2022-2023学年重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】根据倾斜角的定义可得结果

【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为，

故选:C.

2．已知空间向量，，且与垂直，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.

【详解】由已知可得，解得.

故选：A.

3．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线判断三点共线即可．

【详解】解：

，

又与过同一点B，

∴ A、B、D三点共线．

故选：C．

4．若直线过点和点，则该直线的方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．

【详解】解：（法一）因为直线过点和点，

所以直线的方程为，整理得；

（法二）因为直线过点和点，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，整理得；

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．

5．设，则以线段为直径的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据中点公式计算出圆心坐标，根据两点间的距离公式计算出圆的半径，从而可得圆的标准方程.

【详解】的中点坐标为，圆的半径为，

所以圆的方程为.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.属于基础题.

6．如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建系，设，再利用向量法求解即可.

【详解】以为原点，，，分别为，，轴建系，如图所示：

设，则，，，，

所以，.

设直线与直线夹角为，

则.

故选：A

7．当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.

【详解】解：因为圆的圆心为,半径，

又因为直线过定点A(-1,1),

故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，

此时有，即，解得.

故选：C.

8．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，再利用点到平面的距离，即可得答案；

【详解】如图，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，即.

令，则，，∴.

∴点到平面的距离.

故选：B.

【点睛】本题考查利用向量法求点到面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力.

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（　　）

A．直线在y轴上的截距是3

B．过平面内任意两点的直线方程都可以写成

C．三点共线

D．直线与的距离为

【答案】CD

【分析】对A：根据截距的概念分析判断；对B：根据直线的两点式方程分析判断；对C：利用斜率处理三点共线问题；对D：根据两平行线间距离公式运算判断.

【详解】对A：直线与y轴的交点为，则直线在y轴上的截距是，A错误；

对B：由可得，即与坐标轴垂直的直线不符合该直线方程，B错误；

对C：，即，故三点共线，C正确；

对D：，即

则直线与的距离为，D正确；

故选：CD.

10．已知两条直线：，：x+ay+6=0，则下列结论正确的是（　　）

A．当a=时，l1⊥ l2

B．若l1l2，则a =- 1或a=3

C．当a=2时，l1与l2相交于点

D．直线l2与圆一定有两个不同交点

【答案】AD

【分析】根据直线与直线、直线与圆的位置关系判断即可．

【详解】解：A．当a=时，直线的斜率，直线的斜率，

，

，

故A正确；

 B．若l1l2，则且，

即，

整理得，

解得或；

当时，与重合，

故，

故B错误；

C．当时，，，

联立后解得：，

故C错误；

D．圆心到直线的距离为，

∴ 直线l2与圆一定有两个不同交点．

故D正确．

故选：AD．

11．圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ）

A．直线AB的方程为

B．

C．线段AB的垂直平分线方程为

D．点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为

【答案】ACD

【分析】A：两个圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程；

B：利用几何关系即可求AB弦长；

C：弦AB中垂线为；

D：根据几何关系，点P到直线AB的距离的最大值P到AB距离与圆半径之和.

【详解】；

.

对于A，由与，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确；

对于B，圆心到直线的距离，半径为，则，故B错误；

对于C，圆的圆心为，圆的圆心的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故C正确；

对于D为圆上一动点，圆心到弦AB：的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确.

故选：ACD.

12．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐，生活中常用于净水，我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则（    ）

A．以正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体

B．直线与平面所成的角为

C．正八面体的表面积为

D．二面角的余弦值为

【答案】AC

【分析】根据对偶多面体的概念即可判断A；根据正八面体的几何特征得到，，进而证出平面，从而得出直线与平面所成的角为，就出即可判断B；已知棱长，根据正八面体的几何特征求其表面积即可判断C；作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可判断D.

【详解】对于A，如图，

根据一个正多面体和以它的各面中心为顶的正多面体，叫做互为对偶的正多面体，

根据对偶原则，每种多面体都存在对偶多面体，一种多面体的对偶多面体的对偶多面体等同该种多面体，

由于正方体与正八面体是对偶多面体， 所以以正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体，A正确；

对于B，如图，

连接、、交于点，

根据正八面体的几何特征，则有四边形、四边形为正方形，

，，又，

平面，

直线与平面所成的角为，

在中，， ，

，B错误；

对于C，正八面体的所有棱长均为，

正八面体的表面积，C正确；

对于D，如图，

取的中点，连接，，

根据正八面体的几何特征，，，

又平面，平面，平面平面，

为二面角的平面角，

在中，，

在中，，同理，

在中，，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．设直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α的位置关系是 _________ .

【答案】垂直

【分析】根据空间中线面关系与空间向量的关系分析理解.

【详解】∵由题设知：，即，

∴直线l与平面α的位置关系是垂直.

故答案为：垂直

14．点关于直线的对称点的坐标为______.

【答案】

【解析】设点，因为点与点关于直线对称，所以线段的中点在已知直线上，且直线与已知直线垂直，列方程组即可求解.

【详解】设点，点与点关于直线对称，

，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查求点关于某直线的对称点的问题，属于基础题.

15．若过点作圆的切线，则切线方程为_________ .

【答案】

【分析】根据题意可得点在圆上，根据切线的性质可得切线的斜率，进而由点斜式求切线方程.

【详解】圆的圆心，半径，

∵，则点在圆上，

又∵直线的斜率，则切线的斜率，

∴切线方程为，即，

故切线方程为.

故答案为：.

16．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AC=，点E、F满足，则 _________ .

【答案】

【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算求解.

【详解】以为基底，则有，

∵，

∴，

故.

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线，求

（1）求直线l的斜率：

（2）若直线m与l平行，且过点，求直线m的方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据直线方程，直接写出斜率即可；

（2）由两线平行斜率相等，结合所过的点坐标写出直线方程.

【详解】（1）由直线方程知：，即直线l的斜率为；

（2）由（1），根据直线m与l平行，且过点，则直线m：，

∴直线m一般形式为.

18．已知圆C的圆心为（0，1），半径为．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点P（，2）的圆C的切线方程．

【答案】(1)

(2)切线方程为或

【分析】（1）根据圆心与半径直接写出圆的方程；

（2）分为斜率存在与斜率不存在两种情况分别求出切线方程即可．

【详解】（1）解：由圆心为（0，1），半径为得圆的标准方程为：

．

（2）解：当切线的斜率不存在时，切线方程为；

当切线斜率存在时，设过点P（，2）的圆C的切线方程为

，

即，

，

整理得，

解得，

∴ 切线方程为．

综上：切线方程为或．

19．已知一条动直线，

(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；

(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析，定点；

(2)存在，且直线方程为.

【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；

（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.

【详解】（1）证明：将直线方程变形为，

由，可得，

因此，直线恒过定点.

（2）解：设点A的坐标为，若，则，

则、，直线的斜率为，

故直线的方程为，即，

此时直线与轴的交点为，则，，，

此时的周长为.

所以，存在直线满足题意.

20．如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．

(1)求证：DE⊥平面PCB；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.

（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明:PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，

又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，

∴BC⊥平面PCD，

又∵DE平面PCD，

∴BC⊥DE，

∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，

且面，面

∴DE⊥平面PCB

（2）

以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：

则，

设平面BDE的法向量为，

则，

令，得到，

又，则，且AC⊥平面PDB，

∴平面PDB的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为．

21．已知点，直线，设圆C的半径为3，圆心C在直线l上.

(1)若直线AB与圆C截得的弦长为，求圆C的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MB|=2|MO|，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）先根据垂径定理求圆心到直线的距离，再结合点到直线的距离运算求解；（2）先根据|MB|=2|MO|求点M的轨迹方程，根据题意可得两圆有公共点，结合两圆的位置关系运算求解.

【详解】（1）∵直线AB与圆C截得的弦长为，则圆C到直线AB的距离，

又圆心C在直线l上，则可设圆心，直线，即，

则可得：，解得，

圆C的方程为或.

（2）设点，

∵|MB|=2|MO|，则，整理得：，

即点M的轨迹方程为以为圆心，半径为2的圆，则两圆心之间的距离为，

∵点M在圆C上，即两圆有公共点，则，解得或，

故圆心C的横坐标a的取值范围为.

22．莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．

(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；

(2)在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)60

(2)直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，理由见解析

【分析】（1）根据正六棱柱的体积以及正六棱锥的体积公式即可求解.（2）根据空间直角坐标系中点的坐标得向量的坐标，根据空间向量的求解平面法向量与直线方向向量的夹角，进而可求解.

【详解】（1）结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取的中点G，连接，PG，则，，故，易求，所以，

所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为

，下半部分为正六棱柱，

其体积，

所以该凉亭及内部所占空间为60，

（2）取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．

假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，

则， ，,，  

设则，平面的一个法向量，

则，，，

则 ，即，令，解得，，所以平面的一个法向量,

设直线MA与平面所成角为，则

，化简得

，,故该方程不存在实数解，

所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为