2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．已知全集，则______.

【答案】

【分析】解分式不等式求得集合，由此求得

【详解】，解得，

所以

，所以.

故答案为：

2．已知复数满足（是虚数单位），则______.

【答案】

【分析】根据复数运算求得，从而求得.

【详解】依题意，，

所以，

所以.

故答案为：

3．已知圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为______.

【答案】

【分析】先由母线长和母线与旋转轴的夹角求出底面半径，再求出表面积即可.

【详解】∵母线长，母线与旋转轴的夹角，

∴底面半径，

∴圆锥的表面积.

故答案为：.

4．函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，，

解得且，

所以的定义域为.

故答案为：

5．的二项展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项等于___________.

【答案】15

【分析】根据二项式系数和得，进而求出二项式展开式的通式公式，令，解出，即可得出答案.

【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，

所以，得，

所以题中二项式为，二项式展开式的通式公式为：，

令，得：，则展开式中的常数项等于.

故答案为：15

6．函数的反函数______.

【答案】

【分析】根据反函数的求法求得正确答案.

【详解】，所以，

由得，

交换得，

所以.

故答案为：

7．无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则满足条件的的取值集合为______.

【答案】或

【分析】利用等比数列的定义和前项和公式求解即可.

【详解】因为是等比数列，所以，

又因为，所以，

所以由等比数列前项和公式可得，所以，

所以满足条件的的取值集合为或.

故答案为：或

8．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为_________

【答案】

【分析】求出球的体积，由圆锥的体积恰好也与球的体积相等，可得圆锥的高，计算可得圆锥的母线长.

【详解】解：由题意得：球的体积为：，

圆锥的体积：，其中h为圆锥的高，

因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，可得，，

故圆锥的母线长：，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查空间几何体简单的体积运算，属于基础题.

9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______.

【答案】

【分析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】每一“爻组”为“阳爻”的概率为，次独立重复试验，“阳爻”恰出现次的概率为.

故答案为.

【点睛】本小题主要考查独立重复试验概率计算公式，属于基础题.

10．在中，，的面积为. 若，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】作出图形，由的面积为可得出，利用基底、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律和基本不等式可计算出的最小值.

【详解】如下图所示：

由于，则的面积为，，

，即，解得，

，即，解得，

，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，涉及基本不等式的应用，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.

11．已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据数列是单调递增数列，对实数分类讨论，通过并利用函数单调性即可求得实数的取值范围.

【详解】由题意得，则，即，

当时，解得或；

当时，不等式无解；

又因为，所以

即，又，所以

即；

又因为，易得

所以，，解得或

利用对勾函数性质可知，函数在上满足恒成立，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

12．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.

【答案】.

【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.

【详解】当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；

当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.

综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.

【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.

二、单选题

13．设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】试题分析：命题甲等价于：若，则，若，则，命题乙等价于，∴甲是乙的必要不充分条件.

【解析】1.解不等式；2.充分必要条件.

14．关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】C

【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C．

【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

15．已知等比数列满足，则的取值范围是（  　  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设公比为q，根据，可得可得q的取值范围，再利用，即可得出.

【详解】解：设公比为q，则

，

：④

：或⑤

由④⑤可得：

，

.

故选：D.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

【答案】C

【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

【详解】由得,,,

所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.

如图所示,易知,

四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.

三、解答题

17．如图，圆锥的底面圆心为，直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，且．

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）求二面角的大小．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析: (1)方法一: 找出异面直线PC与OE所成的角, 三角形AOC为等腰直角三角形, E为劣弧BC的中点, 所以 ,所以OE∥AC,则 或其补角为异面直线PC与OE所成的角,再计算; 方法二: 建立空间直角坐标系,分别求出的坐标, 利用向量数量积求出的夹角,再得到异面直线PC与OE所成的角; (2)方法一: 由(1)中的建系,求出平面APC的法向量,易得平面ACE的法向量为(0,0,1),用夹角公式,求出平面APC与平面ACE的夹角, 方法二: 取AC的中点为D,作出二面角的平面角,求出.

试题解析: （1）证明：方法（1）∵是圆锥的高，∴⊥底面圆，

根据中点条件可以证明∥，                                          

或其补角是异面直线与所成的角；                              

所以                                                            

异面直线与所成的角是                                             

方法(2)如图,建立空间直角坐标系,

,             

,, ,         

设与夹角,

异面直线与所成的角                    

（2）、方法（1）、设平面的法向量

         ，                    

平面的法向量                            

设两平面的夹角,则                 

所以二面角的大小是 ．              

方法（2）、

取中点为，连接，又圆锥母线，∴

∵底面圆上∴

又为劣弧的中点，即有∈底面圆

∴二面角的平面角即为             

∵为半圆弧的中点，∴又直径

∴

∵底面圆且⊂底面圆O，∴

又∴△中，                         

∴      所以二面角的大小是

18．已知函数.

（1）若，求函数的值域；

（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦的和角公式，正弦、余弦的二倍公式，以及辅助角公式化简函数，再由正弦型函数的值域求解方法：整体代换思想，可得答案.

（2）由（1）和已知条件可求得角，再在中，由余弦定理求得边，继而由正弦定理求得， ，利用余弦的差角公式可得答案.

【详解】（1）

，

由得，，.

∴，即函数的值域为.

（2）由得，

又由，∴，∴.

在中，由余弦定理，得，

由正弦定理，得，

∵，∴，∴，

∴.

【点睛】本题考查运用三角函数公式进行恒等变换，利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.

19．已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收人为万美元，且

(1)写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式（利润=销售收入成本）；

(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元

【分析】（1）分段分别求出利润与的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；

（2）当时，利用二次函数性质求的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者大小，即可得到的最大值.

【详解】（1）当时，，

当时，，

∴．

（2）①当时，，

∴当时，，

②当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

即当时，，

综上所述，当时，取得最大值为6104万美元，

即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．

20．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；

（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；

（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.

【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；

（2）（i）

[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】

依题意设，

直线的斜率为，则，

所以．

又，所以，

进而有，即是直角三角形．

[方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】

由题意设，则．

因为Q，E，G三点共线，所以，

又因为点P，G在椭圆上，所以，

两式相减得，

所以，所以．

（ii）

[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】

设，则直线的方程为，联立解得所以直线的方程为．联立直线的方程和椭圆C的方程，可得，则，所以．

令，即

．

注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，．

[方法二]【求得面积表达式，然后利用基本不等式求最值】

设面积为S．设直线的方程为，由题意可知，直线的方程与椭圆的方程联立，即解得P点的横坐标．再由直线的方程和椭圆的方程联立，即

得，由韦达定理得．

由弦长公式得，．

．

当且仅当即时，等号成立．

[方法三]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后由基本不等式求最值】

设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为．

由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，．

又，从而，进而．以下同解法二．

【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键；

方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单.

(ii)方法一：导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解；

方法二：基本不等式要注意一正二定三相等，缺一不可；

方法三：使用基本不等式的前提是构造解析式使得和或者乘积为定值.

21．已知函数，其中为常数.

（1）当时，解不等式；

（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；

（3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．

（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．

（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．

【详解】解：（1）解不等式

当时，，所以

当时，，所以，

综上，该不等式的解集为

（2）当时，，

因为是以2为周期的偶函数，

所以，

由，且，得，

所以当时，

所以当时，

，

所以函数的反函数为

（3）①当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

②当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

③当时，在上不单调，所以

，，

在上，.

，不满足.

综上，的取值范围为.

③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是

令，解得或，不符合题意；

④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，

令，解得或，不符合题意.

综上，所求实数的取值范围为.

【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．