2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题第7-12题解析版

这是一份2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题第7-12题解析版，共42页。试卷主要包含了过双曲线C，经过点作曲线的切线有，已知函数，则曲线过点的切线有，若过点可以作曲线的三条切线，则，下列事件A,B是独立事件的是等内容，欢迎下载使用。
 2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题7-12题
原题7
1．过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为，若（是坐标原点），则双曲线C的离心率为____;
变式题1基础
2．经过点作曲线的切线有（    ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式题2基础
3．已知函数，则曲线过点的切线有（      ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
变式题3巩固
4．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C．（0，1） D．
变式题4巩固
5．若过第一象限的点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
变式题5提升
6．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
变式题6提升
7．若过点可以作曲线的三条切线，则（    ）
A． B． C． D．或
原题8
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
变式题1基础
9．下列事件A,B是独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
变式题2基础
10．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（    ）
A．相互独立 B．互斥
C．既相互独立又互斥 D．既不相互独立又不互斥
变式题3巩固
11．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．记事件“第一次摸出球的标号小于”， 事件“第二次摸出球的标号小于3”，事件“摸出的两个球的标号之和为6”，事件“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则（    ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
变式题4巩固
12．从一副52张的扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，则（    ）
A．事件与事件相互独立，事件与事件相互独立
B．事件与事件相互独立，事件与事件不相互独立
C．事件与事件不相互独立，事件与事件相互独立
D．事件与事件不相互独立，事件与事件不相互独立
变式题5提升
13．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；
②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上命题中，正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
变式题6提升
14．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是
A．“两次得到的点数和是12”
B．“第二次得到6点”
C．“第二次的点数不超过3点”
D．“第二次的点数是奇数”
原题9
15．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
变式题1基础
16．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（    ）
A．平均数是3 B．平均数是8 C．方差是11 D．方差是36
变式题2基础
17．若一组数据：的平均值为2，方差为3，则关于数据说法正确的是（    ）
A．平均值为-2 B．方差为6 C．平均值为4 D．方差为12
变式题3巩固
18．已知一组数据，，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（    ）
A．，，，，的平均数为3
B．，，，，的方差为2
C．，，，，的方差为8
D．，，，，的方差为8
变式题4巩固
19．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（    ）
A．a的值为-2 B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同
变式题5提升
20．2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（    ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
变式题6提升
21．数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，若为不等于0的常数，，，…，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
原题10
22．已知为坐标原点，点，，，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题1基础
23．已知，，，，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
变式题2基础
24．设，已知两个向量，，则向量长度的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
变式题3巩固
25．已知向量，，，则下列结论正确的有（    ）
A． B．若，则
C．的最大值为2 D．的最大值为3
变式题4巩固
26．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）
A．若，则
B．的最大值为
C．的最大值为
D．存在唯一的使得
变式题5提升
27．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）
A．的最大值为 B．若，则
C．若是与共线的单位向量，则 D．当取得最大值时，
原题11
28．已知点在圆上，点、，则（    ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
变式题1基础
29．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r可以取值（   ）
A． B．5 C． D．6
变式题2基础
30．已知圆：，若直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则（    ）
A．2 B．4 C．6 D．10
变式题3巩固
31．已知圆和圆的交点为，，则（    ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
变式题4巩固
32．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（    ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
变式题5提升
33．已知直线，是直线上的任意一点，直线与圆相切．下列结论正确的为（    ）
A．的最小值为
B．当，时，的最小值为
C．的最小值等于的最小值
D．的最小值不等于的最小值
变式题6提升
34．已知点在圆：上，点，，则下列说法中正确的是（    ）
A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2
C．的最大值为 D．的最大值为
原题12
35．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
变式题1基础
36．在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（    ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．且平面
D．内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
变式题2巩固
37．如图，在长方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．平面
C．若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为
D．若点在平面内，且，则线段长度的最小值为
变式题3巩固
38．在正方体中，点在线段上运动，则（    ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
变式题4提升
39．在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是（    ）
A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值
B．当µ=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF
变式题5提升
40．在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（    ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点A，B到平面的距离相等
D．当时，总有

参考答案：
1．
【解析】试题分析：，结合图形可知，为等腰直角三角形，F为焦点.可得，即.
考点：双曲线的几何性质.
2．C
【分析】设出切点坐标，写出切线方程
把代入，研究方程根的情况即可.
【详解】因为，
设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.
将代入，得即：或，
所以，此时，切点为；
或
因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.
故选：C.
3．C
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.
【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴  
又方程的判别式为，且，
∴  方程有两个不同的解，
∴  曲线过点的切线有两条，
故选：C.
4．B
【分析】设切点分别为和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到构造函数由导数求得参数的范围．
【详解】的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有
即为令则，
当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，
故选:B
5．D
【分析】首先设切点，利用导数的几何意义，列式，并转化为函数有2个零点，利用导数判断函数的性质，即可判断选项.
【详解】设切点，则，
得，
设，由条件可知，函数存在两个零点，
，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，若函数有2个零点，
则.
故选：D
6．D
【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.
【详解】设过点的直线为，
，设切点为，
则 ，得有三个解，
令，，
当，得或，，得，
所以在，单调递增，单调递减，
又，，有三个解，
得，即.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
7．B
【分析】切点，写出切线方程，结合切线过点，整理成关于的方程有三个不同的实根，结合函数单调性求解.
【详解】设切点，切线方程，
切线过点，，
整理得：，由于可以作三条切线，
所以关于的方程有三个不同的实根，
，，令，
或.
函数的增区间为，减区间为，
所以函数极大值，极小值，
关于的方程有三个不同的实根，
所以，
所以.
故选：B
8．B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，


故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立



9．A
【分析】利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.
【详解】对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.
【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.
10．A
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的知识确定正确选项.
【详解】由于表示“向上的点数为1”，所以不是互斥事件.
，
所以，
所以是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
11．C
【分析】先利用古典概率公式分别计算，，，，，， ，，再利用相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项.
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个
所以，
事件发生包含的基本事件：，有个，，
事件发生包含的基本事件：，，，有个，，
事件发生包含的基本事件：，有个，，
因为，所以与相互独立不正确，故选项A不正确；
事件发生包含的基本事件：，，有个，，
因为，所以与相互独立不正确，故选项B不正确；
事件发生包含的基本事件：有个，所以，
因为，所以与相互独立，故选项C正确；
事件发生包含的基本事件：，，有个，所以，
因为，所以与相互独立不正确，故选项D不正确；
故选：C.
12．C
【分析】根据相互独立事件的判定方法，分别判定事件与，与之间的关系，即可求解.
【详解】由题意，从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，
可得，所以，又由，
则，所以事件与事件不是独立事件；
又由，所以，又由，
所以，所以事件与事件是独立事件.
故选：C.
13．D
【解析】根据相互独立事件的定义可判断两两独立．
【详解】，，，，
因为，故相互独立；
因为，故相互独立；
因为，故相互独立；
综上，选D.
【点睛】判断两个事件是否相互独立，可以根据实际意义来判断（即一个事件的发生与否不影响另一个事件的发生），也可以根据来确定两个事件是相互独立的.
14．A
【分析】利用独立事件的概念即可判断．
【详解】“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，
而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，
故选A．
【点睛】本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．
15．CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
16．BD
【分析】利用平均数和方差的线性关系直接求解.
【详解】设：，，，…，的平均数为，方差为，则，.
所以，，…，的平均数为，
方差为.
故选：BD.
17．AD
【分析】利用平均数、方差的概念进行求解即可.
【详解】的平均值为2，方差为3，
即，
则



，故A正确；






故D正确，
故选：AD.
18．ABCD
【分析】利用平均数和方差的公式逐个分析判断即可
【详解】解：因为数据，，，，的平均数和方差均为2，
所以，
，
对于A，，，，，的平均数为


所以A正确，
对于B，由A可知，，，，的平均数为3，则其方差为
，
所以B正确，
对于C，，，，，的平均数为4，则方差为


所以C正确，
对于D，，，，，的平均数为6，所以其方差为



所以D正确，
故选：ABCD
19．ABD
【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.
【详解】由题意可知：，故，故A正确；
乙组样本数据方差为，故B正确；
设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；
甲组数据的极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；
故选：ABD.
20．BCD
【解析】由中位数、平均数、方差、极差的概念逐项判断即可得解.
【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，
所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，
所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了样本数字特征的辨析，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
21．BC
【分析】根据以及平均数、方差的知识确定正确选项.
【详解】由于，所以，且.
故选：BC
22．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
23．AC
【解析】由已知条件两边平方相加，消去 得，可知A正确，B错误，再根据角的范围可得，所以C正确，D错误.从而可得答案.
【详解】由已知，得，.
两式分别平方相加，得，
，，A正确，B错误.
，，，，，
，C正确，D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了两角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函数值求角，属于基础题.
24．ABC
【分析】先求出的坐标，再利用坐标求模长，根据三角函数式的范围，得模长范围，便可确定结果.
【详解】由题得，，
，
，，
，
，
长度的取值可以是，，．
故选：ABC．
25．AC
【分析】先利用平面向量的基本运算得到三角关系，再利用三角函数运算逐一判断即可.
【详解】对于，，正确；
对于，若，则，，错误；
对于，，，，所以当时最大值为2，正确；
对于，
因为，所以，则，即，错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了平面向量的基本运算和三角函数的性质，属于中档题.
26．AD
【分析】根据两向量平行的充要条件即可判断选项A；
又，，从而可判断选项B、C；
若，则，解出的值即可判断选项D．
【详解】解：显然，当时，有，即，所以，选项A正确．
，
因为，，所以，故，
所以当时，取最大值为，选项B错误，
，
因为，，所以，故，
所以当时，取最大值为，选项C错误，
若，则，即，
所以，又，所以，选项D正确．
故选：AD．
27．AD
【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据与共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量在向量上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.
【详解】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；
等价于即，即，∴，故B错误；
与共线的单位向量为，故Ｃ错误；
最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.
故选：AD
28．ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
29．ABC
【分析】首先求得圆心到直线的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则或，分析题意，得到结果.
【详解】圆心到直线的距离，半径为，
若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，
则或，
故当圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，
所以，
故选：ABC.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.
30．AD
【解析】由圆心到直线的距离等于半径的可得．
【详解】∵直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，
∴圆心到直线的距离等于半径的．
由题意圆心为，半径为，
∴，解得或．
故选：AD．
31．ABD
【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.
【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
32．ABD
【分析】对于A，由圆的性质可得当直线与轴垂直时，有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线与垂直时，到的距离有最大值；对于C，设，从而可得，进而可求出其最小值；对于D，当，，三点共线时，最大
【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；

设，则，
所以，所以的最小值为，所以C错误；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题
33．ABC
【分析】利用的几何意义可判断A选项的正误；利用直线与圆相切求得，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；判断函数在上的单调性，可判断CD选项的正误.
【详解】因为直线与圆相切，则，，可得.
对于A选项，的几何意义为直线上的点到原点的距离，
所以，的最小值即为原点到直线的距离，即为，A选项正确；
对于B选项，当，时，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B选项正确；
对于CD选项，因为
，
因为，令，任取，则，





，
，所以，
，
同理可知，，
所以，，即，故函数在上单调递减，
故函数在上无最小值，
因此，的最小值等于的最小值，C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：
（1）：表示点与点连线的斜率；
（2）：表示点到点的距离；
（3）：表示点到直线的距离的倍.
34．BCD
【分析】首先求出线段的中点，即可求出线段的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出到直线的距离的最值，当的外接圆与圆相内切时，最小，当的外接圆与圆相外切时，最大，数形结合即可求出的最大值；
【详解】解：，，所以线段的中点为，，所以线段的垂直平分线为，即，因为圆：，圆心，半径，
又点恰在直线上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由正弦定理可知，当的外接圆与圆相内切时，最小，此时最大，此时恰在与的一个交点上，由解得或，所以，所以，，所以且，当的外接圆与圆相外切时，最大，此时，故C、D正确；
故选：BCD

35．BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．



36．ABD
【解析】A．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据，然后计算出对应三棱锥的高和底面积，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设，然后推出矛盾；取中点，根据四点共面判断平面是否成立；D．将问题转化为“内到直线和点的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.
【详解】A．，故正确；
B．，因为为中点且，所以，
又因为平面，所以且，所以平面，
又因为，，
所以，故正确；

C．假设成立，又因为平面，所以且，
所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；
取中点，连接，如下图所示：

因为为中点，所以，且，所以，所以四点共面，
又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；
D．“内到直线AC、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
37．ABD
【分析】连接，，，根据线面垂直的判定定理，先证明面，即可得到；判断A正确；根据A选项，可判断D选项中点的轨迹是直线，求出的最小值，进而可判断D正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B正确，结合B选项，得到C选项中，的轨迹是直线，求出的最小值，即可判定C错.
【详解】解析：连结，，．，，面．又面，故A选项是正确的；
又，，所以面，面，又
面面，又面，面B选项是正确的．
若在平面内，且面，则的轨迹是直线，此时的最小值为时．此时在中，，，，
，，故C选项错误.
面，且，点的轨迹是直线，的最小值是时，即与重合，此时，，选择项是正确的，
故选：ABD．

38．ABD
【分析】利用线面垂直的定义和线面垂直的判断定理可确定选项A正确，转化顶点，确定底面积和高度均为定值可得三棱锥的体积为定值，考虑极限的情况可得异面直线与所成角的取值范围，建立空间直角坐标系，利用空间向量得到直线与平面所成角的正弦值的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最大值.
【详解】如图所示，由正方体的性质可得，

平面，平面，则，
平面，平面，
故平面，
平面，则，
同理可得，
且平面,平面,
从而直线平面，
选项A正确；
，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，
且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，
故体积为定值，
选项B正确；
由，
当点与线段的端点重合时，与所成角为；
设的中点为，当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角，在中，，所以
在中，不变，逐渐变小．所以逐渐增大，
当点与重合时，异面直线与所成角为
所以异面直线与所成角的取值范围是．
所以C不正确．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为1，则，，，，，，
，，，
与选项A的方法同理可得平面，所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角的正弦值为，则：
，
当时，有最大值，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
39．ACD
【分析】对于A选项，当时，，只需要证明点到平面的距离恒定，就能说明三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，只需求出四棱锥的外接球的半径即可算出表面积；对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小即可求解；对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明即可.
【详解】对于A选项，当时，点为线段的中点，又为线段的中点，故为三角形的中位线，，点在线段运动时，点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，设四棱锥的外接球的半径为，由，解得，故四棱锥的外接球的表面积为对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作的垂线，垂足分别为和，

则，设，则，故，故
对于D选项，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，

易求得，，故，若平面，
则
解得（舍）或故存在唯一的实
数对，使得平面.
故选：.
40．ACD
【分析】利用正方体的性质可以直接计算时，三棱锥的体积判断A，当时，若平面，可推出与的矛盾，可判断B，时，E是AB中点显然正确，当时，建立空间直角坐标系，设，求出所需各点坐标，计算可判断D正确.
【详解】不妨设正方体的棱长为1，如图，

对于
对于B：要使平面，则必须，又，所以需要，所以E在中点，因为，所以与不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，
，，所以，，因为，所以，故D正确.
故选：ACD