2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，，且，则等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可
【详解】∵，∴，∴，
故选:A.
2．经过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
【答案】C
【分析】根据两点的横坐标相等，可知该直线斜率不存在，即可求得直线的倾斜角.
【详解】解:因为，，
所以经过两点的直线斜率不存在，
所以倾斜角为.
故选：C.
3．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】根据题意求出，即可得焦点坐标.
【详解】由已知椭圆，其焦点在y轴上，
则，，
故焦点坐标为和
故选：D.
4．长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由异面直线所成角的概念与余弦定理求解，
【详解】由题意得，则（或其补角）为异面直线与所成角，
在中，由题可得，，
由余弦定理得，
故选：A
5．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.
【详解】由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.
故选：C
6．已知直线（为实数）是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6B．C．7D．8
【答案】A
【分析】根据题意可求出圆心的坐标，半径为，结合条件可知直线经过圆心，可列式求出的值，从而得出点的坐标，再根据两点间的距离公式可求出，最后根据直线与圆相切得出，代数计算即可得出结果.
【详解】解：根据题意，得出圆的标准方程为：，
可知圆心的坐标，半径为，
因为直线是圆的对称轴，
所以直线经过圆心，则，
解得：，，
则，
由于过点作圆的一条切线，切点为，
.
故选：A.
7．已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ）
A．B．1C．3D．2
【答案】B
【分析】结合点到直线距离公式分别计算模长与夹角的正弦值即可计算.
【详解】由题可知，点到l的距离为，，，，，则，则，故点到l的距离为.
故选：B
8．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，计算出、，即可求得四边形的面积.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
，故点在圆内，如下图所示：
则，
过点的弦过圆心时，弦长取最大值，即，
当过的弦与垂直时，弦长取最小值，即，此时，
此时，四边形的面积为.
故选：C.
二、多选题
9．已知直线：，，，则下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点B．当时，直线的倾斜角为
C．当时，直线的斜率不存在D．当时，直线与直线平行
【答案】ACD
【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断，
【详解】对于A，当时，，直线恒过定点，故A错误，
对于B，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故B正确，
对于C，当时，直线的斜率为0，故C错误，
对于D，当时，直线经过，两点，故直线与直线重合，故D错误，
故选：ACD
10．以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．向量，，共面，即它们所在的直线共面
【答案】BC
【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A，B，D可判断这三个选项的正误，由共面向量定义来判断D的正误．
【详解】对于A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；
对于B，若为空间向量的一组基底，则不共面，且均为非零向量，假设共面，
则，
，方程无解，即不共面，
则构成空间向量的另一组基底，B正确；
对于C，若，
则
整理得，则向量共面，即、、、四点共面，C正确；
向量，，共面，但是它们所在的直线不一定共面,故D错误.
故选：BC.
11．已知直线与曲线有且仅有1个公共点，则m的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】ABD
【分析】直线过定点，作出曲线的图象，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】曲线的图象如图所示，
直线过定点.
圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或，
由图可知时，此时直线与曲线有且仅有1个交点，
故当时，
直线与曲线有且仅有1个公共点.
故选：ABD
12．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
【答案】AC
【分析】A. 由四棱锥的高和底面积判断； B.根据是等边三角形判断；C.根据直线与平面所成的角为，结合正方体的特征判断； D.建立空间直角坐标系，求得的坐标进行判断.
【详解】A. 当在平面上运动时，点到面的距离不变，不变，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
B. 建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，则 ，
设与所成的角为，则 ，
因为，
当时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，所以与所成角的取值范围是，故B错误；
C.因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是，
在平面内，点的轨迹是，
在平面时，如图所示：
，
作平面，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹长度为，
所以点的轨迹总长度为长度为，故C正确；
D.建立如图所示空间直角坐标系：

设 ，，
则 ， ，
设平面的一个法向量为，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为平面，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，等号成立，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
13．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意可得，解不等式组可得答案
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，得且.
所以实数的取值范围是，
故答案为：
14．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是______.
【答案】
【分析】首先利用直线平行求出，在结合平行线之间的距离公式即可求解.
【详解】因为和互相平行，所以得，解得.则直线.
则平行线直接的距离为.
故答案为：
15．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．
【答案】
【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.
【详解】
所以，所以.
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
16．已知，分别为椭圆的左右焦点，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_______.
【答案】
【分析】求出直线的方程，设出点坐标，利用向量垂直的坐标运算得到，根据，并借助和，化简得到，再利用椭圆中，即可得解.
【详解】如图，由题意得，，，，
直线的方程为：，
点在直线上，设点坐标为，
则，，
由，得，
即，即，
化简得 （1）
直线上存在点，使得，即方程（1）有解，
所以，
化简得，即，
化简得，即，即，
解得：，即，
即，
即，又椭圆中，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆中离心率的取值范围的求解，其中涉及到向量垂直的坐标运算，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题.
四、解答题
17．已知三个顶点的坐标分别为，，.求：
(1)过点且与直线BC平行的直线方程.
(2)中，AC边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用直线与平行得到斜率，再利用点斜式写出方程即可.
（2）首先求出的斜率，再利用垂直得出直线斜率，最后用点斜式即可求出方程.
【详解】（1）因为，，
所以直线的斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即.
（2）因为直线的斜率为，
所以中边上的高所在直线的斜率为，
又高所在直线过点，所以高所在直线的方程为，
即.
18．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点．
(1)设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；
(2)若底面，且，求点到平面ABE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质定理证明，
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，
【详解】（1）因为底面为矩形，所以. 又平面，且平面，
所以平面.又平面ABE，且平面平面，
所以. 又因为，所以
因为E为PC的中点，所以F为PD的中点.
（2）如图所示，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设是平面的法向量，则，即
令，则平面的一个法向量为
又因为，所以点到平面的距离为
，
即点到平面的距离为．
19．已知点，，以为直径的圆记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据中点坐标公式求出圆心，然后利用两点间的距离公式求出半径，进而可求出结果；
（2）根据几何性质求出弦心距，然后结合点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】（1）由，，得的中点坐标为，即圆心坐标为，
半径，
圆的方程为
（2）由，
可得弦心距为
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为2，所以满足题意;
当直线的斜率存在时，设直线方程为
即.
圆心到直线的距离，
解得，
直线的方程为
直线的方程为或.
20．已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义求解，
（2）由点差法得直线斜率后求解，
【详解】（1）由题可知，
则
由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴
∴的轨迹方程为：
（2）设,∵ 都在椭圆上，
∴ ，，相减可得，
又中点为，∴ ，
∴ ，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即,
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线的方程为.
21．如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，可通过证明，得平面；
（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【详解】（1）如图，连接，在中，由可得.
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
（2）由（1）可知，，，两两垂直，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
由，有，则，
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
由，，，
可得平面与平面所成夹角的余弦值为
.
22．已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线AB的斜率是定值，为
【分析】（1）由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆C的方程；
（2）由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，设直线为，则直线为，设，然后将两直线方程分别代入椭圆方程中可求出，再求直线AB的斜率化简可得结果
【详解】（1）因为椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点，
所以且，
解得，
所以椭圆C的方程为
（2）由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，
设直线为，则直线为，
设，
将代入，
得，
所以，所以，
同理可得，
所以
所以直线AB的斜率是定值，等于