2022-2023学年广西桂平市浔州高级中学高二上学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西桂平市浔州高级中学高二上学期期中教学质量检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西桂平市浔州高级中学高二上学期期中教学质量检测数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把直线方程化为斜截式即可得．【详解】由，得，斜率为．故选：C.2．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由得，则椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.故选：C.3．在空间直角坐标系中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选：B4．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知，先求出，从而可求得结果.【详解】圆的圆心为，半径为1，因为，所以.故选：A.5．方程表示的曲线为（    ）A．圆 B．圆的右半部分C．圆 D．圆的上半部分【答案】D【分析】平方后可判断曲线的形状.【详解】因为，所以，即，故方程表示的曲线为圆的上半部分.故选：D.6．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由空间向量的线性运算可得，由空间向量基本定理即可求解.【详解】设，因为，所以，，.因为，所以.故选:B.7．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.【详解】设平面的法向量为，则，即，令，可得，，则..设与平面所成的角为：则.故到平面的距离为，即四棱锥的高为.故选：D.8．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解.【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为，所以，所以边所在直线的方程为，即.又边上的中线所在直线方程为，由，解得， 所以.设，则线段的中点，则解得即，所以所在直线的方程为.故选：D 二、多选题9．已知椭圆的离心率为，则的值可能为（    ）A． B． C．5 D．25【答案】BC【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分和两种情况结合离心率的定义列方程求解即可.【详解】可化为.当时，，椭圆的离心率为，解得；当时，，椭圆的离心率为，解得.故选：BC.10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【分析】根据空间向量共面定理判断．【详解】因为，，，所以，，共面，，，共面，，，共面.假设存在实数，满足，则，此方程组无解，因此，，不共面.故选：ABD．11．已知直线，圆（为圆心），则（    ）A．直线恒过点B．到直线的最大距离为C．直线与圆一定相交D．当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4【答案】ABD【分析】直线方程整理为关于的恒等式，由此可求得定点坐标判断A，由圆心与定点连线和直线垂直时距离达到最大值计算后判断B，由定点与圆的位置关系判断C，由直线的斜率小于0，可设出截距式方程，然后得出三角形面积，利用基本不等式求得最小值判断D．【详解】直线，令得则直线恒过点，A正确；因为，所以点在圆上，则直线与圆相切或相交，C错误；，当时，到直线的距离最大，且最大值为，B正确；当时，直线的斜率为，则可设直线的方程为，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4，D正确.故选：ABD．12．已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上异于，的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则的值可能为（    ）A． B． C．5 D．【答案】BCD【分析】由椭圆的标准方程，可得顶点坐标，设动点坐标，利用斜率计算公式，可设出两直线的斜率，进而求得两点的坐标，可得答案.【详解】由椭圆，则，设，则，设，则，直线的方程为，则的坐标为，直线的方程为，则的坐标为.所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：BCD. 三、填空题13．若向量，，且，则______．【答案】7【分析】根据空间向量的数量积运算，代值计算即可.【详解】依题意可得，则．故答案为：.14．古希腊伟大的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.2米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格为__________元.（结果精确到整数）【答案】【分析】设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为米，米，进而结合题意得，再计算面积即镜子的价格.【详解】解：设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为米，米，因为小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.2米且离心率为的椭圆，所以，由题知，解得，所以，椭圆的面积满足，即，所以，小张要买的镜子的价格为元.故答案为：15．已知球的表面积为，在以为坐标原点的空间直角坐标系中，点，都在球的球面上，且，写出点的一个坐标：__________．【答案】（答案不唯一）【分析】先利用球的表面积算出球的半径，通过空间向量模的坐标公式可算出，然后结合夹角公式和半径即可得到答案【详解】解：设球的半径为，则，得，由，，得，设，则，，所以，即又，故可取时，解得，，则点的一个坐标为，故答案为：（答案不唯一） 四、解答题16．（1）求两条平行直线与间的距离；（2）求过点且与直线垂直的直线方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；（2）根据垂直关系设所求直线的方程为，将点代入求出值即可.【详解】（1）两条平行直线与间的距离.（2）依题可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得.则，故所求直线的方程为.17．已知，圆.(1)将圆的方程化为标准方程；(2)若圆的半径为3，且圆与圆外切，求的值.【答案】(1)(2)或2 【分析】（1）对圆的方程配方变形可得其标准方程；（2）根据题意可得，求出，可求出圆的圆心和半径，再由两圆外切列方程可求出的值.【详解】（1）由，得，所以圆的标准方程为.（2）因为，，所以，所以.因为，所以，解得或2.18．如图，在四棱锥中，底面，，，，.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.【详解】（1）因为底面，底面，所以，，且，，所以，以为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.（2），设平面的法向量为，则，即，令，得.易知是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.19．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且倾斜角为的直线与交于两点，求的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题知，轨迹是椭圆根据，求出 即可求解.（2）先求直线，联立直线与椭圆方程，在运用弦长公式即可求解.【详解】（1）由题知： ， 轨迹是以点为左､右焦点的椭圆.设轨迹的方程为，则，解得， 轨迹的方程为.（2）由题知直线为，即.联立方程消去 整理得.设交点，则. 的长度为20．已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切．(1)求圆C的标准方程．(2)若圆C的一条弦经过点，求这条弦的最短长度．(3)已知，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在； 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径,从而可得出答案.（2）先判断点在圆内，由圆的集合性质可得直线CM与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案.（3）设，,分别表示出，由为定值得出答案.【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为．因为直线与圆C相切，所以点到直线的距离，因为，所以，故圆C的标准方程为．（2）因为，所以当直线CM与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，故所求最短弦长为．（3）假设存在定点B，设，，则，则．当，即（舍去）时，为定值，且定值为，故存在定点B，且B的坐标为．21．如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.(1)证明：；(2)当二面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面垂直即可得线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角求解线面角，结合基本不等式即可求解最值.【详解】（1）在菱形中，因为为的中点，，所以，在翻折过程中，恒有，，又，平面，所以平面，而平面，所以.（2）由（1）知为二面角的平面角，记其为，则，以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，， ,设平面的法向量，则，得 令，得，，则.令，，得.，当且仅当时，等号成立.设直线与平面所成角为 ，则 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 五、双空题22．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为______，______.【答案】          【分析】令，可求出直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的关系可求出，再由可求得的值.【详解】令，得，则直线在轴上的截距为，依题意可得，因为所以，所以.故答案为：；.