2023年湖南省衡阳市中考预测压轴数学试卷(含答案)

2023年湖南省衡阳市中考预测压轴数学试卷

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）在2，，﹣2，0中（　　）

A．0与2 B．与2 C．2与﹣2 D．与﹣2

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x+x＝2x2 B．（x2）3＝x5 C．（2x）2＝2x2 D．x3•x2＝x5

3．（3分）据合肥晚报2015年1月8日消息，2014年安徽省粮食总产量约为683.2亿吨，其中683.2亿用科学记数法表示为（　　）

A．683.2×108 B．6.832×108 C．683.2×1010 D．6.832×1010

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．﹣（﹣3）2＝9 B．＝±3 C．（﹣3）0＝1 D．＝3

5．（3分）下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

6．（3分）使分式有意义的条件是（　　）

A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1

7．（3分）四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（　　）

A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D

8．（3分）下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　）

A． B． 

C． D．

9．（3分）不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

10．（3分）已知双曲线y＝﹣，点A（x1，y1）在图象上，若﹣2＜y1＜3，则x1的取值范围是（　　）

A．x1＞3 B．x1＜﹣2 

C．﹣2＜x1＜3 D．x1＜﹣2或x1＞3

11．（3分）我县为积极响应创建“省级卫生城市”的号召，为打造“绿色乐至，健康乐至”是我们每个乐至人应尽的义务．某乡镇积极开展垃圾分类有效回收，截止2019年底，有效回收的垃圾约2.8万吨，则下列方程正确的是（　　）

A．1.5（1+2x）＝2.8 

B．1.5（1+x）2＝2.8 

C．1.5x2＝2.8 

D．1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝2.8

12．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，则▱ABCD的面积为（　　）

A．24 B．10 C．12 D．36

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）因式分解：（m﹣n）2﹣3n（n﹣m）＝　   　．

14．（3分）若＝＝＝＝k，则k的值是　   　．

15．（3分）一个n边形的内角和是它外角和的6倍，则n＝　   　．

16．（3分）如图，已知AE∥BD，∠1＝120°，则∠C＝　   　．

17．（3分）某公园门票的收费标准如下：

有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，则花费较少的一家花了　   　元．

18．（3分）在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为 　   　．

三．解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）计算：a（2﹣a）+（a+b）（a﹣b）．

20．（6分）“五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩

（1）求小明去通海秀山公园的概率；

（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AB，AC上的点．

（1）如图1，若∠MPB＝∠MQC＝90°，证明：MP＝MQ；

（2）如图2，若∠MPB+∠MQC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由．

22．（8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到1h），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）求出扇形统计图中百分数a的值为　   　，所抽查的学生人数为　   　．

（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．

（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．

（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．

23．（8分）某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上

（1）求该斜坡的坡面AB的长度；

（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时

24．（8分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上的一点，且DE，CE分别平分∠ADC和∠BCD，判断以AB为直径的圆与CD有什么样的位置关系？试证明你的结论。

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（3，0）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求当﹣2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；

（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

26．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，过点P作PF⊥AC于点F，以AF；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0

（1）直接写出点G落在BC边上时的t值．

（2）求S与t的函数关系式．

（3）直接写出点G分别落在△ABC三边的垂直平分线上时的t值．

2023年湖南省衡阳市中考预测压轴数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）在2，，﹣2，0中（　　）

A．0与2 B．与2 C．2与﹣2 D．与﹣2

解：2与﹣2互为相反数．

故选：C．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x+x＝2x2 B．（x2）3＝x5 C．（2x）2＝2x2 D．x3•x2＝x5

解：x+x＝2x，因此选项A不符合题意；

（x2）2＝x6，因此选项B不符合题意；

（2x）6＝4x2，因此选项C不符合题意；

x3•x3＝x2+5＝x5，因此选项D符合题意；

故选：D．

3．（3分）据合肥晚报2015年1月8日消息，2014年安徽省粮食总产量约为683.2亿吨，其中683.2亿用科学记数法表示为（　　）

A．683.2×108 B．6.832×108 C．683.2×1010 D．6.832×1010

解：683.2亿＝68320000000＝6.832×1010，

故选：D．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．﹣（﹣3）2＝9 B．＝±3 C．（﹣3）0＝1 D．＝3

解：A、﹣（﹣3）2＝﹣5，原计算错误；

B、＝3，故此选项不符合题意；

C、（﹣7）0＝1，原计算正确；

D、＝3，故此选项不符合题意．

故选：C．

5．（3分）下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形；

D、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

6．（3分）使分式有意义的条件是（　　）

A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1

解：由题意可得：x+1≠0，

解得：x≠﹣8，

故选：B．

7．（3分）四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（　　）

A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D

解：∵AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，

∴A．∠A+∠C＝180°，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；

B．∠B+∠A＝180°从题目已知条件即可得出，此选项错误；

C．同理A，故此选项错误；

D．∠B＝∠D，则BA∥CD，此选项正确；

故选：D．

8．（3分）下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　）

A． B． 

C． D．

解：A、B、D可组成正方体；

C不能组成正方体．

故选：C．

9．（3分）不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

解：由﹣2≤x+1，得x≥﹣5；

由x+1＜1，得

x＜6，

不等式组的解集为﹣3≤x＜0，

在数轴上表示为：

故选：A．

10．（3分）已知双曲线y＝﹣，点A（x1，y1）在图象上，若﹣2＜y1＜3，则x1的取值范围是（　　）

A．x1＞3 B．x1＜﹣2 

C．﹣2＜x1＜3 D．x1＜﹣2或x1＞3

解：如图，当y＝﹣2时，解得x＝6，

当y＝3时，即3＝﹣，

即点P（﹣2，3），﹣4），

由于点A（x1，y1）在y＝﹣图象上1＜3，则x4的取值范围是x＜﹣2或x＞3，

故选：D．

11．（3分）我县为积极响应创建“省级卫生城市”的号召，为打造“绿色乐至，健康乐至”是我们每个乐至人应尽的义务．某乡镇积极开展垃圾分类有效回收，截止2019年底，有效回收的垃圾约2.8万吨，则下列方程正确的是（　　）

A．1.5（1+2x）＝2.8 

B．1.5（1+x）2＝2.8 

C．1.5x2＝2.8 

D．1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝2.8

解：设这两年的平均增长率为x，

由题意得，1.5（4+x）2＝2.2．

故选：B．

12．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，则▱ABCD的面积为（　　）

A．24 B．10 C．12 D．36

解：在图1中，作BE⊥AD，

在图2中，取M（4，N（12，

当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，

当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，解得BD＝5，

  当点P到点D时，对应图2中到达点N，

在△ABD中，AB＝BD＝6，BE⊥AD，

解得AE＝6，

在Rt△ABE中，AB＝6，

BE²+AE²＝AB²，

解得BE＝，

∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝10×＝10，

故选：B．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）因式分解：（m﹣n）2﹣3n（n﹣m）＝　（m﹣n）（m+2n）　．

解：（m﹣n）2﹣3n（n﹣m）

＝（m﹣n）2+3n（m﹣n）

＝（m﹣n）（m﹣n+3n）

＝（m﹣n）（m+2n）．

故答案为：（m﹣n）（m+2n）．

14．（3分）若＝＝＝＝k，则k的值是　﹣1或　．

解：根据分式的基本性质得：

①当a+b+c+d≠0时，由题意得：

＝＝k，

∴k＝，

②当a+b+c+d＝0时，由题意得：＝，

∴k＝﹣1，

则k＝﹣6或．

故答案为：﹣6或．

15．（3分）一个n边形的内角和是它外角和的6倍，则n＝　14　．

解：多边形的外角和是360°，多边形的内角和是180°•（n﹣2）

180•（n﹣2）＝360×8，

解得n＝14．

故答案为：14．

16．（3分）如图，已知AE∥BD，∠1＝120°，则∠C＝　25°　．

解：由题意得：∠BAE＝∠1＝120°，∠CDB＝∠2＝35°，

∵AE∥BD，

∴∠CBD＝∠BAE＝120°，

∴∠C＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝25°．

故答案为：25°．

17．（3分）某公园门票的收费标准如下：

有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，则花费较少的一家花了　260　元．

解：设花费较少的一家花了x元，

依题意，得：x+40＝60×5，

解得：x＝260．

故答案为：260．

18．（3分）在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为 　（﹣1，﹣）　．

解：由题意B（1，），

第一次旋转后B6（﹣，1），

第二次旋转后B5（﹣1，﹣），

第三次旋转后B2（，﹣1），

第四次旋转后B5（1，），

发现四次一个循环，

∵2022÷6＝505•••2，

∴点B2022的坐标为（﹣1，﹣），

故答案为：（﹣1，﹣）．

三．解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）计算：a（2﹣a）+（a+b）（a﹣b）．

解：原式＝2a﹣a2+a8﹣b2

＝2a﹣b3．

20．（6分）“五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩

（1）求小明去通海秀山公园的概率；

（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率．

解：（1）P（小明去通海秀山公园）＝；

（2）用表格表示所有可能的情况如下：

其中：玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、

磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）

∴P（都去玉溪汇龙生态园）＝

21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AB，AC上的点．

（1）如图1，若∠MPB＝∠MQC＝90°，证明：MP＝MQ；

（2）如图2，若∠MPB+∠MQC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△MBP与△MQC中，

，

∴△MBP≌△MQC，

∴MP＝MQ．

（2）解：若∠MPB+∠MQC＝180°，则（1）中的结论仍然成立

过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，

∵AB＝AC，M是中点，

∴AM平分∠BAC，

又ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，

∴MF＝ME，

∵∠MPB+∠MQC＝180°，∠MQC+∠MQA＝180°，

∴∠MPB＝∠MQA，

在△MEP与△MFQ中，

，

∴△MEP≌△MFQ，

∴MQ＝MP．

22．（8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到1h），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）求出扇形统计图中百分数a的值为　45%　，所抽查的学生人数为　60　．

（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．

（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．

（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．

解：（1）a＝1﹣20%﹣30%﹣5%＝45%，

所抽查的学生人数为：5÷5%＝60，

故答案为：45%，60；

（2）平均睡眠时间为8小时的人数为：60×30%＝18，

平均睡眠时间为7小时的人数为：60×45%＝27，

补全的频数分布直方图如右图所示；

（3）这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，

＝＝7.2（小时），

即这部分学生的平均睡眠时间的众数是6小时，平均数是7.2小时；

（4）1800×＝1170（人），

即睡眠不足（少于4小时）的学生有1170人．

23．（8分）某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上

（1）求该斜坡的坡面AB的长度；

（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时

解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝6m，

∴BC＝4×2＝6m．

∴AB＝＝＝（米）；

（2）∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，

∴∠GDM＝∠HBM，

∴，

∵DG＝EF＝2m，

∴GM＝7m，

∴DM＝，BM＝BF+FM＝7.5+（2.2﹣1）＝5m，

设MH＝xm，则BH＝2xm，

∴x2+（2x）5＝52，

∴x＝m，

∴DH＝＝m．

24．（8分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上的一点，且DE，CE分别平分∠ADC和∠BCD，判断以AB为直径的圆与CD有什么样的位置关系？试证明你的结论。

解：以AB为直径的圆与CD相切．理由如下：

过E作EF⊥CD于F．

∵∠A＝∠B＝90°，DE平分∠ADC，EF⊥CD，

∴AE＝EF＝BE＝AB，

∴以AB为直径的圆的圆心为E，且EF为半径．

∵EF⊥CD，

∴以AB为直径的圆与CD相切．

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（3，0）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求当﹣2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；

（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，2），0）．

∴y＝（x+1）（x﹣5），

∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣4；

（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，

∴在﹣2≤x≤6范围内，当x＝7；当x＝1时函数有最小值：y＝1﹣8×1﹣3＝﹣4，

∴y的最大值与最小值的差为：21﹣（﹣4）＝25；

（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣2x﹣8图象交点的横坐标为a和b，

∴x2﹣2x﹣5＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣4）x+m﹣5＝3，

解得：x1＝﹣1，x5＝5﹣m，

∵a＜3＜b，

∴a＝﹣6，b＝5﹣m＞3，

解得m＜3，即m的取值范围是m＜2．

26．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，过点P作PF⊥AC于点F，以AF；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0

（1）直接写出点G落在BC边上时的t值．

（2）求S与t的函数关系式．

（3）直接写出点G分别落在△ABC三边的垂直平分线上时的t值．

解：（1）如图1中，

∵BA＝BC，∠B＝90°，

∴∠A＝∠C＝45°，

∵PF⊥AC，

∴∠AFP＝90°，

∴∠A＝∠APF＝45°，

∵四边形APGF是平行四边形，

∴PG∥AC，AF＝PF＝PG，

∴∠BPG＝∠A＝45°，

∵PA＝2t，

∴AF＝FP＝PG＝t，

∴PB＝BG＝t，

∵PA+PB＝AB＝8，

∴3t＝4，

∴t＝，

∴当t＝时，点G落在BC上．

（2）①如图2﹣8中，当0＜t≤时，S＝t＝7t2

②如图2﹣8中，当＜t≤6时，S＝S平行四边形APGF﹣S△MNG＝2t2﹣×（3t﹣8）2＝﹣t2+24t﹣32．

综上所述，S．

（3）如图3﹣1中，当点G落在AB的中垂线上时，可得5t+t＝4．

如图3﹣2中，当点G落在AC的中垂线上时，此时t＝2．

如图3﹣3中，当点G落在BC的中垂线上时，此时t＝6．

综上所述，满足条件的t的值为．