浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上B．四边形的内角和为
C．抛掷一枚硬币，正面朝上D．明天会下雨
3．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
4．如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ）
A．B．2C．3D．4
5．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个B．15个C．18个D．20个
6．将抛物线向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
7．二次函数，当时，的（ ）
A．最小值是1B．最小值是0C．最小值是D．最小值是
8．点F在ABCD的边AD上，BA、CF的延长线交于点E，若，则四边形ABCF与的面积之比是（ ）
A．9：4B．8：3C．3：2D．2：1
9．如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到弧所在圆的圆心，经测量，，则商标的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题
11．任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上面的点数为4概率等于______．
12．已知线段，，则，的比例中项线段等于______．
13．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为______°．
14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
15．如图，与轴交于，两点（在左边）与轴交于点，是线段上的一点，连结交轴于点，连结，当和的面积之和与的面积相等时，点的坐标为______．
16．如图，矩形内接于是，，，为弧上一点，连结，，，则______；是射线上一个动点，，当时，______．
三、解答题
17．一个布袋里装有只有颜色不同的4个小球，其中1个白球，3个黑球．
(1)从袋中随机取出1球，求摸到的是白球的概率；
(2)从袋中随机取出1球，不放回再取出第二个球，请用列表法或树状图法表示出所有可能的结果，并求出恰好取出一个黑球，一个白球的概率．
18．如图，在的方格纸中，每个小正方形边长都是，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图1中画格点，使与相似，相似比为．
(2)在图2中画格点，使与相似，面积比为．（注：图、图在答题纸上．）
19．如图，在中，，为边上的中线，于点．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
20．如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点．
(1)求的度数；
(2)求证：四边形是菱形．
21．如图，抛物线的顶点坐标为，且图象经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在轴正半轴上取一点，过点作轴的平行线，分别交抛物线于，两点（在点左侧），若，求的值．
22．党的二十大报告指出大自然是人类赖以生存发展的基本条件……垃圾分类、节能减排、废物再利用等必须从我们身边小事做起．为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
23．某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量（件）和销售单价之间的一次函数关系如下表（的整数）．
(1)写出关于的函数关系式______．
(2)问定价为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润．
(3)商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为元，则总利润的最大值为______（直接写出答案）．
24．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左边），与轴交于点，连接，，点在抛物线上一点．
(1)求证；是等腰直角三角形．
(2)连接，如图1，若平分，求点的坐标．
(3)如图2，若点在线段的下方抛物线上一点，画于点．
①求的最大值．
②在线段上取点，连，，若，且点关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点的坐标（直接写出答案）．
方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图
说明
图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
，，，
任务1：探寻边长关系
填空：______dm；=______
任务2：比较面积大小
计算或推理：比较正方形和正方形边长的大小
任务3：应用实践
若在四边形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______
销售单价（元/件）
…
50
51
52
…
每天销售量（件）
…
100
95
90
…
参考答案：
1．D
【分析】由比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积即可．
【详解】方法一：，
，

方法二：
即
故选：D．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．B
【分析】根据必然事件的概念选择即可．
【详解】A．抛掷一枚骰子，出现4点向上是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B．四边形的内角和为是必然事件，故选项正确，符合题意；
C．抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故选项错误，不符合题意；
D．明天会下雨是随机事件，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了必然事件的概念，解题的关键是掌握必然事件的概念（必然事件是一定要发生的事件）．
3．C
【分析】根据的半径为，点P到圆心O的距离为，即可判定点P和的位置关系．
【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，，
∴点P在外．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断点与圆的位置关系，熟练掌握和运用判断点与圆的位置关系的方法是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵半径与弦垂直于点，，
∴，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．C
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有个；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．D
【分析】根据平移的规律：左加右减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，
所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．D
【分析】根据二次函数顶点式图象的性质，开口向下，离对称轴越远，取值越小．
【详解】
对称轴是：，开口往下；
离对称轴越远，取值越小，
当时，取值最小值
故选：D．
【点睛】此题考查二次函数图象，解题的关键时根据图象的性质判断取值．
8．D
【分析】由，得，．根据，AD∥BC，，，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，．
在平行四边形ABCD中， ，AD∥BC，
∴，，
∴，，
∴．
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．A
【分析】连接，利用勾股定理求出，得到为等边三角形，利用阴影部分面积等于扇形的面积减去三角形的面积，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴商标的面积；
故选A．
【点睛】本题考查阴影部分面积．利用割补法，将阴影部分面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．
10．A
【分析】连接，先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，得出菱形的一个角是直角，可得出四边形是正方形，从而可得四边形和四边形都是正方形，然后根据正方形和四边形的面积之比为即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
由拼接可知四边形和四边形都是正方形，，，
∴．
∵正方形和四边形的面积之比为，
∴正方形和四边形的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形和四边形都是正方形是解答本题的关键．
11．
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：任意抛掷一枚均匀的骰子一次，共有6种等可能的情况，其中出现朝上面的点数为4的情况为1种，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握等可能事件的概率公式，是解题的关键．
12．3
【分析】利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可．
【详解】解：设，的比例中项线段为，
则：，
∵，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题考查比例中项．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积，是解题的关键．
13．
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】∵半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，
∴，
故答案为90．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：．
14．
【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则，
故答案为．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
15．
【分析】先求出，再求出线段AC一次函数为、过的一次函数解析式为，求出，根据面积相等列出等式求出P点坐标．
【详解】∵与x轴交于A，B两点（A在左边）与y轴交于C点，
∴
设过线段一次函数解析式为，
把坐标代入解析式可得∶
，
∴，
设，过的一次函数解析式为，
把坐标代入解析式可得∶
∴，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的面积与交点坐标的问题，解题的关键是求出交点坐标，把三角形面积表示出来．
16． ##
【分析】过点作于点，连接，设与交于点，根据矩形的性质结合圆周角定理得出是直径，根据勾股定理求出即可，证明，从而求出，进而得出，，证明，求出的长，根据勾股定理求出的长度，然后根据即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，连接，设与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴是直径，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴①，
∵，
∴②，
由①②得：，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．
17．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）根据概率公式可得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好取出一个黑球，一个白球的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意得，摸到的是白球的概率为；
（2）解：画树状图为：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好取出一个黑球，一个白球的有6种结果，
∴恰好取出一个黑球，一个白球的概率．
【点睛】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，相似比为，得，即的各边长扩大两倍；
（2）根据，面积比为，则相似比为：，得，即的各边长扩大倍．
【详解】（1）画法不唯一，如下图1：
由题意得，，，，
∵，相似比为，
∴，
∴的各边长扩大两倍，
∴，，．
（2）画法不唯一，如图2：
由（1）得：，，，
∴，面积比为，
∴相似比为：，
∴，
∴的各边长扩大倍，
∴，，．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三线合一的性质，得出，再根据垂直的定义，得出，再根据等边对等角，得出，再根据相似三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）根据中线的性质，得出，再根据相似三角形的性质，得出，然后代入数据计算，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解： ∵为边上的中线，，
∵，
∵，，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了三线合一的性质、垂直的定义、等边对等角、相似三角形的判定与性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
20．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可；
（2）连结，根据等弧对等角，和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，为等边三角形，进而得到，即可得证．
【详解】（1）解：∵
∵
∴
（2）证明：连结
∵点为的中点
∴弧弧
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，以及弧，弦，圆心角之间的关系和菱形的判定．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，等弧对等角，是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线表达式为，把代入求解即可；
（2）解法一：设，则，，分别代入，消去m，求出a，得出A的坐标代入解析式求解即可；
解法二：设，利用对称性得，求出a，得出A的坐标代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线表达式为，把代入得
，
∴，
∴；
（2）解：解法一：设，
∵
∴
则，
分别代入，可得
，
∴
解得（舍去）或
∴
把代入得，得
∴．
解法二：设
∵
∴
∴
∴
∴
把代入得，得
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，以及二函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
22．见解析
【分析】任务1：过点作，交于点，则：四边形为矩形，利用矩形的性质和勾股定理，即可求出，同时得到，进而得到为等腰直角三角形，即可得到；
任务2：利用正方形的性质，得到为等腰直角三角形，得到，利用，即可求出正方形的边长，同法可以得到正方形的边长，再进行比较即可；
任务3：由题意得：方案一裁剪出来的的正方形的要大于方案而裁剪出来的正方形，按照任务2求正方形的边长的方法，即可得解．
【详解】任务1：作于，
∵，
∴四边形为矩形
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；；
任务2：由任务1知：，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的边长为：；
设正方形的边长为，
由任务1可知：，，
∴，，
∴，
由题意得：
∴
∴正方形的边长为；
∵
∴正方形边长大于正方形的边长；
任务3：由题意得：方案一裁剪出来的的正方形的要大于方案二而裁剪出来的正方形，
∴要在四边形余料上再截取一个最大正方形，应按照方案一的裁剪方法进行裁剪，
如图：
同任务2求正方形边长的方法可得：正方形的边长应为，
∵，
∴，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形的综合应用．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形，是解题的关键．
23．(1)
(2)当定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元
(3)13475元
【分析】（1）利用表格中的数据，待定系数法求解析式即可；
（2）设每天的利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售数量，求出函数解析式，求最值即可；
（3）先求出前10天的利润以及卖出的数量，再根据二次函数的性质，得到后两天的定价分别为元和元时，刚好卖完，利润最大，即可得解．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式为：，
则：由表格可知：，解得：，
∴；
故答案为：．
（2）解：设每天的利润为元，
则：；
∵，
∴当时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元，
即：定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元；
（3）解：以每天最大销售利用销售10天，获利为：元；
卖出商品的数量为：件，还剩下：件，
∵，
∴当定价离元越近时，每天的利润就越大，
∵在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，是大于等于的整数，
当定价为：元时，销售数量为：件，
当定价为：元时，销售数量为：件，
件，
∴最后两天的最大利润为：元，
∴总利润的最大值为：元．
故答案为：13475元．
【点睛】本题考查二次函数的应用．利用总利润等于单件利润乘以销售数量，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)①的最大值为，②
【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得，即问题得解；
（2）过点作交于点，交于，连接BF，利用等腰直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，再联立，即可求解；
（3）利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为：，①设过点的坐标为，过点与直线平行的直线解析式为，过D点作y轴的平行线交BC于点P，通过联立方程可得点的坐标为，根据可得P点横坐标为3，即可得，进而可得，再证明为等腰直角三角形,即，问题得解；设点C关于OF的对称点为点T（且点T在抛物线上），则有OF垂直平分线段CT，即，由图可知抛物线上除点C、点B外，再无其他点到原点的距离为6，由此可得点T与点B重合，此时对称轴OF即为斜边的中线，即点F为BC中点，过A点作于G点，连接FA，再计算出，
可得，可知D点与A点重合，则E点与G点重合，符合要求，问题随之得解．
【详解】（1）令，可得，
令，可得，
解得，，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴为等腰直角三角形；
（2）过点作交于点，交于，连接BF，如图，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
即根据“三线合一”可知：，即，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
∴利用待定系数法可得直线的解析式为：，
联立，
解得（舍去），，
∴；
（3）∵，，
∴利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为：，
①设过点的坐标为，过点与直线平行的直线解析式为，过D点作y轴的平行线交BC于点P，如图，
联立，可得，
∵，
∴，
∴，
∴解得，
即点的坐标为，根据可得P点横坐标为3，
即可得，
∴当有最大值时，点的坐标为，，
即：，
当时，，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形,
∴，
∴此时的最大值为；
设点C关于OF的对称点为点T（且点T在抛物线上），则有OF垂直平分线段CT，
即，
由图可知抛物线上除点C、点B外，再无其他点到原点的距离为6，
∴点T与点B重合，此时对称轴OF即为斜边的中线，
即点F为BC中点，
过A点作于G点，连接FA，
∵，，，为等腰直角三角形，
∴，，，且可得为等腰直角三角形，
∴,,
∴，
∴,,
∴，，
∴,
∴，
此时若D点与A点重合，则E点与G点重合，满足，
此时D点坐标为：；
若D点不与A点重合：
点F为定点（BC中点），且F点在线段AE上，即：，
第一种情况：当D点从A点往C点靠近时，E点也会逼近F点，
此时形成的角会越来越小，
∴即不存在的情况；
第二种情况：当D点从A点往B点靠近时，DF与BF的夹角将越来越小，
则在的另一个锐角会越来越大，
∴即不存在的情况；
综上：D点与A点重合满足要求，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正切，等腰三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，问题的难点在第三问的第二小问，确定F点为BC的中点是解答本题的关键．