2022-2023学年山东省聊城市东昌府区沙镇中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省聊城市东昌府区沙镇中学八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省聊城市东昌府区沙镇中学八年级（上）期末数学试卷
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（3分）以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列命题的逆命题一定成立的是（　　）
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝3，则x2﹣3x＝0．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②
3．（3分）在，，，，a，中分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝65°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（3分）若分式的值为零，则x等于（　　）
A．0 B．2 C．±2 D．﹣2
6．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（　　）

A．① B．② C．③ D．①和②
7．（3分）下列说法中正确的有（　　）
（1）描述一组数据的平均数只有一个
（2）描述一组数据的中位数只有一个
（3）描述一组数据的众数只有一个
（4）描述一组数据的平均数，中位数，众数都一定是这组数据里的数
（5）一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数，众数，中位数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）若a：b＝2：3，则下列式子一定成立的是（　　）
A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．
9．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
10．（3分）如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，在图中全等三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（　　）
①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF．

A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
12．（3分）如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（　　）

A．β﹣α＝60° B．β+α＝210° C．β﹣2α＝30° D．β+2α＝240°
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（3分）观察下列各式：a1，a2，a3，a4，a5，…，根据其中的规律可得an＝　 　（用含n的式子表示）．
14．（3分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．

15．（3分）已知x1，x2，x3的平均数10，方差S2＝3，则2x1，2x2，2x3的平均数为 　 　，方差为 　 　．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　 　°．

17．（3分）若，则M＝　 　．
三、解答题（共69分）
18．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
19．（7分）先化简，再求值．
化简（），并请你从﹣2＜a＜2的整数解中选取一个合适的数代入求值．
20．（6分）如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

21．（10分）某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如下表所示：
月用水量（吨）
3
4
5
7
8
9
10
户数
4
3
5
11
4
2
1
（1）求这30户家庭月用水量的平均数、众数和中位数；
（2）根据上述数据，试估计该社区的月用水量；
（3）由于我国水资源缺乏，许多城市常利用分段计费的办法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为m（吨），家庭月用水量不超过m（吨）的部分按原价收费，超过m（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合理？简述理由．
22．（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费为7800元，那么甲加工了多少天？
23．（8分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．

24．（10分）（1）填写下列空格．
已知：如图（1），AC，BD相交于点O，
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ 　 　）；
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ 　 　）；
在△COD中，同理可得；
∠C+∠D＝180°﹣∠COD；
∵∠AOB＝∠COD（ 　 　）；
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ 　 　）；
（2）如图（2），△ABC和△CDE都是等边三角形．
①求证：AD＝BE；
②求边AD，BE所在直线相交所成的锐角大小．

25．（12分）已知正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．动点P以每秒2个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8个单位速度从B点出发沿正方形的边BA﹣AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）当运动时间为　　秒时，点P与点Q相遇；
（2）当BQ∥PD时，求线段DQ的长度；
（3）连接PA，当△PAB和△QAD全等时，求t的值．



2022-2023学年山东省聊城市东昌府区沙镇中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（3分）以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的概念判定，找出图形的对称轴即可．
【解答】解：A项不是轴对称图形；
B项不是轴对称图形；
C项是轴对称图形；
D项不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键．
2．（3分）下列命题的逆命题一定成立的是（　　）
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝3，则x2﹣3x＝0．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，不成立，不符合题意；
②同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，成立，符合题意；
③若a＝b，则|a|＝|b|，逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，不成立，不符合题意；
④若x＝3，则x2﹣3x＝0，逆命题为：若x2﹣3x＝0，则x＝3，不成立，不符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
3．（3分）在，，，，a，中分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：，，a是分式，共有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母，是整式．
4．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝65°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，可求得∠BCE＝∠ACD，∠BEC＝∠B＝65°，由三角形的内角和可求得∠BCE＝50°，从而得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∠BEC＝∠B＝65°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝50°，
∴∠ACD＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（3分）若分式的值为零，则x等于（　　）
A．0 B．2 C．±2 D．﹣2
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，2x﹣4≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4＝0，2x﹣4≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（　　）

A．① B．② C．③ D．①和②
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（3分）下列说法中正确的有（　　）
（1）描述一组数据的平均数只有一个
（2）描述一组数据的中位数只有一个
（3）描述一组数据的众数只有一个
（4）描述一组数据的平均数，中位数，众数都一定是这组数据里的数
（5）一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数，众数，中位数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平均数、中位数和众数的定义逐个判断．
【解答】解：一组数据的中位数和平均数只有一个，但出现次数最多的数即众数，可以有多个，所以（1）、（2）对，（3）错；
由于一组数据的平均数与中位数一般是将原数据按大小排列后，进行计算得来的，所以平均数与中位数不一定是原数据里的数，故（4）错；
一组数据中的一个数大小发生了变化，它的平均数一定发生变化，众数，中位数也可能发生改变，也可能不发生改变，所以（5）错；
正确的有：（1）、（2）．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，要熟练掌握平均数、中位数和众数的概念．
8．（3分）若a：b＝2：3，则下列式子一定成立的是（　　）
A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．
【分析】利用比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a：b＝2：3，
∴3a＝2b，
故A不符合题意；
B、∵a：b＝2：3，
∴设a＝2k，则b＝3k，
∴b﹣a＝k，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
故C不符合题意；
D、∵，
∴11，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
9．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【分析】方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．
【解答】解：∵方程有增根，
∴x＝4是方程的增根，
∴m+1﹣x＝0，
∴m＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查方程的增根问题，计算时要细心，是一道基础题．
10．（3分）如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，在图中全等三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】结合图形证明△ABC≌△DCB（SAS），△ABE≌△CDE（AAS）和△ABD≌△DCA（SAS）即得出答案．
【解答】解：∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
∵△ABC≌△DCB，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
∵∠BAC＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABD＝∠DCA，
∵AB＝CD，BD＝AC，
∴△ABD≌△DCA（SAS）；
综上可知共有3对全等三角形．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（　　）
①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF．

A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明∠CED＝∠CDE；根据角平分线的性质，过点E作EH⊥AC于H，可计算出，，并证明S△AEC：S△AEG＝AC：AG；根据题目给定的条件，无法证明∠ADF＝2∠FDB；根据结论①，角平分线的性质可证CE＝DF，由此即可求解．
【解答】解：结论①，
∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，AD平方∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAG，∠CAD+∠CDA＝∠DAG+∠AEG＝90°，
∴∠AEG＝∠CDA，
∵∠AEG＝∠CED，
∴∠CED＝∠CDE，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点E作EH⊥AC于H，

∵AD平方∠BAC，CG⊥AB，
∴EG＝EH，
∴，，
∴，故结论②正确；
结论③，
∵∠ACB＝90°，DF⊥AB，AD平方∠BAC，
∴∠DCA＝∠DFA＝90°，∠CAD＝∠DAF，DC＝DF，
∴△ACD≌△AFD（AAS），
∴∠CDA＝∠FDA，
∵CG⊥AB，DF⊥AB，
∴CG∥DF，
∴∠FDB＝∠GCD，且由结论①正确得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，
在△CDE中，∠ECD+2∠EDC＝180°，即∠FDB+2∠ADF＝180°，
∴∠FDB＝180°﹣2∠ADF，
∴条件不足，无法证明∠ADF＝2∠FDB，故结论③错误；
结论④，
由结论①正确得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，即CE＝CD，由角平分线的性质，∠BCA＝∠DFB＝90°，可证CD＝DF，
∴CE＝DF，故结论④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质的综合，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角的判定和性质是解题的关键．
12．（3分）如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（　　）

A．β﹣α＝60° B．β+α＝210° C．β﹣2α＝30° D．β+2α＝240°
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，KD∠OQN＝180°﹣30°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝30°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝30°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∵∠OQN＝180°﹣30°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝30°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝30°+∠ONQ，
∴α+β＝180°﹣30°﹣∠ONQ+30°+30°+∠ONQ＝210°．
故选：B．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题3分，共15分）
13．（3分）观察下列各式：a1，a2，a3，a4，a5，…，根据其中的规律可得an＝　　（用含n的式子表示）．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．
【解答】解：由分析可得an．
故答案为：．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
14．（3分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　55°　．

【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．
15．（3分）已知x1，x2，x3的平均数10，方差S2＝3，则2x1，2x2，2x3的平均数为 　20　，方差为 　12　．
【分析】设2x1，2x2，2x3的平均数为，把数据代入平均数计算公式计算即可，再利用方差公式即可计算出新数据的方差．
【解答】解：∵10，
∴10，
设2x1，2x2，2x3的方差为，
则2×10＝20；
∵S2[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2]，
∴S′2'[（2x1）2+（2x2）2+（2x3）2]
[4（x1﹣10）2+4（x2﹣10）2+4（x2﹣10）2]
＝4×3
＝12．
故答案为：20；12．
【点评】本题考查了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝　55　°．

【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝70°，由角平分线的定义得∠BAM＝35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ+∠BAM＝90°，即可求出α．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAMBAC＝35°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ+∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，
∴α＝∠AMQ＝55°．
故答案为：55°．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
17．（3分）若，则M＝　a2　．
【分析】把方程的左边按同分母相减计算，再与右边的分式进行比较．
【解答】解：由已知得，
∴M﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
∴M＝a2．
故答案为a2．
【点评】本题主要考查了分式的加减法的运算，把分式转化成同分母，很容易解得M的值．
三、解答题（共69分）
18．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
x2+x﹣1＝x（x﹣1），
解得：x，
检验：当x时，x（x﹣1）≠0，
∴x是原方程的根；
（2），
2（x﹣2）+x+2＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19．（7分）先化简，再求值．
化简（），并请你从﹣2＜a＜2的整数解中选取一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（）•
•
，
在﹣2＜a＜2中，整数a有﹣1、0、1，
由题意得：a≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0和1，
当a＝﹣1时，原式2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC（∠EAB﹣∠CAD）110°＝55°．
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
【点评】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．
21．（10分）某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如下表所示：
月用水量（吨）
3
4
5
7
8
9
10
户数
4
3
5
11
4
2
1
（1）求这30户家庭月用水量的平均数、众数和中位数；
（2）根据上述数据，试估计该社区的月用水量；
（3）由于我国水资源缺乏，许多城市常利用分段计费的办法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为m（吨），家庭月用水量不超过m（吨）的部分按原价收费，超过m（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合理？简述理由．
【分析】（1）根据加权平均数计算平均数；众数即出现次数最多的数据，中位数应是第15个和第15个数据的平均数．
（2）根据样本平均数估计总体平均数，从而计算该社区的月用水量；
（3）因为这组数据中，极差较大，用平均数不太合理，所以选用众数或中位数，有代表性．
【解答】解：（1）（3×4+4×3+5×5+7×11+8×4+9×2+10×1）＝6.2，众数是7，中位数是（7+7）＝7；

（2）1500×6.2＝9300（吨）
∴该社区月用水量约为9300吨；

（3）以中位数或众数作为月基本用水量较为合理．因为这样既可以满足大多数家庭的月用水量，也可以引导用水量高于7吨的家庭节约用水．
【点评】掌握平均数的计算方法，理解众数和中位数的概念，能够正确找到众数和中位数．学会运用平均数、众数和中位数解决实际问题．
22．（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费为7800元，那么甲加工了多少天？
【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．
【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，
由题意得：5，
化简得600×1.5＝600+5×1.5x，
解得：x＝40，
∴1.5x＝60，
经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件．
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得：
，
由①得y＝75﹣1.5x③，
将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800，
解得x≥40，
当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了40天．
【点评】本题考查分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．
23．（8分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．

【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；
（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（10分）（1）填写下列空格．
已知：如图（1），AC，BD相交于点O，
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ 　三角形的内角和等于180°　）；
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ 　等式的性质　）；
在△COD中，同理可得；
∠C+∠D＝180°﹣∠COD；
∵∠AOB＝∠COD（ 　对顶角相等　）；
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ 　等量代换　）；
（2）如图（2），△ABC和△CDE都是等边三角形．
①求证：AD＝BE；
②求边AD，BE所在直线相交所成的锐角大小．

【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后求出∠ACD＝∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE；
②根据全等三角形对应角相等可得∠ADC＝∠BEC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE＝∠DCE．
【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（等式的性质），
在△COD中，同理可得，
∠C+∠D＝180°﹣∠COD，
∵∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换），
故答案为：三角形的内角和等于180°，等式的性质，对顶角相等，等量代换；

（2）①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
由三角形的外角性质，∠DPE＝∠PEA+∠DAC，
∠DCE＝∠ADC+∠DAC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能根据全等三角形的判定定理推出△ABD≌△ACE是解此题的关键．
25．（12分）已知正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．动点P以每秒2个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8个单位速度从B点出发沿正方形的边BA﹣AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）当运动时间为　　秒时，点P与点Q相遇；
（2）当BQ∥PD时，求线段DQ的长度；
（3）连接PA，当△PAB和△QAD全等时，求t的值．


【分析】（1）先判断出点P，Q相遇时，必在正方形的边BC上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方程即可；
（2）先判断出四边形BQDP是平行四边形，得出BP＝DQ，进而表示出BP，DQ，用BP＝DQ建立方程求解即可；
（3）分点Q在正方形的边AB，AD，CD，BC上，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P的运动速度为2cm/s，BC＝8cm，
∴点P运动到点C的时间为4秒，
∵点Q的运动速度为8cm/s，
∴点Q从点B出发沿BA﹣AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动到点C的时间为（8+8+8）÷8＝3秒，∴点P，Q相遇时在边BC上，
∴2t+8t＝4×8＝32，
∴t＝3.2秒；

（2）如图1，∵BQ∥PD，
∴点Q只能在边AD上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴四边形BQDP是平行四边形，
∴BP＝DQ，
∴2t＝2×8﹣8t，
∴t＝1.6秒，
∴DQ＝2×8﹣8t＝3.2cm；

（3）①当点Q在边AB上时，如图2，
∵AB＝AD，∠ABP＝∠DAQ，要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QDA，
∴BP＝AQ，
∵AQ＝8﹣8t，BP＝2t，
∴8﹣8t＝2t，
∴t＝0.8秒，
②当点Q在边AD时，不能构成△QAD，
③当点Q在边CD上时，如图3，
同①的方法得，要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD，
∴BP＝DQ，
∴2t＝8t﹣16，
∴t秒，
④当点Q在边BC时，△QAD不是直角三角形，而△PAB是直角三角形，所以，不能全等；
即：当△PAB和△QAD全等时，t的值为0.8秒或秒；



【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．
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