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2023高考数学二轮复习专题25 等比数列及其前n项和 （解析版）
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专题25 等比数列及其前n项和
【考点预测】
一．等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．
二．等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
三．等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【方法技巧与总结】
（1）若，则．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
（5）为等比数列，若，则成等比数列．
（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
（8）若为正项等比数列，则为等差数列．
（9）若为等差数列，则为等比数列．
（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．
【题型归纳目录】
题型一：等比数列的基本运算
题型二：等比数列的判定与证明
题型三：等比数列项的性质应用
题型四：等比数列前n项和的性质
题型五：求数列的通项
题型六：奇偶项求和问题的讨论
题型七：等差数列与等比数列的综合应用
题型八：等比数列的范围与最值问题
题型九：等比数列的简单应用
【典例例题】
题型一：等比数列的基本运算
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为，，为正项等比数列，
所以，解得.
故选：B．
例2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
【答案】B
【解析】由题意，
故选：B
例3．（2022·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公比为，则，得，解得（舍去），
∴.
故选：A.
例4．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由，则，所以，即，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．
故选：D．
例5．（2022·广东江门·高三阶段练习）设等比数列满足，则___________.
【答案】
【解析】因为等比数列满足，所以，
又，解得，故，，所以.
故答案为：
例6．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
【答案】B
【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知、、成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为、、成等比数列，
所以，解得；
故选：C
例9．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】不妨设插入两个正数为，即
∵成等比数列，则
成等差数列，则
即，解得或（舍去）
则
故选：B．
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得
，因此，.
故选：B.
例11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】解：因为等比数列的公比，
所以．
故选：D
例12．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：，解得：，
设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，
显然，所以，所以，
所以
故选：D
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
例15．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，，且，则（ ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
【答案】A
【解析】解：依题意设公比为，且、，由，则，即，所以，
因为，所以，所以，所以，所以；
故选：A
例16．（2022·全国·高三专题练习）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【答案】C
【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，
所以，
所以，解得.
故选：C.
例17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，
化为：，解得．
故选：D
【方法技巧与总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，．
题型二：等比数列的判定与证明
例18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
【解析】(1)当时，，．
当时，，两式相减得，
即，，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得，，当时，，
数列的通项公式为．
，
，
令，
得，解得．
例19．（2022·海南海口·二模）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：设等比数列的公比为q，由题意知且．
则，，，
因为是等比数列，所以，
即，展开整理得，
所以，即．
选择①③为条件，②为结论，
证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．
因为，即，因为，所以．
所以，所以．
因为，，
所以是首项为，公比为的等比数列．
选择②③为条件，①为结论，
证明过程如下：设的公比为，由题意知且．
则，所以，
又因为，且，所以．所以．
当时，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列．
例20．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知正项数列的前项和，其中，，为常数.
(1)若，证明：数列是等比数列；
(2)若，，求数列的前项和.
【解析】(1)当时，，则，
又正项数列，则且，当时，，又，则，也符合，
则，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；
(2)由（1）知：当时，，则，由可得，又正项数列可得，则，
，则，又，可得，则，时也符合，则，
则，，
两式相减得，则.
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.
【解析】设，则 ，
且，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.
例22．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；
【解析】证明：因为，
所以，
又，
∴是首项为，公比为2的等比数列；
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
【解析】解：因为，
所以，又，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
当时，
，
而也满足，所以；
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足： ，且.求证：数列是等比数列；
【解析】证明：因为，，，
所以，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
例25．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
【解析】(1)，由得：，而，
则，整理得，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，显然数列是递增数列，而，
即时，，，当时，，
所以，当时，，当时，.
例26．（2022·全国·高三专题练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【解析】(1)设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】(1)因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由（1）可知，所以，
所以．
例28．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列和满足，，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由，，两式相减得：
，，
则，所以是等比数列.
(2)由，，两式相加得：
，
即，
因为，所以，
由（1）知，
所以，
所以的前项和
.
例29．（2022·河北·模拟预测）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
例30．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知在数列中，.
(1)令，证明：数列是等比数列；
(2)，证明：.
【解析】(1)证明：，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)证明：法一：，①
，②
①+②得
所以.
法二：由（1）知，所以，
所以，
所以，
又，所以.
例31．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【解析】(1)证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)证明：由（1）知，，，
，
.
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）若恒成立，求的最小值.
【解析】（1）由已知得，所以，又，，所以所以，
所以数列的通项公式；
（2）由得，又因为，所以是以首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）得，所以，
，
因为，
所以随的增大而增大，又，所以要使恒成立，则的最小值为.
例33．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)由得：，且，
则，又，
所以数列是首项为3，公比为4的等比数列.
(2)由（1）知：，又，则，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，·
综上，·
【方法技巧与总结】
等比数列的判定方法
定义法
若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项
若数列中，且，则是等比数列
公式法
通项
公式法
若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和
公式法
若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列
【注意】
（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定．
（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
题型三：等比数列项的性质应用
例34．（2022·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【解析】等比数列中，若，所以，
所以．
故选：C
例35．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在等比数列中，
因为为方程的两根，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
例36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【解析】因为，，则，所以．
故选:D
例37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以.
故选：C.
例38．（2022·陕西·长安一中一模（理））正项等比数列满足：，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
设正项等比数列的公比，，，则
，时，，当且仅当时取等号，时，，舍去，综上可得： 的最小值是 ，故选B.
例39．（2022·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
在等比数列{an}中，由，得
则
故选A.
例40．（2022·天津·一模）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】解：当时，则，
因为，所以，所以，
故，
所以不能推出，
当时，则，
由，得，
则，所以，
所以不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
例41．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知为等比数列，，则_________．
【答案】
【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，
若，则，，则；
若，则，，则.
故答案为：.
例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______
【答案】5
【解析】设正项等比数列公比为q，由得，
于是得，而，解得，
因此，，，
由得：，
从而得：，而 ，解得，
又，则n的最小值为5，
故答案为：5.
例43．（2022·全国·高三专题练习（理））在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是___________．
【答案】9
【解析】
由得，依题意得故时，取最小值.
【详解】
由得，即故
因为，则，由于，得
所以等比数列是递增数列，故
则取最小值时，
故答案为：9
【方法技巧与总结】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型四：等比数列前n项和的性质
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，则________．
【答案】2
【解析】由题设，，
若时，，故与矛盾，
∴，即，显然成立.
故答案为：2.
例45．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为,则实数_______.
【答案】1
【解析】
【详解】
最后代回原式进行检验。
例46．（2022·全国·高三专题练习）等比数列前n项和为，若，则______.
【答案】
【解析】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，
所以，又因为，即，所以，整理得.
故答案为：.
例47．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】
推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.
【详解】
设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
例48．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
例50．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，若，，则
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：
本题正确选项：
例51．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
例52．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，
，
因为数列为等比数列，
所以，得，
所以，
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
题型五：求数列的通项
例53．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．
例54．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.
故选：B.
例55．（2022·安徽·高考模拟（文））已知等比数列的首项为2，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，得，
解得：或（舍去），∴；
当时，；当时，.
（2）当时，
；
当时，
.
例56．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】(1)，.
(2)由图形的作法可知：
从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为，
从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边长为，
所以，.
例57．（2022·上海·高三阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
【解析】(1)设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为
(2)设为数列的前项和，
则．
由于
由（1）知，
时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，
所以为递减数列，
于是
因此，
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的
【方法技巧与总结】
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
题型六：奇偶项求和问题的讨论
例58．（2022·全国·一模（理））已知数列中，，，则的前200项和_________.
【答案】
【解析】
当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出.
【详解】
由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
故答案为：.
例59．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
例60．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
例61．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【解析】(1)变形为，
因为，
所以，故；
(2)当为奇数时，，
当为偶数时，，
则
例62．（2022·天津·二模）已知数列中，，，令．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前23项和．
【解析】(1)解：当n=1时，a1a2=2，
又a1=1，得a2=2，
由，①，
得，②，
①②两式相除可得，
则，且b1=a2=2，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故；
(2)当n为偶数时，；
当n为奇数时，，
，
所以数列的前23项和为，
=，
=
．
例63．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，
(1)令，求，及的通项公式；
(2)求数列的前2n项和.
【解析】(1)由题意得，，，，，
，，，
当时，，
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
(2)由（1）知，所以，
所以
.
例64．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【解析】(1)设数列的公差为d，
∵，，成等比数列，且，
∴，即，解得，
则，
即，
(2)（ⅰ）由（1）可知，，
则
；
（ⅱ）由题意，对，
，
设的前n项为，
所以，则，
则
，
所以，
即．
例65．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【解析】(1)由题：，
∵，即
得：，即
当时，，
当时，，，两式相减整理得，
即数列是以首项，公比的等比数列
∴
(2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
，
两式相减得：
得：
【方法技巧与总结】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型七：等差数列与等比数列的综合应用
例66．（2022·北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知为一等差数列，为一等比数列，且这6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（ ）
①与可能同时成立
②与可能同时成立
③若，则
④若，则
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【解析】解：由等差数列知：，为公差），
故①③均不正确，
由等比数列为公比）知：，知④正确，
当，时，②正确，
所以正确的序号有：②④．
故选：．
例67．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，
即，
故选：B
例68．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
例69．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
例70．（2022·浙江·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
【解析】(1)解：因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
，
；
(2)．
当时，，
当时，，则，
所以，
.
例71．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
例72．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，则，
因为，且成等比数列，
所以，解得：或（舍），
所以．
(2)选择①：设等比数列的公比为q，
因为，所以，
又，即，所以或（舍），
所以．
选择②：设等比数列的公比为q，
因为，，即，可得或（舍），
所以．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
题型八：等比数列的范围与最值问题
例73．（2022·安徽·蚌埠二中二模（理））已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【详解】
利用排除法：
考查等比数列：，，，，
满足，但是，选项A错误；
考查等比数列：，，，，
满足，但是，选项B错误；
该数列满足，但是，选项C错误；
本题选择D选项.
例74．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
【答案】D
【解析】因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
故选：D.
例75．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】，，，
，．
，故①正确；
，，故②不正确；
，是数列中的最大项，故③正确；
，，
使成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
正确结论的序号是①③．
故选：B．
例76．（2022·北京房山·高三开学考试）已知等比数列中，，那么“”是“为数列的最大项”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，可知递减，所以为数列的最大项，
当为数列的最大项时，则，所以，解得且，
所以“”是“为数列的最大项”的充分而不必要条件，
故选：A
例77．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列满足，且是数列的前n项和，则（ ）
A．数列单调递增 B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 因为，所以，
设，
当时，单调递减，当时，单调递增.
所以所以
所以
当时，；
当时，，因为，所以这种情况不存在.
所以，所以数列单调递减. 所以选项A错误.
．所以A错误．
对于B：由前面得．下面证明．只需证明
，令，
，
令，则，
∴成立．所以，
所以，所以选项B错误；
对于C：，设，设，
则．所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大．所以，即．所以C错误．
对于D：一般地，证明：．
只需证明．
．令，则，
∴成立．所以，所以．所以D正确．
故选：D
例78．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为 B．
C．存在最大值，但无最小值 D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以正项等比数列的公比满足，且，
所以，故A错误；
由等比数列的前项和公式可得，，
因为，所以，故B错误；
因为，
所以，
易知，由指数函数单调性可知，
所以存在最大值，但无最小值，故C正确；
，故D错误；
故选：C.
例79．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【答案】AC
【解析】对A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对B，C，由等比数列的性质，，故，，，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC．
例80．（多选题）（2022·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，
，，B正确；
，，即，A正确；
由得，，所以，而，，因此，C错；
由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD．
例81．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
题型九：等比数列的简单应用
例82．（2022·河南·模拟预测（理））北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1
中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，
“次分形”后线段的长度为，
所以要得到一个长度不小于的分形图，
只需满足，则，即，
解得，所以至少需要次分形．
故选：C.
例83．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，从第2个正方形开始，以后每个正方形边长都是相邻前一个的，
而所有正方形都相似，则从第2个正方形开始，每个正方形面积都是相邻前一个的，
因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列，其首项，公式，
所以.
故选：B
例84．（2022·全国·高三专题练习）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
【答案】A
【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，
，则是等比数列，首项为，公比，
所以.依题意，，即，所以,
由于，
又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
故选:A.
例85．（2022·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
【答案】
【解析】由题意得：每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，
设去掉的区间长度之和为，则为等比数列，其中，公比，
所以，故，
其中，令，解得：，
所以需要操作的次数n的最小值为11.
故答案为：，11
例86．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
【答案】 2 115
【解析】由题意可知 ,故第一个理想数为1，第二个理想数为2，
当时，数列可分为：
第1组1个数：1，其和为，
第2组2个数：，，其和为，
第3组3个数：，，，其和为，
……，
第N组N个数：，，，…，，其和为，
于是，前N组共个数，其和为，
当时，不可能是2的整数幂，
设第组还有t个数（），这t个数的和为，
所以项数，其前n项和，
当时，若，则是的一个理想数．
由项数，即得，
由，因此．
当时，，理想数为6；当时，，理想数为14；
当时，，理想数为30；当时，，理想数为62；
所以当项数时，所有理想数的和为．
故答案为：2；115
例87．（2022·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
【答案】
【解析】第一个三角形面积，
第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，
故．
记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，
有条边，边长；有条边，边长；有条边，
边长
，即，，
周长．
故答案为：；
【过关测试】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；
故选：B
2．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，所以，所以，
，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即，，构成等比数列，所以，
解得，（舍去），所以.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和
；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间
经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，
经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为
由化简得，解得
故选:A
4．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，
当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以，
所以
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
6．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））数列中，，对任意m，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】解：在等式，中，令，可得，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
∴，∴，则，解得
故选：C.
7．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．是等比数列 B．
C．是等比数列 D．
【答案】B
【解析】对于A：当是奇数时，，
所以，
又因为，所以，
所以当是奇数时，，即．
即是以首项为，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B：由A知：当是奇数时，，
所以，
即选项B错误；
对于C：当为偶数时，，即，
又因为，所以，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D：
，即选项D正确．
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】AD
【解析】设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题设，若的公差和首项分别为，而，
∴，整理得，又公差和首项都不等于0，
∴，故D正确，C错误；
∵，
∴，故A正确，B错误.
故选：AD
11．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．
【答案】ABD
【解析】依题意，
当时，，
当时，，
，所以，
所以，
所以.
当时，；当时，符合上式，所以.
，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
12．（2022·全国·高三专题练习）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列不是递增数列
D．数列的前n项和小于
【答案】ABD
【解析】，A对；
∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
∴为等比数列，B对；
∵与互质的数为
共有个，∴
又∵=，∴一定是单调增数列，C错；
，的前n项和为
，D对.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
【答案】１或.
【解析】解：当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时.
综上所述：公比的值为：１或.
故答案为：１或.
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∵，
∴，，
将代入，可得.
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）数列满足 ，则该数列从第5项到第15项的和为______．
【答案】1504
【解析】设数列的前项和为，数列的前项和为，
，
故，
，
数列从第5项到第15项的和：
，
故答案为：1504．
16．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））在数列及中，，，，．设，则数列的前项和为_________
【答案】
【解析】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，；
由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，；
，数列的前项和为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】(1)设等比数列的公比为 ,由，，
可得，即得，
解得或（舍去），
故，
由数列的前n项和为，可得，
当时，，适合该式，
故；
(2)若，则，
故，即，
即为常数列，则数列的前n项和为2n.
18．（12分）
（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由题意可得：
∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列
则，即
因此{}的通项公式为
(2)由（1）知，令则
所以．
．
综上．
19．（12分）
（2022·上海奉贤·二模）已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
【解析】(1)当时，，从而是等差数列，
，所以是等比数列
又，则
所以
(2)是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为q，
由，可得，则（定值）
则数列为等差数列，设其首项为，公差为d，
由数列的前项和，
可得方程组 整理得
解得，则
由，可得，则
则数列的通项公式为；数列的通项公式为．
20．（12分）
（2022·上海普陀·二模）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【解析】(1)解：设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列的通项公式为，.
(2)解：数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
则，
.
则所求的数列的前项和为.
21．（12分）
（2022·广东·二模）已知递增等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列满足，求数列的前15项和．
【解析】(1)设的公比为q，则由，得．
整理得．
又，得．
联立得，消去，得．
解得或．
又因为为递增等比数列，
所以，．
所以．
(2)（方法一）当时，，则，，同理，列举得，，，，，，，．
记的前n项和为，则
．
所以数列的前15项和为92．
（方法二）由，
得，
记的前n项和为，则
．
所以数列的前15项和为92．
22．（12分）
（2022·广东茂名·二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解析】(1)设等差数列的通项公式为d（d≠0），
由，所以，
又，得，.
(2)∵，
∴，
.
即命题得证．
专题25 等比数列及其前n项和
【考点预测】
一．等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．
二．等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
三．等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【方法技巧与总结】
（1）若，则．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
（5）为等比数列，若，则成等比数列．
（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
（8）若为正项等比数列，则为等差数列．
（9）若为等差数列，则为等比数列．
（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．
【题型归纳目录】
题型一：等比数列的基本运算
题型二：等比数列的判定与证明
题型三：等比数列项的性质应用
题型四：等比数列前n项和的性质
题型五：求数列的通项
题型六：奇偶项求和问题的讨论
题型七：等差数列与等比数列的综合应用
题型八：等比数列的范围与最值问题
题型九：等比数列的简单应用
【典例例题】
题型一：等比数列的基本运算
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为，，为正项等比数列，
所以，解得.
故选：B．
例2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
【答案】B
【解析】由题意，
故选：B
例3．（2022·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公比为，则，得，解得（舍去），
∴.
故选：A.
例4．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由，则，所以，即，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．
故选：D．
例5．（2022·广东江门·高三阶段练习）设等比数列满足，则___________.
【答案】
【解析】因为等比数列满足，所以，
又，解得，故，，所以.
故答案为：
例6．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】由已知条件得
，解得，
∴；
故答案为：.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
【答案】B
【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知、、成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为、、成等比数列，
所以，解得；
故选：C
例9．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】不妨设插入两个正数为，即
∵成等比数列，则
成等差数列，则
即，解得或（舍去）
则
故选：B．
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得
，因此，.
故选：B.
例11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】解：因为等比数列的公比，
所以．
故选：D
例12．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：，解得：，
设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，
显然，所以，所以，
所以
故选：D
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
例15．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，，且，则（ ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
【答案】A
【解析】解：依题意设公比为，且、，由，则，即，所以，
因为，所以，所以，所以，所以；
故选：A
例16．（2022·全国·高三专题练习）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【答案】C
【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，
所以，
所以，解得.
故选：C.
例17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，
化为：，解得．
故选：D
【方法技巧与总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，．
题型二：等比数列的判定与证明
例18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
【解析】(1)当时，，．
当时，，两式相减得，
即，，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得，，当时，，
数列的通项公式为．
，
，
令，
得，解得．
例19．（2022·海南海口·二模）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：设等比数列的公比为q，由题意知且．
则，，，
因为是等比数列，所以，
即，展开整理得，
所以，即．
选择①③为条件，②为结论，
证明过程如下：设的公比为q，由题意知且．
因为，即，因为，所以．
所以，所以．
因为，，
所以是首项为，公比为的等比数列．
选择②③为条件，①为结论，
证明过程如下：设的公比为，由题意知且．
则，所以，
又因为，且，所以．所以．
当时，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列．
例20．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知正项数列的前项和，其中，，为常数.
(1)若，证明：数列是等比数列；
(2)若，，求数列的前项和.
【解析】(1)当时，，则，
又正项数列，则且，当时，，又，则，也符合，
则，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；
(2)由（1）知：当时，，则，由可得，又正项数列可得，则，
，则，又，可得，则，时也符合，则，
则，，
两式相减得，则.
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.
【解析】设，则 ，
且，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.
例22．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；
【解析】证明：因为，
所以，
又，
∴是首项为，公比为2的等比数列；
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
【解析】解：因为，
所以，又，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
当时，
，
而也满足，所以；
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足： ，且.求证：数列是等比数列；
【解析】证明：因为，，，
所以，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
例25．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
【解析】(1)，由得：，而，
则，整理得，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，显然数列是递增数列，而，
即时，，，当时，，
所以，当时，，当时，.
例26．（2022·全国·高三专题练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【解析】(1)设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】(1)因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
(2)由（1）可知，所以，
所以．
例28．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列和满足，，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由，，两式相减得：
，，
则，所以是等比数列.
(2)由，，两式相加得：
，
即，
因为，所以，
由（1）知，
所以，
所以的前项和
.
例29．（2022·河北·模拟预测）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
例30．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知在数列中，.
(1)令，证明：数列是等比数列；
(2)，证明：.
【解析】(1)证明：，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)证明：法一：，①
，②
①+②得
所以.
法二：由（1）知，所以，
所以，
所以，
又，所以.
例31．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【解析】(1)证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)证明：由（1）知，，，
，
.
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）若恒成立，求的最小值.
【解析】（1）由已知得，所以，又，，所以所以，
所以数列的通项公式；
（2）由得，又因为，所以是以首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）得，所以，
，
因为，
所以随的增大而增大，又，所以要使恒成立，则的最小值为.
例33．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)由得：，且，
则，又，
所以数列是首项为3，公比为4的等比数列.
(2)由（1）知：，又，则，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，·
综上，·
【方法技巧与总结】
等比数列的判定方法
定义法
若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项
若数列中，且，则是等比数列
公式法
通项
公式法
若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和
公式法
若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列
【注意】
（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定．
（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
题型三：等比数列项的性质应用
例34．（2022·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【解析】等比数列中，若，所以，
所以．
故选：C
例35．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在等比数列中，
因为为方程的两根，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
例36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【解析】因为，，则，所以．
故选:D
例37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以.
故选：C.
例38．（2022·陕西·长安一中一模（理））正项等比数列满足：，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
设正项等比数列的公比，，，则
，时，，当且仅当时取等号，时，，舍去，综上可得： 的最小值是 ，故选B.
例39．（2022·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
在等比数列{an}中，由，得
则
故选A.
例40．（2022·天津·一模）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】解：当时，则，
因为，所以，所以，
故，
所以不能推出，
当时，则，
由，得，
则，所以，
所以不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
例41．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知为等比数列，，则_________．
【答案】
【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，
若，则，，则；
若，则，，则.
故答案为：.
例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______
【答案】5
【解析】设正项等比数列公比为q，由得，
于是得，而，解得，
因此，，，
由得：，
从而得：，而 ，解得，
又，则n的最小值为5，
故答案为：5.
例43．（2022·全国·高三专题练习（理））在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是___________．
【答案】9
【解析】
由得，依题意得故时，取最小值.
【详解】
由得，即故
因为，则，由于，得
所以等比数列是递增数列，故
则取最小值时，
故答案为：9
【方法技巧与总结】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型四：等比数列前n项和的性质
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，则________．
【答案】2
【解析】由题设，，
若时，，故与矛盾，
∴，即，显然成立.
故答案为：2.
例45．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为,则实数_______.
【答案】1
【解析】
【详解】
最后代回原式进行检验。
例46．（2022·全国·高三专题练习）等比数列前n项和为，若，则______.
【答案】
【解析】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，
所以，又因为，即，所以，整理得.
故答案为：.
例47．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】
推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.
【详解】
设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
例48．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
例50．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，若，，则
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：
本题正确选项：
例51．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
例52．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，
，
因为数列为等比数列，
所以，得，
所以，
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
题型五：求数列的通项
例53．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．
例54．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.
故选：B.
例55．（2022·安徽·高考模拟（文））已知等比数列的首项为2，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，得，
解得：或（舍去），∴；
当时，；当时，.
（2）当时，
；
当时，
.
例56．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】(1)，.
(2)由图形的作法可知：
从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为，
从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边长为，
所以，.
例57．（2022·上海·高三阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
【解析】(1)设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为
(2)设为数列的前项和，
则．
由于
由（1）知，
时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，
所以为递减数列，
于是
因此，
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的
【方法技巧与总结】
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
题型六：奇偶项求和问题的讨论
例58．（2022·全国·一模（理））已知数列中，，，则的前200项和_________.
【答案】
【解析】
当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出.
【详解】
由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
故答案为：.
例59．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
例60．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
例61．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【解析】(1)变形为，
因为，
所以，故；
(2)当为奇数时，，
当为偶数时，，
则
例62．（2022·天津·二模）已知数列中，，，令．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前23项和．
【解析】(1)解：当n=1时，a1a2=2，
又a1=1，得a2=2，
由，①，
得，②，
①②两式相除可得，
则，且b1=a2=2，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故；
(2)当n为偶数时，；
当n为奇数时，，
，
所以数列的前23项和为，
=，
=
．
例63．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，
(1)令，求，及的通项公式；
(2)求数列的前2n项和.
【解析】(1)由题意得，，，，，
，，，
当时，，
又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
(2)由（1）知，所以，
所以
.
例64．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【解析】(1)设数列的公差为d，
∵，，成等比数列，且，
∴，即，解得，
则，
即，
(2)（ⅰ）由（1）可知，，
则
；
（ⅱ）由题意，对，
，
设的前n项为，
所以，则，
则
，
所以，
即．
例65．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【解析】(1)由题：，
∵，即
得：，即
当时，，
当时，，，两式相减整理得，
即数列是以首项，公比的等比数列
∴
(2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
，
两式相减得：
得：
【方法技巧与总结】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型七：等差数列与等比数列的综合应用
例66．（2022·北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知为一等差数列，为一等比数列，且这6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（ ）
①与可能同时成立
②与可能同时成立
③若，则
④若，则
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【解析】解：由等差数列知：，为公差），
故①③均不正确，
由等比数列为公比）知：，知④正确，
当，时，②正确，
所以正确的序号有：②④．
故选：．
例67．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，
即，
故选：B
例68．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
例69．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
例70．（2022·浙江·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
【解析】(1)解：因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
，
；
(2)．
当时，，
当时，，则，
所以，
.
例71．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
例72．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，则，
因为，且成等比数列，
所以，解得：或（舍），
所以．
(2)选择①：设等比数列的公比为q，
因为，所以，
又，即，所以或（舍），
所以．
选择②：设等比数列的公比为q，
因为，，即，可得或（舍），
所以．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
题型八：等比数列的范围与最值问题
例73．（2022·安徽·蚌埠二中二模（理））已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【详解】
利用排除法：
考查等比数列：，，，，
满足，但是，选项A错误；
考查等比数列：，，，，
满足，但是，选项B错误；
该数列满足，但是，选项C错误；
本题选择D选项.
例74．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
【答案】D
【解析】因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
故选：D.
例75．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】，，，
，．
，故①正确；
，，故②不正确；
，是数列中的最大项，故③正确；
，，
使成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
正确结论的序号是①③．
故选：B．
例76．（2022·北京房山·高三开学考试）已知等比数列中，，那么“”是“为数列的最大项”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，可知递减，所以为数列的最大项，
当为数列的最大项时，则，所以，解得且，
所以“”是“为数列的最大项”的充分而不必要条件，
故选：A
例77．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列满足，且是数列的前n项和，则（ ）
A．数列单调递增 B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 因为，所以，
设，
当时，单调递减，当时，单调递增.
所以所以
所以
当时，；
当时，，因为，所以这种情况不存在.
所以，所以数列单调递减. 所以选项A错误.
．所以A错误．
对于B：由前面得．下面证明．只需证明
，令，
，
令，则，
∴成立．所以，
所以，所以选项B错误；
对于C：，设，设，
则．所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大．所以，即．所以C错误．
对于D：一般地，证明：．
只需证明．
．令，则，
∴成立．所以，所以．所以D正确．
故选：D
例78．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为 B．
C．存在最大值，但无最小值 D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以正项等比数列的公比满足，且，
所以，故A错误；
由等比数列的前项和公式可得，，
因为，所以，故B错误；
因为，
所以，
易知，由指数函数单调性可知，
所以存在最大值，但无最小值，故C正确；
，故D错误；
故选：C.
例79．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【答案】AC
【解析】对A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对B，C，由等比数列的性质，，故，，，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC．
例80．（多选题）（2022·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，
，，B正确；
，，即，A正确；
由得，，所以，而，，因此，C错；
由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD．
例81．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
题型九：等比数列的简单应用
例82．（2022·河南·模拟预测（理））北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1
中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，
“次分形”后线段的长度为，
所以要得到一个长度不小于的分形图，
只需满足，则，即，
解得，所以至少需要次分形．
故选：C.
例83．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，从第2个正方形开始，以后每个正方形边长都是相邻前一个的，
而所有正方形都相似，则从第2个正方形开始，每个正方形面积都是相邻前一个的，
因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列，其首项，公式，
所以.
故选：B
例84．（2022·全国·高三专题练习）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
【答案】A
【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，
，则是等比数列，首项为，公比，
所以.依题意，，即，所以,
由于，
又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
故选:A.
例85．（2022·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
【答案】
【解析】由题意得：每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，
设去掉的区间长度之和为，则为等比数列，其中，公比，
所以，故，
其中，令，解得：，
所以需要操作的次数n的最小值为11.
故答案为：，11
例86．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
【答案】 2 115
【解析】由题意可知 ,故第一个理想数为1，第二个理想数为2，
当时，数列可分为：
第1组1个数：1，其和为，
第2组2个数：，，其和为，
第3组3个数：，，，其和为，
……，
第N组N个数：，，，…，，其和为，
于是，前N组共个数，其和为，
当时，不可能是2的整数幂，
设第组还有t个数（），这t个数的和为，
所以项数，其前n项和，
当时，若，则是的一个理想数．
由项数，即得，
由，因此．
当时，，理想数为6；当时，，理想数为14；
当时，，理想数为30；当时，，理想数为62；
所以当项数时，所有理想数的和为．
故答案为：2；115
例87．（2022·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
【答案】
【解析】第一个三角形面积，
第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，
故．
记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，
有条边，边长；有条边，边长；有条边，
边长
，即，，
周长．
故答案为：；
【过关测试】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；
故选：B
2．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，所以，所以，
，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，
即，，构成等比数列，所以，
解得，（舍去），所以.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和
；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间
经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，
经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为
由化简得，解得
故选:A
4．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，
当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以，
所以
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
6．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））数列中，，对任意m，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】解：在等式，中，令，可得，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
∴，∴，则，解得
故选：C.
7．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由.得，
又，可得
所以，，，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．是等比数列 B．
C．是等比数列 D．
【答案】B
【解析】对于A：当是奇数时，，
所以，
又因为，所以，
所以当是奇数时，，即．
即是以首项为，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B：由A知：当是奇数时，，
所以，
即选项B错误；
对于C：当为偶数时，，即，
又因为，所以，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D：
，即选项D正确．
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】AD
【解析】设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：AD．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题设，若的公差和首项分别为，而，
∴，整理得，又公差和首项都不等于0，
∴，故D正确，C错误；
∵，
∴，故A正确，B错误.
故选：AD
11．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．
【答案】ABD
【解析】依题意，
当时，，
当时，，
，所以，
所以，
所以.
当时，；当时，符合上式，所以.
，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
12．（2022·全国·高三专题练习）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列不是递增数列
D．数列的前n项和小于
【答案】ABD
【解析】，A对；
∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
∴为等比数列，B对；
∵与互质的数为
共有个，∴
又∵=，∴一定是单调增数列，C错；
，的前n项和为
，D对.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
【答案】１或.
【解析】解：当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时.
综上所述：公比的值为：１或.
故答案为：１或.
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴，∵，
∴，，
将代入，可得.
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）数列满足 ，则该数列从第5项到第15项的和为______．
【答案】1504
【解析】设数列的前项和为，数列的前项和为，
，
故，
，
数列从第5项到第15项的和：
，
故答案为：1504．
16．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））在数列及中，，，，．设，则数列的前项和为_________
【答案】
【解析】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，；
由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，；
，数列的前项和为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】(1)设等比数列的公比为 ,由，，
可得，即得，
解得或（舍去），
故，
由数列的前n项和为，可得，
当时，，适合该式，
故；
(2)若，则，
故，即，
即为常数列，则数列的前n项和为2n.
18．（12分）
（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由题意可得：
∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列
则，即
因此{}的通项公式为
(2)由（1）知，令则
所以．
．
综上．
19．（12分）
（2022·上海奉贤·二模）已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
【解析】(1)当时，，从而是等差数列，
，所以是等比数列
又，则
所以
(2)是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为q，
由，可得，则（定值）
则数列为等差数列，设其首项为，公差为d，
由数列的前项和，
可得方程组 整理得
解得，则
由，可得，则
则数列的通项公式为；数列的通项公式为．
20．（12分）
（2022·上海普陀·二模）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【解析】(1)解：设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列的通项公式为，.
(2)解：数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
则，
.
则所求的数列的前项和为.
21．（12分）
（2022·广东·二模）已知递增等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列满足，求数列的前15项和．
【解析】(1)设的公比为q，则由，得．
整理得．
又，得．
联立得，消去，得．
解得或．
又因为为递增等比数列，
所以，．
所以．
(2)（方法一）当时，，则，，同理，列举得，，，，，，，．
记的前n项和为，则
．
所以数列的前15项和为92．
（方法二）由，
得，
记的前n项和为，则
．
所以数列的前15项和为92．
22．（12分）
（2022·广东茂名·二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解析】(1)设等差数列的通项公式为d（d≠0），
由，所以，
又，得，.
(2)∵，
∴，
.
即命题得证．
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