高考数学二轮复习专项分层特训微专题13二项分布与超几何分布含答案

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1．[2022·山东滨州二模]新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人
(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；
(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，n＝a＋b＋c＋d.
2．[2022·河北沧州二模]足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮了)；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有 eq \f(1,2) 的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)现有甲、乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为 eq \f(3,5) ，乙队每名队员射进点球的概率均为 eq \f(1,2) ，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(ⅰ)若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出的概率；
(ⅱ)求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出的概率．
3.[2022·福建莆田模拟]某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
4．[2022·湖南永州三模]某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖．根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：
(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；
(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元．请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性．
5.[2022·广东茂名模拟]某工厂为检查生产情况进行调查，从若干产品中随机抽取60件产品作为样本并称出它们的重量(单位：克)，将产品按重量分成5组，分别为[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并整理得到产品重量的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)从上述抽取的60件产品中任取2件产品，记随机变量X为重量超过50克的产品数量，求X的分布列及数学期望；
(3)用频率代替概率，从此工厂生产的产品中任取5件产品，求恰有3件产品的重量超过40克的概率．
6．[2022·湖南雅礼中学二模]某特种商品生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，下图为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图1)，以及不合格产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图2)：
(1)求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率；(不合格率＝ eq \f(不合格产品数,总产品数) )
(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率，
(ⅰ)用分层抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记X为样本中不合格品的件数，求X的分布列；
(ⅱ)用简单随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记Y为样本中不合格品的件数．比较E(X)，E(Y)的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解．
微专题13 二项分布与超几何分布
1．解析：(1)根据数表可得χ2＝ eq \f(100（15×50－25×10）2,75×25×60×40) ＝ eq \f(50,9) >5.024，
所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关．
(2)随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为 eq \f(25,100) ＝ eq \f(1,4) ，
被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，
依题意，X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4))) ，P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) 0· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) 3＝ eq \f(27,64) ，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) 1· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) 2＝ eq \f(27,64) ，P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) 2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) 1＝ eq \f(9,64) ，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) 3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) 0＝ eq \f(1,64) ，
所以X的分布列为：
X的数学期望E(X)＝3× eq \f(1,4) ＝ eq \f(3,4) .
2．解析：(1)依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,3) ×3× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,6) ，
门将在前三次扑出点球的个数X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 0× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 3＝ eq \f(125,216) ，P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 2＝ eq \f(25,72) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 1＝ eq \f(5,72) ，P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 0＝ eq \f(1,216) ，
则X的分布列为：
X的数学期望E(X)＝0× eq \f(125,216) ＋1× eq \f(25,72) ＋2× eq \f(5,72) ＋3× eq \f(1,216) ＝ eq \f(1,2) .
或(易知X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,6))) ，E(X)＝3× eq \f(1,6) ＝ eq \f(1,2) ).
(2)(ⅰ)记事件“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出”为事件A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进3个点球，对应的概率为
P(A)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) 3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 3＝ eq \f(27,1 000) .
(ⅱ)记“点球大战在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出”为事件B，意味着前5轮结束后比分为4∶4，第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为
P(B)＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) 4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) 2×C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 6＝ eq \f(81,10 000) .
3．解析：(1)从这6人中随机选出2人，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝15种选法，
其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4种，故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为 eq \f(4,15) .
(2)由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，
P(X＝5)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,5) ，P(X＝6)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,3) ，
P(X＝7)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(2,5) ，P(X＝8)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,15) .
故X的分布列为：
∴E(X)＝5× eq \f(1,5) ＋6× eq \f(1,3) ＋7× eq \f(2,5) ＋8× eq \f(1,15) ＝ eq \f(19,3) .
4．解析：(1)设一次摸球有奖活动中中奖为事件A，则事件A包含的基本事件有：C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(6)) ＝115，基本事件总数为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ＝210，
∴P(A)＝ eq \f(115,210) ＝ eq \f(23,42) ， ∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为 eq \f(23,42) .
(2)设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为X，X可以取0，15，20，200，
P(X＝0)＝1－ eq \f(23,42) ＝ eq \f(19,42) ，
P(X＝15)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(3,7) ，
P(X＝20)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(4,35) ，
P(X＝200)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ) ＝ eq \f(1,210) ，
故X的分布列为：
X的数学期望E(X)＝0× eq \f(9,42) ＋15× eq \f(3,7) ＋20× eq \f(4,35) ＋200× eq \f(1,210) ＝ eq \f(203,21) ，
由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值E(X)＝ eq \f(203,21) <10,
所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理．
5．解析：(1)由频率分布直方图可知
a＝ eq \f(1－10×（0.010＋0.030＋0.020＋0.005）,10) ＝0.035 .
(2)由题意可知重量在[50，60)的产品个数为60×10×0.005＝3(个)，
则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(57)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(60)) ) ＝ eq \f(266,295) ，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(57)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(60)) ) ＝ eq \f(57,590) ，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(60)) ) ＝ eq \f(1,590) ，
故随机变量X的分布列为：
故E(X)＝0× eq \f(266,295) ＋1× eq \f(57,590) ＋2× eq \f(1,590) ＝ eq \f(1,10) .
(3)由频率分布直方图可知重量在[40，60]的产品个数为(0.020＋0.005)×10×60＝15(个)，
故重量在[40，60]的频率为 eq \f(15,60) ＝ eq \f(1,4) .
由题意可知X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,4))) ，
∴P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) 3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4))) 2＝ eq \f(45,512) .
6．解析：(1)由题可知甲厂区生产3a件产品，乙厂区生产a件产品，甲、乙两厂各生产不合格产品 eq \f(a,2) 件，
则甲厂区生产产品的不合格率为P1＝ eq \f(\f(a,2),3a) ＝ eq \f(1,6) ，
乙厂区生产产品的不合格率P2＝ eq \f(\f(a,2),a) ＝ eq \f(1,2) .
(2)(ⅰ)根据分层抽样可知，样本中3件产品来自甲厂区，1件产品来自乙厂区，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 3· eq \f(1,2) ＝ eq \f(125,432) ，P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) · eq \f(1,6) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 2· eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 3· eq \f(1,2) ＝ eq \f(25,54) ，P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 2· eq \f(5,6) · eq \f(1,2) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) · eq \f(1,6) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) 2· eq \f(1,2) ＝ eq \f(5,24) ，P(X＝3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 3· eq \f(1,2) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 2· eq \f(5,6) · eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,27) ，P(X＝4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6))) 3· eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,432) ，
则X的分布列为：
(ⅱ)全部产品的不合格率为p＝ eq \f(a,4a) ＝ eq \f(1,4) ，由简单随机抽样方法知
Y～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4))) ，
∴E(Y)＝np＝4× eq \f(1,4) ＝1.
由(ⅰ)知E(X)＝0× eq \f(125,432) ＋1× eq \f(25,54) ＋2× eq \f(5,24) ＋3× eq \f(1,27) ＋4× eq \f(1,432) ＝1，
∴E(X)＝E(Y).
说明抽样方法不同，但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品件数的期望也相同．
购置新能源汽车
购置传统燃油汽车
总计
男性
50
10
60
女性
25
15
40
总计
75
25
100
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
摸取到的红球个数
2
3
4
中奖等级
三等奖
二等奖
一等奖
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,64)
eq \f(27,64)
eq \f(9,64)
eq \f(1,64)
X
0
1
2
3
P
eq \f(125,216)
eq \f(25,72)
eq \f(5,72)
eq \f(1,216)
X
5
6
7
8
P
eq \f(1,5)
eq \f(1,3)
eq \f(2,5)
eq \f(1,15)
X
0
15
20
200
P
eq \f(19,42)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)
X
0
1
2
P
eq \f(266,295)
eq \f(57,590)
eq \f(1,590)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(125,432)
eq \f(25,54)
eq \f(5,24)
eq \f(1,27)
eq \f(1,432)