2022-2023学年四川省成都市石室中学高二上学期第二次质量检测数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市石室中学高二上学期第二次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）.

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解.

【详解】因为命题“，”为全称命题，其否定为特称命题，

即“，”，

故选：A.

2．椭圆的短轴长为（  ）

A． B．10 C．8 D．6

【答案】C

【解析】直接根据椭圆方程求出，即可得解；

【详解】解：椭圆，可知焦点在轴上，，，所以，

所以椭圆的短轴长为8.

故选：C.

3．双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义求解即可.

【详解】由题意得，，，所以 .

故选：D.

4．圆：与圆：的位置关系是（  ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】C

【解析】先求出圆心坐标和半径，求出圆心距，判断两圆的位置关系即可.

【详解】∵圆心的坐标是，半径为2；

圆心的坐标是，半径为3；

∴两圆的圆心距为，

∵，

∴两圆的位置关系是：外切.

故选：C.

5．过点且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别讨论直线过坐标原点、横纵截距相等且不为零、横纵截距互为相反数且不为零的情况，结合直线截距式和所过点坐标求得直线方程，由此可得结果.

【详解】当过点的直线过坐标原点时，直线方程为，满足题意；

当过点的直线的横、纵截距相等且不为零时，设其方程为：，

则，直线方程为；

当过点的直线的横、纵截距互为相反数且不为零时，设其方程为：，

则，直线方程为.

综上所述：满足题意的直线条数为.

故选：C.

6．已知p：，有解，q：，，则下列选项中是假命题的为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先判断命题的真假，然后利用复合命题的真假判断来得答案．

【详解】解：p：，有解，

因为恒成立，故为真命题；

q：，，

因为，故为真命题，

所以A. 为真命题，B. 为假命题，C. 为真命题，D. 为真命题．

故选：B．

【点睛】本题考查命题的真假判断，以及复合命题的真假判断，是基础题．

7．已知动点M到点的距离是M到点的距离的3倍，则动点M的轨迹所围成图形的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，由两点间的距离公式和已知条件可求得，得出动点M的轨迹，由圆的面积公式可求得选项．

【详解】设，则，．

由，得，化简，得，

因此动点M的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，其面积等于．

故选：C．

【点睛】本题考查直接法求点的轨迹方程和两点间的距离公式，属于基础题．

8．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.

【详解】由已知，不妨设，，因为，

所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，

故，即，又，

所以，

解得，所以，

故选：B．

9．椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为

A．6 B． C．12 D．

【答案】C

【详解】∵过 的直线与椭圆交于两点，点关于 轴的对称点为点 ，

∴四边形 的周长为 ，

∵椭圆 

，

∴四边形 的周长为12．

故选C．

【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．

10．如果实数、满足，那么的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将看作圆上一点与连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果.

【详解】，即，圆心为，半径为，

的几何意义是圆上一点与连线的斜率，

如图，结合题意绘出图像：

结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即最大，

令此时直线的倾斜角为，则，的最大值为，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将看作点与连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.

11．已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆的定义有，结合条件可得，再根据 的范围可得离心率的范围.

【详解】由P为椭圆上一点，.

又，所以

又，即.

即 ，得，即

故选：D

【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率的求法，属于基础题.

12．已知双曲线C：的一个焦点为F，若F关于双曲线C的渐近线的对称点恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过点关于直线的对称点的求解方法，得到关于渐近线的对称点坐标；代入双曲线方程，构造出关于的齐次方程，即可求解出双曲线的离心率．

【详解】设，渐近线方程为，

对称点为，

即有，

且，

解得，，

将，即，

代入双曲线的方程可得，

化简可得，即有，

解得．

本题正确选项：

【点睛】求解离心率问题重点是构造出关于的齐次方程．本题解题关键是能求解出点关于直线的对称点，构造方程求解对称点时，主要在三个等量关系中任选两个：①两点连线与对称轴垂直；②两点中点在对称轴上；③两点到对称轴的距离相等．

二、填空题

13．直线被圆所截弦长为______.

【答案】

【分析】求出圆心到直线的距离，然后在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中求解可得所求.

【详解】由圆方程变形得：，

∴圆心坐标为，半径，

∵圆心到直线的距离，

∴直线被圆截得的弦长为.

故答案为：.

14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点2，，0，，则______．

【答案】

【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解．

【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，

点2，，0，，

．

故答案为．

【点睛】本题考查两点间的距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

15．已知斜率为k的直线L与椭圆C：相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则k的值是______．

【答案】

【分析】通过点差法可直接求解出直线得斜率．

【详解】设，，代入椭圆方程得：

上下两式作差可得：

即：

又线段的中点为

，    

本题正确结果：

【点睛】解题的关键是利用点差法，采用设而不求的方式，将直线斜率与中点联系起来．点差法主要解决中点弦和弦中点问题．

16．设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.

【答案】15

【分析】利用椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解.

【详解】如图所示：

在椭圆+=1中，a=5，b=4，c=3，

所以焦点坐标分别为F1(-3，0)，F2(3，0).

|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).

∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，

∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，

此时|PM|+|PF1|取最大值，最大值为10+5=15.

故答案为：15

三、解答题

17．已知直线，，.

（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；

（2）若//，求与的距离.

【答案】(1) P的坐标为或;(2) 与的距离.

【详解】试题分析：（1）设出点坐标P（t,t），在上所以将点坐标代入，到直线的距离为，故得到，解方程即可；（2）//，可根据两直线平行的条件求得，再由平行线的距离公式得到.

(1)设P（t,t）,由，得

∴或6    ∴P的坐标为或   

（2）由//得

∴，即

∴与的距离

18．已知点，，在圆E上，过点的直线l与圆E相切．

Ⅰ求圆E的方程；

Ⅱ求直线l的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线l的方程为或.

【分析】Ⅰ根据题意，设圆E的圆心为，半径为r；将A、B、C三点的坐标代入圆E的方程可得，即可得圆E的方程；Ⅱ根据题意，分2种情况讨论：，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，验证可得此时符合题意，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，由直线与圆的位置关系计算可得k的值，可得此时直线的方程，综合即可得答案．

【详解】Ⅰ根据题意，设圆E的圆心为，半径为r；

则圆E的方程为，

又由点，，在圆E上，

则有，解可得，

即圆E的方程为；

Ⅱ根据题意，分2种情况讨论：

，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与圆M相切，符合题意；

，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，

圆心E到直线l的距离，解可得，

则直线l的方程为，即，

综合可得：直线l的方程为或．

【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及圆的标准方程以及切线方程的计算，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．

19．已知命题 ​: “方程​表示双曲线”，命题​: 方程​表 示椭圆”

(1)若 ​为真命题，求​的取值范围;

(2)若 ​为真命题，求​的取值范围.

【答案】(1)​

(2)​

【分析】(1)先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可；

(2) 先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可.

【详解】（1）若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

（2）若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

20．已知椭圆C的焦点为，，点在椭圆C上．

Ⅰ求椭圆C的标准方程；

Ⅱ若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点Q满足，求面积的最大值．

【答案】Ⅰ Ⅱ

【分析】（I）根据椭圆的几何性质，即可求得标准方程；（II）假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出线段的长度，再求出到直线的距离，从而可以表示出的面积；再利用基本不等式求解出面积的最大值．

【详解】（I）设椭圆C的标准方程为，

椭圆C的焦点为，，点在椭圆C上．

，解得，，

椭圆C的标准方程为．

（II）设直线l：，，，

联立，消去y，得，

由，

解得，，

，

由，知，

点Q到直线l的距离为，

的面积

，

当且仅当时，．

面积的最大值为．

【点睛】本题主要考察椭圆中面积的最值问题．关键在于利用变量将所求三角形的面积表示成一个关于的函数的形式，然后利用函数值域或者基本不等式的方法来求解出所求的最值．

21．设双曲线​的上焦点为​，过​且平行于​轴的弦其长4 .

(1)求双曲线​的标准方程及实轴长;

(2)直线与双曲线​交于​两点，且满足，求实数​的取值.

【答案】(1)​的标准方程为​，双曲线​的实轴长也为​；

(2).

【分析】（1）由弦长为4，可得，从而得知标准方程及实轴长；

（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得值.

【详解】（1）双曲线的上焦点的坐标为，

令 ，代入，得，

而，可知，

故的标准方程为，双曲线的实轴长也为.

（2）联立 ,

可得，且，

将代入①式，可知，即,

再代入②式，有，

计算可得，且满足.

22．已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且，证明直线过一个定点，并求出这个定点的坐标.

【答案】（1）椭圆的方程；（2）证明见解析，直线过一个定点.

【分析】(1)根据题意建立的方程，求出即可；

(2)设直线的方程为，，将直线的方程与椭圆的方程联立可得，，进而可得，，代入，即可求出，从而可得直线过一个定点.

【详解】(1)由已知得，解得，所以椭圆的方程为.

(2)设直线的方程为，，

由，得，

所以，，

所以，

，

又，所以，，

所以

，解得或(舍去).

所以直线的方程为过定点.