长方体挖去一个四棱台构成．

④由一个长方体与两个四棱台组合而成．

其中正确说法的序号是__________．

解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．

答案：①②

7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．

解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ .

由题意可知·2r·h＝r＝8，所以r2＝8，所以h＝2.

答案：2

8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.　

解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．

所以AB＝＝13(cm)．

答案：13

9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．

10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．

解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.

在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．

SA＝＝＝(cm)．

所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．

所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.

[B　能力提升]

11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(　　)

A．2   B．2π

C.或   D.或

解析：选C.如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.

12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.

解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，

所以该地球仪的半径R＝＝

4 cm.

答案：4

13．圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.

解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x cm，则AA1＝x cm，A1C1＝x cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝ cm，OE＝1 cm.因为△EAA1∽△ESO，

所以＝，即＝.

所以x＝，即该内接正方体的棱长为 cm.

答案：

14．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得上底半径O1A＝2 cm，

下底半径OB＝5 cm，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

[C　拓展探究]

15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)

解：因为△ABC为等边三角形，

所以BC＝6，

所以l＝2π×3＝6π，

根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：

＝6π，

故n＝180°，则∠B′AC＝90°，

所以B′P＝＝3(m)，

所以小猫所经过的最短路程是3 m.