2022-2023学年河北省石家庄市四十一中高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省石家庄市四十一中高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.

【详解】设为空间坐标原点，

.

故选：B

2．与向量平行的一个向量的坐标是(　　)

A． B．(-1,-3,2)

C． D．(,-3,-2)

【答案】C

【分析】根据向量共线定理判定即可．

【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．

对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．

对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．

对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．

故选C．

【点睛】判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．

3．若圆与圆外切，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】利用圆心距等于半径之和即得.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的半径为，半径为，

则，

解得.

故选：D.

4．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件

A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据直线的位置关系可得或，再利用充分必要条件的定义即得.

【详解】由直线与直线相互垂直，

可得，

解得或，

所以时，直线与直线相互垂直，

而当直线与直线相互垂直时，不一定成立，

所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.

故选：A.

5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

6．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在平面直角坐标系内画出图像，分别计算的斜率，根据题意可得直线的斜率的取值范围，得到答案.

【详解】如图所示，

因为，

所以，，

又因为直线过点且与线段相交，

所以直线的斜率取值范围为或者，

即.

故选：D.

7．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.

【详解】解：因为三向量共面，

所以存在唯一的实数对，使得，

即，

，解得，

所以.

故选：C.

8．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.

【详解】到点的距离为2的点在圆上，

所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，

即两圆相交，故，

解得或，

所以实数a的取值范围为，

故选：A．

二、多选题

9．(多选)下列说法不正确的是（    ）

A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°

B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角

C．二面角的大小范围是[0°，180°]

D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小

【答案】ABD

【分析】根据法向量与平面的关系判断A，由空间角的定义与向量夹角的关系判断BD，由二面角的定义判断C．

【详解】解：当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；

向量夹角的范围是[0°，180°]，而异面直线夹角为(0°，90°]，B不正确；

二面角的范围是[0°，180°]，C正确；

二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确．

故选：ABD．

10．已知空间向量，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据向量坐标和的运算法则，可得A正确；通过由向量坐标求模的计算公式，可得B正确；由向量数量积计算公式，可得不垂直，得C错误；通过向量坐标的夹角计算公式，可得，得D错误.

【详解】因为，

所以，故A正确；

，所以B正确；

，所以不垂直，故C错误；

，故D错误.

故选：AB.

11．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为 ，则（    ）

A． B．四点共圆 C． D．直线的方程为：

【答案】ABCD

【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B；

【详解】解：因为，即，则圆心，半径，所以，故A正确；在中，，，所以，即，所以，，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C、D正确；

如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B正确；

故选：ABCD

12．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.

【详解】

，故A错误；

由题可知，，，

∴，

∴，故B正确；

因为，，

则

，故C错误，D正确．

故选：BD.

三、填空题

13．已知直线，写出直线l的一个方向向量____________．

【答案】(答案不唯一)

【分析】根据方向向量的概念即得.

【详解】由直线，可知直线的斜率为，

所以直线l的一个方向向量为.

故答案为：.

14．在长方体中，，E、F分别是、中点，则点到直线的距离为____________．

【答案】

【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即得．

【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，

则，

所以

所以点到直线的距离为：

，

即点到直线的距离为．

故答案为：．

15．已知两点到直线的距离相等，则____________．

【答案】或

【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．

【详解】由题意可得，

解得或.

故答案为：或.

16．已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】由题可得直线所过定点，利用圆的性质可知当时，取得最小，然后根据弦长公式即得.

【详解】因为，即，

令，得，

故直线恒过定点，

由圆可知圆心，半径为5，

又因为，故点在圆内，

当时，取得最小，

因为

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知直线与直线．

(1)若，求m的值，并求出两平行线间的距离；

(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．

【答案】(1)；；

(2)或.

【分析】（1）由题意可知，可得，从而可求出m的值，然后利用平行线间距离公式即得；

（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程.

【详解】（1）因为直线与直线，且，

所以，且，

由，得，

解得或（舍去）

所以，

所以，，

所以两平行线间的距离为；

（2）因为点在直线上，

所以，得，

所以点的坐标为，

由题可设直线的方程为（），

令，则，令，则，

因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，

所以，

解得或，

所以直线的方程为或.

18．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：

(1)；

(2)平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.

（2）利用向量的方法证得结论成立.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设，

则，

，

所以.

（2），

，

设平面的法向量为，

则，故可令，

，所以平面.

19．已知圆C经过三点．

(1)求圆C的方程；

(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹（根据方程描述出图形）．

【答案】(1)；

(2)点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.

【分析】（1）设圆的方程为，由题可得方程组，解得即可；

（2）设，根据条件，可得，再根据在圆上，代入圆的方程，即得.

【详解】（1）设圆的方程为，则

，

解得，

所以圆的方程为：；

（2）设，，又点，，

则，

所以，即，又点A在圆C上运动，

则，

所以，即，

所以点的轨迹方程为，

所以点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.

20．如图，在三棱锥中，为正三角形，D为的中点，．

(1)求证：平面平面；

(2)若O为中点，求平面与平面夹角；

(3)求点D到平面的距离．

【答案】(1)详见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得；

（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；

（3）利用点到平面的距离的向量求法即得.

【详解】（1）因为，

所以，又平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

（2）因为为正三角形，O为中点，

所以，又平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，

所以，又D为的中点，

所以，，

如图以为原点建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，令，可得，

又平面的一个法向量可取，

设平面与平面夹角为，

则，又，

所以，

即平面与平面夹角为；

（3）由题可知，，平面的法向量为，

所以点D到平面的距离为.

21．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．

（1）求圆C的方程；

（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．

【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；

（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．

【详解】（1）设圆C的方程为

圆心C在射线上，所以

圆C与y轴相切，则

点到直线的距离 ，

由于截直线所得弦长为，所以

则得，又 所以(舍去)，

故圆C的方程为；

（2）假设m存在，由（1）得，因为，

所以在线段的中垂线上，则，

因为，所以 解得；

当时，直线方程为即，

圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；

所以不存在实数m满足题干要求.

【点睛】圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．

22．如图，三棱柱所有的棱长为2，，M是棱BC的中点.

（Ⅰ）求证：平面ABC;

（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，.

【分析】（1）由题意，证明与，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）建立恰当的空间直角坐标系，令，求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可.

【详解】解：（1）证明：，，是中点，

，

又，

，

，

平面，

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知平面A1BC的法向量为，，，，，，

令，

则，

设直线BP与平面A1BC 所成角为，则

,

解得或（舍），

所以当时，满足题意，此时.