2023届高考数学二轮复习第4讲创新情境与数学文化学案

第4讲　创新情境与数学文化

考情分析

数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型．预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易．

自主先热身　真题定乾坤

ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身

1．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　C　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】如图，取CD的中点E，设CD＝a，PE＝b，则PO＝＝，

由题意PO2＝ab，即b2－＝ab，

化简得4－2·－1＝0，

解得＝(负值舍去).故选C.

2．(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　C　)

A．3699块　　 B．3474块

C．3402块　　 D．3339块

【解析】　设第n环扇面形石板块数为an，第一层共有n环，

则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，

设Sn为{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，

因为下层比中层多729块，

所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，

即－＝－＋729

即9n2＝729，解得n＝9，

所以S3n＝S27＝＝3 402.

故选C.

3．(2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(　C　)

A．5　　 B．8　　

C．10　　 D．15

【解析】　根据题意可知，原位大三和弦满足：k－j＝3，j－i＝4.

∴i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12.

原位小三和弦满足：k－j＝4，j－i＝3.

∴i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12.

故个数之和为10.故选C.

4．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】所有重卦共有26＝64种可能，其中满足恰有3个阳爻的有C＝20种，故概率为＝.故选A.

5．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

＋＝(R＋r).设α＝，由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　D　)

A．R　　 B．R

C．R　　 D．R

【解析】由α＝，得r＝αR，

因为＋＝(R＋r)，

所以＋＝(1＋α)，

即＝α2＝≈3α3，

解得α＝，所以r＝αR＝R.故选D.

6．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是(　B　)

A．165cm　　 B．175cm

C．185cm　　 D．190cm

【解析】不妨设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A、B、C、D，

故可得AB＝BC，AC＝CD，

假设身高为x，可解得

CD＝x，AC＝x，AB＝x，

由题意可得

化简可得⇒故选B.

7．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有__26__个面，其棱长为__－1__．

【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18＋8＝26个面．

如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB＝BE＝x，延长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，

∴BG＝GE＝CH＝x，

∴GH＝2×x＋x＝(＋1)x＝1，

∴x＝＝－1，即该半正多面体棱长为－1.

感悟高考

1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其提供的观察材料和需要思考的问题异于常规试题，需要考生具有灵活、创新的思维能力，善于进行发散性、求异性思考，寻找对材料内涵的解释和解决问题的办法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础知识，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！

2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．