2022-2023学年河北省保定市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省保定市第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先解对数不等式与二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为，所以，则，

因为，所以，所以，

所以.

故选：D

2．命题：“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“，”的否定是“，”.

故选：C

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式，化简求值.

【详解】.

故选：D

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】三角函数由诱导公式化成锐角三角函数，由正弦函数单调性比较；对数式根据对数函数单调性与1比较大小.

【详解】，

，

，

因为，所以由正弦函数的性质可得，

∴..

故选：B

5．的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】设可得，配方后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】设，

则，

因为，所以时，的最大值是，

故选：A.

6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【分析】将转化为，由此判断出正确选项.

【详解】由于，故需向左平移后得到的图像.

【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题.

7．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶性定义可知为偶函数，当时，根据解析式可判断出单调性，从而得到在上的单调性；根据，结合单调性可得自变量大小关系，解不等式可求得结果.

【详解】定义域为，，为上的偶函数；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

又为偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减；

令，解得：，，

则由得：，解得：，

即的解集为.

故选：B.

8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则的最大值为（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据分离常数法和均值不等式即可进一步求解.

【详解】因为

又因为，

所以，

所以，

所以，

当且仅当，

即，

所以且当，

即，

即时，

，

所以，

故选：A.

二、多选题

9．若，则下列命题中真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质，以及做差法，即可判断选项.

【详解】A.，所以，则，故A正确；

B.，当时，，

所以，即，故B错误；

C. 若，，则，即,故C正确；

D. 若，则，两边同时乘以，则，故D正确.

故选：ACD

10．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值可能为（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】AC

【分析】根据充分，必要条件判断集合的包含关系，列式求实数的取值.

【详解】，解得：，

由条件可知，，所以，则，

由选项可知，满足条件的为或.

故选：AC

11．若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果.

【详解】在上为单调减函数，，解得：，

的值可以为或.

故选：CD.

12．定义2×2行列式，若函数，则下列表述错误的是（    ）

A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于轴对称

C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为

【答案】AB

【分析】首先化简函数，再根据三角函数的性质，判断选项.

【详解】由题中所给定义可知

，

，故A错误；

，故B错误；

当时，，此时函数单调递增，故C正确；

，故D正确.

故选：AB

三、填空题

13．幂函数在上单调递减，则实数 __________.

【答案】

【分析】根据幂函数的特征，列式，求的值，再根据函数的性质，确定的值.

【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，

当时，，函数在上单调递增，不满足条件；

当时，，函数在上单调递减，满足条件.

所以.

故答案为：

14．若的终边过点，则__________.

【答案】＃＃－1.25

【分析】先利用三角函数的定义求出，对利用诱导公式化简后代入即可求解.

【详解】因为的终边过点，所以，

所以.

故答案为：.

15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃，由此可求出的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却___________分钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据：）

【答案】2.89

【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.

【详解】由题意可知，，，

代入方程得即，

两边取对数得，

由参考数据可知，

所以，

故答案为：2.89

16．设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点的个数为___________.

【答案】10

【分析】根据图象变换画出的图象,根据及偶函数,求出的周期及对称轴,再根据时,,在同一坐标系下画出及在的图象,交点个数即零点个数.

【详解】解:由题知是由纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,

再将轴下方的图象翻到轴上方即可得到,

又有是定义在上的偶函数,

且,

所以图象关于直线对称,且周期为2,

又因为时,,

在同一坐标系下,画出及在的图象如下所示:

由图象可知与交点个数为10个,

即在上所有零点的个数为10个.

故答案为:10

四、解答题

17．已知集合，非空集合.

(1)当时，求和；

(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)或,；

(2)或

【分析】（1）利用分式不等式的解法化简集合A，再利用集合的补集和并集运算求解；

（2）根据是的必要不充分条件，由B⫋A求解.

【详解】（1）解：因为集合或,

所以，又 ，

所以；

（2））因为是的必要不充分条件，

所以B⫋A，

所以或，

解得或，

所以实数的取值范围是或.

18．已知函数，.

(1)将函数化成的形式，并写出其最小正周期；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)，最小正周期为，

(2)

【分析】（1）根据和差角公式以及二倍角公式化简得，利用辅助角公式即可化简，

（2）根据得，即可求解值域.

【详解】（1）

,

最小正周期为，

（2）时，，进而，

所以，所以

所以函数在区间上的值域为

19．回答下面两题

(1)已知，，求的值；

(2)已知，且，，求角的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平方关系，先求，再判断角的范围后，再利用平方求的值；

（2）利用角的变换求，再利用两角差的正弦公式，展开后求解.

【详解】（1）因为，两边平方后得

，即，因为，

所以，所以，

因为，

所以；

（2）因为，所以，

，所以，

，得，解得：，，

，且，

所以.

20．①；②且；③恒成立，且.在以上三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点，__________.

(1)求的解析式；

(2)若，求在的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）任意选择三个中的一个，利用待定系数法求解；

（2）令，则，则，利用对数函数的单调性求解.

【详解】（1）解：选①：设，

则，

由可得，解得，

则，由可得，

；

选②：因为，所以函数的图象关于直线对称，

因为，设，

则，可得，

所以；

选③：因为且，可设，其中，

则，可得，

所以；

（2）解：当时，，

令，则，

，

，

令，则，

因为函数在上单调递增，

因此函数值域为，

所以在的值域为．

21．已知函数的部分图象如图.

(1)求的表达式;

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线,把上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象.若关于的方程在恰有一个实数解,求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)由图象结合五点法求出函数解析式即可;

(2)由三角函数变换求出解析式,根据题意进行分离,变为与有一个交点,,对进行换元,画出函数图象,根据图象即可分析出范围.

【详解】（1）解:由图可得:,

,

,

,

,

此时:,

,

解得: ,

即,

,

故,

综上: .

（2）由(1)知,

向右平移个单位长度得到曲线:,

再将横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,变为:,

因为关于的方程在恰有一个实数解,

即有一个根,

即与有一个交点,

令,

则即在上与有一个交点,

画出图象如下:

由图可知,实数的取值范围为或.

22．已知函数（且）.

(1)试判断函数的奇偶性；

(2)当时，求函数的值域；

(3)已知，若，，使得，求实数的取值范围.

【答案】(1)偶函数

(2)

(3)

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义式判断即可；

（2）根据复合函数求值域计算即可；

（3）根据不等式恒成立与能成立综合，原式等价于，分别计算和的最小值，再代入解关于a的不等式即可.

【详解】（1）的定义域为

故是偶函数.

（2）当时，

令函数，

对，当时，

有

当时，，且，所以，

所以，

所以在上单调递增.

且函数是偶函数，所以函数的最小值是，

即的值域是.

（3），使得

等价于.

,

所以.

由（2）可知，函数在单调递增，

于是，当时，在单调递增，又因为函数是偶函数，故，

所以，解得，即a的范围为；

当时，在单调递减，故，

所以，无解.

综上：a的取值范围为.