2023高考数学二轮复习专题08 幂函数与二次函数（原卷版）

专题08 幂函数与二次函数

【考点预测】

1.幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.

2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1；  ②的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3.常见的幂函数图像及性质：

4.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.

5．二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.

（1）单调性与最值

①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当

时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.

6.二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则.

【方法技巧与总结】

1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

3.一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.

4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

【题型归纳目录】

题型一：幂函数的定义及其图像

题型二：幂函数性质的综合应用

题型三：二次方程的实根分布及条件

题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

【典例例题】

题型一：幂函数的定义及其图像

例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）

A． B．0或2 C．0 D．2

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.

例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．

例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：

①都经过点（0，0）和（1，1）；     ②在第一象限都是增函数．

请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【方法技巧与总结】

确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.

题型二：幂函数性质的综合应用

例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足，，则（       ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

例10．（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（       ）

A． B．

C． D．

例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．

例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.

例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．

例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【方法技巧与总结】

紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数

时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.

题型三：二次方程的实根分布及条件

例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.

(1)求的解析式；

(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.

例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数，．

(1)求的最大值及取最大值时的值；

(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．

【方法技巧与总结】

结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.

题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

例19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（       ）

A．0 B．1

C．2 D．4

例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．

(1)求的表达式；

(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．

例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．

例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：

，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.

例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．

（1）求的解析式；

（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．

例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.

(1)求的解析式；

(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.

【方法技巧与总结】

“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：

（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；

（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（       ）

A．，都有 B．，都有

C．，使得 D．，使得

2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为（       ）

A．1或 B．1 C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（       ）

A．或 B．或 C．或 D．、或

5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（     ）

A． B．

C． D．

6．（2022·北京·高三专题练习）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是

A．3 B．4 C．5 D．6

7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（       ）

A．m，n是奇数，且<1

B．m是偶数，n是奇数，且>1

C．m是偶数，n是奇数，且<1

D．m是奇数，n是偶数，且>1

8．（2022·全国·高三专题练习）已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（       ）

A． B．

C． D．

11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（       ）

A． B．

C． D．

12．（2022·全国·高三专题练习）设点满足．则点（       ）

A．只有有限个 B．有无限多个

C．位于同一条直线上 D．位于同一条抛物线上

三、填空题

13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．

①；

②当时，；

③；

14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.

15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.

16．（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.

四、解答题

17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式．

18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上单调递增.

（1）求的解析式；

（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.

19．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.

(1)当时，函数定义域和值域都是，，求的值；

(2)若函数在区间上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.

21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，

(1)若函数在，上存在零点，求的取值范围；

(2)设函数，，当时，若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围．

22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且.

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.