2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十一 考点32 空间点、线、面的位置关系（B卷）

专题十一 考点32 空间点、线、面的位置关系（B卷）

1.下列结论中正确的是(   )

A.梯形可以确定一个平面

B.若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行

C.若直线l上有无数个点不在平面内，则

D.如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

2.如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是(   )

A.当时，四边形EFGH是平行四边形

B.当时，四边形EFGH是梯形

C.当时，四边形EFGH是平行四边形

D.当时，四边形EFGH是梯形

3.如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：

①AB与CD垂直；

②CD与EF平行；

③AB与MN成60°角；

④MN与EF异面.

其中正确结论的序号是(   )

A.①② B.①③ C.③④ D.②④

4.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，，，则直线与直线BD所成的角的大小为(   )

A. B. C. D.

5.在棱长为4的正方体中，点E，F分别为，的中点，则过B，E，F三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为(   )

A. B. C. D.

6.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是(   )

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

7.在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是(   )

A.  B.平面

C.  D.EF与相交

8.如图，AB是底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且，该圆锥的侧面积为为线段PB上一动点，当异面直线PA与BC所成的角为60°时，的最小值为(   )
 

A. B. C. D.

9.已知三棱锥中，分别是的平分线，平面，则直线所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

10.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，有以下四个结论：

①直线AM与是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与是异面直线；

④直线AM与是异面直线.

其中正确的结论为_______________.

11.以下四个命题中，真命题是____________（只填真命题的序号）。

①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行；

③若直线a，b和平面满足，，则；

④若直线a，b和平面满足，，，则。

12.在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且，若异面直线和所成的角是90°，则的长度是_________.

13.《九章算术》是我国的一部古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________________.

14.如图，是棱长为4的正方体，E是的中点.

(I)证明:；

(Ⅱ)求三棱锥的体积.

15.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，M在线段上，且.

(1)求证：；

(2)若四棱柱被平面MBD截得的两部分几何体体积之比为，求的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为梯形的上、下两底平行，所以梯形是平面图形，故A正确；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线可能相交、平行或异面，故B错误；当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C错误；如果两个平面有三个公共点且它们共线，那么这两个平面可能相交，故D错误.故选A.

2.答案：D

解析：如图所示，连接BD.，，且.同理，，且..当时，，四边形EFGH是平行四边形.选项A，C正确，D错.当时，，四边形EFGH是梯形，选项B正确.

3.答案：C

解析：画出原正方体，如图所示，连接DN，DM，由图可知①②错误；，，所以为等边三角形，所以③AB与MN成60°角是正确的；显然④MN与EF异面是正确的.

4.答案：A

解析：连接AC交BD于点O，连接，，.，，，，.底面ABCD是菱形，，.，，平面，，直线与直线BD所成的角的大小为.故选A.

5.答案：B

解析：如图所示，连接，，EF，设M为的中点，连接EM，，EB，BF.易知，所以四边形为平行四边形，故.同理可得，故，故B，E，，F四点共面.由题知，四边形为菱形.又，，故菱形的面积.故选B.

6.答案：B

解析：选项A，若，则或，故A错误；

选项B，由，得，又，所以，故B正确；

选项C，若，则当时，平面可能相交，故C错误；

选项D，由，不能得出，故不能得到，故D错误.故选B.

7.答案：C

解析：作图如图所示，由题可知与AE不平行，选项A错误；

EF与平面相交，选项B错误；

EF与是异面直线，选项D错误；

可证平面，而平面，所以，选项C正确，故选C.

8.答案：B

解析：因为该圆锥的侧面积为，所以，得，因为，所以如图①所示，连接AC，分别取AC，PC的中点为G，F，连接FO，OG，GF，则，所以，因为，所以，所以为等边三角形.在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至与平面ABP共面，如图②所示，当O，E，C三点共线时，取得最小值，又因为，，所以，所以.
 

9.答案：D

解析：因为平面平面，所以.又平面，故平面，所以， ，又，故.同理可得，，又，所以，故三棱锥为正四面体.

如图，取的中点G，连接，则，故即为与所成角或其补角，设，则，，

在中，由余弦定理得，

故直线所成角的余弦值为，故选D.

10.答案：③④

解析：因为A，M，三点共面，且在平面内，但，平面，所以直线AM与是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与也是异面直线，①②错，④正确；M，B，三点共面，且在平面内，，平面，因此直线BN与是异面直线，③正确.

11.答案：④

解析：对于①，当经过b的平面也经过a时，不成立，故①为假命题；对于②，a与内的直线平行或异面，故②为假命题；对于③，直线a与b三种位置关系都有可能，故③也为假命题，故只有④为真命题。

12.答案：

解析：连接，

由题意得四棱柱中，，

所以四边形是平行四边形，所以，

所以(或其补角)为和所成的角，

因为异面直线和所成的角为90°，所以，

因为四棱柱中，

，

所以，

所以，

所以.

13.答案：

解析：如图，在平面ABFE中，过F作交AB于G，连接CG，则或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设，则，.因为，，所以四边形AEFG为平行四边形，所以，，，又，所以，又，所以，所以，即异面直线AE与CF所成角的大小为.

14.答案：(I)见解析

(Ⅱ)

解析：(I)证明：连接.

∵四边形是正方形，

.

在正方体中，

平面，

又平面，

.

又平面，平面，

平面.

又平面，

.

(Ⅱ)设与交于点F，连接.

在正方体中，.

又分别是的中点，

，

∴四边形是平行四边形，

.

过平面平面，

平面.

又正方体的棱长为4，

.

15.答案：(1)证明过程见解析.

(2).

解析：(1)证明：连接AC，.

四边形ABCD是菱形，

.

是直四棱柱，

平面ABCD，且平面ABCD，

.

又，且平面，

平面，

而平面，

.

(2)设四棱锥，底面的面积为S，高为h，

则三棱锥的体积.

又四棱柱的体积，

四棱柱被平面MBD截得的两部分几何体体积之比，

解得.