2023年中考集训20讲专题17：渐变累加型规律问题

专题17：渐变累加型规律问题-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（       ）

A．38 B．52 C．68 D．86

【答案】C

【解析】由题意易知第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；…..，由此问题可求解．

【详解】解：由题意知，

第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，

第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，

第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，

第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；

……；

∴第⑦幅图小圆的个数为7×8+2×6=68（个）；

故选C．

【点评】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找到图形规律即可．

2．如图，下列图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数为（       ）

A．30 B．41 C．31 D．40

【答案】C

【解析】由图可知第1个图形中圆的个数为4=3×1+1个，第2个图形中圆的个数为7=3×2+1个，第3个图形中圆的个数为10=3×3+1个，….；由此可得规律进行求解．

【详解】解：由图可知第1个图形中圆的个数为4=3×1+1个，第2个图形中圆的个数为7=3×2+1个，第3个图形中圆的个数为10=3×3+1个，….；

∴第n个图形中圆的个数为（3n+1）个，

∴第10个图形中圆的个数为3×10+1=31（个）；

故选C．

【点评】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是根据图形得到基本规律进行求解．

3．将正方形ABCD(如图1)作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（        ）个正方形．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意可知，每次增加4个正方形，据此规律即可求得答案

【详解】第1次划分后，图中有个正方形，

第2次划分后，图中有个正方形，

第3次划分后，图中有个正方形，

……

第n次划分后，图中共有个正方形，

故选：C．

【点评】本题考查了图形类找规律，找到规律是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向左跳动个单位至点，第次向上跳动个单位至点，第次向右跳动个单位至点，第次又向上跳动个单位至点，第次向左跳动个单位至点，……．照此规律，点第次跳动至点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设第n次跳动至点Pn，根据部分点An坐标的变化找出变化规律P4n（n + 1，2n），Pn+1（n + 1，2n + 1），P4n+2（-n-1，2n+ 1），P4n+3（-n-1，2n +2），依此规律结合200 = 50 ×4，即可得出点P200的坐标．

【详解】解：设第n次跳动至点Pn，观察发现：P（1，0），P1（1，1），P2（-1，1），P3（-1，2），P4（2，2），P5（2，3），P6（-2，3），P7（-2，4），P8（3，4），P9（3，5），...，

∴P4n+1（n + 1，2n +1），P4n+2（-n-1，2n+ 1），

P4n+3（-n-1，2n+2），P4n（n + 1，2n），（n为自然数），

∵200 = 50 × 4，

∴P200（50+1 ，50×2），即（51，100）．

故选A．

【点评】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是准确找到点的坐标变化规律．

5．如图，下列图案均是长度相同的小木棍按一定的规律拼搭而成：第个图案需根小木棍，第个图案需根小木棍，第个图案需根小木棍……，依此规律，第个图案需（　　）根小木棍．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把8代入即可求出答案．

【详解】解：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，

第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，

第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，

…，

第n个图案需n（n+3）+3根火柴，

则第8个图案需：8×（8+3）+3=91（根）；

故选：D．

【点评】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．

6．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（       ）个小圆圈．

A．2454 B．2605 C．2504 D．2554

【答案】D

【解析】设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝50即可求出结论．

【详解】解：设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)

观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，

∴an＝4+n(n+1)(n为正整数)，

∴a50＝4+50×51＝2554

故选D．

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2021的坐标为（       ）

A．（1011，1011） B．（1010，﹣1011） C．（504，﹣505） D．（505，﹣504）

【答案】A

【解析】求出图中写出点的坐标，发现规律再解决即可．

【详解】解：P0（1，0）

P1（1，1）

P2（-1，1）

P3（-1，-2）

P4（3，-2）

P5（3，3）

P6（-3，3）

P7（-3，-4）

P8（5，-4）

P9（5，5）

看了上述之后就会发现P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5）的横纵坐标相等，均为序数加1再除以2的结果，

∵，，

∴P2021的坐标为（1011，1011），

故选：A．

【点评】此题考查坐标的规律探究，根据图形得到点的坐标并发现坐标的变化规律，并能运用规律解决问题，能总结特殊点的坐标并总结运用规律是解题的关键．

8．下列图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中，第1个图中一共有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，…，按照此规律第5个图中正方形的个数为（       ）

A．30 B．46 C．55 D．60

【答案】C

【解析】仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有5=12+22个，第3个图形有14=12+22+32个，…由此得到规律求得第5个图形中正方形的个数即可．

【详解】第1个图形有1个正方形，

第2个图形有（个）正方形，

第3个图形有（个）正方形，

……

第5个图形有（个）正方形，

故选C.

【点评】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．

二、填空题

9．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：

，

，

，

，

…

（1）第4个等式中正整数k的值是________；

（2）根据已知等式可归纳出第n个等式为__________________（n是正整数）．

【答案】     9    

【解析】（1）第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数为，其中；故得出第个等式中正整数；

（2）观察等式左侧，等式个数每增加，等式中就会增加这个等式个数的倍；故可归纳出第个等式．

【详解】解（1）第个等式中正整数为，其中；

第个等式中正整数为，其中；

第个等式中正整数为，其中；

第个等式中正整数；

故答案为：．

（2）第个等式左侧为；

第个等式左侧为；

第个等式左侧为；

第个等式左侧为；

第个等式左侧可归纳为；

由（1）中知第个等式右侧为

第个等式可归纳为的形式

故答案为：．

【点评】本题考察用归纳法推导规律．解题的关键与难点在于将等式的个数与数值建立联系．

10．观察下列等式

1=1，

2+3+4=9，

3+4+5+6+7=25，

4+5+6+7+8+9+10=49

…

照此规律，第2011个等式是2011+2012+...+6031=2011+2012+...+6031=M2，则正数M=______．

【答案】4021

【解析】由前面具体的运算式可以发现：等式的左边的第一个数是，共个连续的整数之和，右边是奇数的平方，从而可总结出规律，再利用规律即可得到答案.

【详解】解：1=1，

2+3+4=9，

3+4+5+6+7=25，

4+5+6+7+8+9+10=49

…

归纳可得：第个等式为：

所以当时，

故答案为：

【点评】本题考查的是数字运算类的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结归纳出规律，并运用规律解决问题”是解本题的关键.

11．如图，已知∠MON＝30°，点…在射线ON上，点在射线OM上，△，△，△…均为等边三角形．若＝1，则△的边长为_______．

【答案】22014

【解析】根据等边三角形的性质可得∠B1A1A2=∠B2A2A3=∠B3A3A4=，…，=60°，得出B1A1∥B2A2∥B3A3∥，…，推得∠OB1A1=∠OB2A2=∠OB3A3=，…，=∠MON=30°，根据等腰三角形性质B2A2=OA2=A2A3，B3A3=OA3==A3A4，B4A4=OA4=A4A5，…，得出，，，，得出OAn=2OAn-1=4OAn-2=2n-1OA1=2n-1即可．

【详解】解：∵是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵、是等边三角形，…,

∴∠B1A1A2=∠B2A2A3=∠B3A3A4=,…=60°,

∴B1A1∥B2A2∥B3A3，…，

∴∠OB1A1=∠OB2A2=∠OB3A3=，…，=∠MON=30°，

∴B2A2=OA2=A2A3，B3A3=OA3==A3A4，B4A4=OA4=A4A5，…，

∴，

∴，

…

OAn=2OAn-1=4OAn-2=2n-1OA1=2n-1

…，

△的边长=OA2015=22015-1=22014．

故答案为：22014．

【点评】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

12．正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第7列的数字是___________；第n行，第n列的数字是___________．(用含n的代数式表示)

【答案】     42；     ．

【解析】先找出第一列每一行的规律12，22，32，…，n2，再找出第一行每一列规律1，（2-1）2-1，（3-1）2+1，…，（n-1）2+1，观察然后再找出第n行，第n列是第1行，第n列与第n行，第1列两数和的一半，然后求第7行，第7列的数字为，再求第6行，第7列的数字即可．

【详解】解：第一列各行数为1，4=22，9=32，16=42，…,n2，

第一行各数为1=（1-1）2+1，2=（2-1）2+1，5=（3-1）2+1，10=（4-1）2+1，---，（n-1）2+1，

第1行，第n列的数字为，第n行，第1列的数字为，

第n行，第n列的数字为，

∴第7行，第7列的数字为，

第6行，第7列的数字为42．

故答案为42；．

【点评】本题考查数字规律探索，用代数式表示规律，代数式的值，仔细观察各行各列数规律，抓住第一列规律，与第一行规律是解题关键．

13．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；按这样的规律下去，则第⑥幅图中含有正方形的个数为_______．

【答案】91

【解析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有个正方形，第三个有个正方形，第个有：个正方形，从而得到答案．

【详解】解：观察图形发现第一个有1个正方形，

第二个有个正方形，

第三个有个正方形，

第个有：个正方形，

第6个有个正方形，

故答案为：91．

【点评】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细关系图形并找到规律，利用规律解决问题．

14．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为_________．

【答案】

【解析】根据正方形的性质和中点坐标公式求出点坐标，然后根据轴对称与平移坐标变换特征总结出点坐标变换规律：第次变换后点的对应点的坐标为：当为奇数时，，当为偶数时，，根据规律求解即可．

【详解】解：正方形，顶点，，，

对角线交点坐标为．

根据翻折与平移的性质，

第次变换后点的对应点的坐标为，即；

第次变换后点的对应点的坐标为，即；

第次变换后点的对应点的坐标为，即；

第次变换后点的对应点的坐标为：

当为奇数时，点的坐标为；

当为偶数时，点的坐标为，

连续经过次变换后，

点的对应点的坐标为，即．

故答案为：．

【点评】此题主要考查坐标的变换，解题的关键是根据题意找到变换的规律进行求解．

15．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，点．作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（是正整数）的顶点的坐标是________．

【答案】

【解析】根据中心对称的性质，分别求出点的坐标，然后总结出的坐标的规律，求出的坐标即可．

【详解】解：∵是边长为的等边三角形，

∴的坐标为，的坐标为，

∵与关于点成中心对称，

∴点与点关于点成中心对称，

∵，，

∴点的坐标是，

∵与关于点成中心对称，

∴点与点关于点成中心对称，

∵，，

∴点的坐标是，

∵与关于点成中心对称，

∴点与点关于点成中心对称，

∵，，

∴点的坐标是，

∵，，，，…，

∴的横坐标是，的横坐标是，

∵当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，

∴顶点的纵坐标是，

∴（是正整数）的顶点的坐标是．

故答案为：．

【点评】此题考查了坐标与图形变化和旋转问题，解题的关键是根据题意找到坐标之间的规律．

16．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=______________．

【答案】16

【解析】【详解】解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245

解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．

故答案为16．

三、解答题

17．观察下列等式，并按其中规律解答问题：

下列等式：13＝12；

13+23＝32；

13+23+33＝62；

13+23+33+43＝102；

.....．

（1）填空：13+23+33+43+53＝　 　；13+23+33+43+53+63＝　 　．

（2）求13+23+33+43+…+n3的值（用含n的式子表示，n为正整数）．

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）根据，，，进行求解即可；

（2）由（1）得到的规律可得，再由，由此即可得到答案．

【详解】解：（1）∵

，

，

，

∴，

；

故答案为：，；

（2）∵

，

，

，

∴，

∵中，第1个数和最后一个数的和为，第二个数和倒数第二个数的和也为，即一共有个，

∴，

∴．

【点评】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解．

18．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：

（1）在处的数是正数还是负数？

（2）负数排在，，，中的什么位置？

（3）第个数是正数还是负数？排在对应于，，，中的什么位置？

【答案】（1）在处的数是正数；（2）和的位置是负数；（3）第个数排在的位置，是负数．

【解析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；

（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；

（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．

【详解】解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；

（2）通过观察不难发现，向下箭头的上方的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，所以，B和D的位置是负数；

（3），

所以第2021个数与-1的符号相同，是负数，排在对应于B的位置．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．

19．现有两种给你钱的方法：第一种方法是每天给你1元，一直给你10年；第二种方法是第一天给你1分钱，第2天给你2分钱，第3天给你4分钱，第4天给你8分钱，第5天给你16分钱，以此类推，给你20天．哪一种方法得到的钱数多？请说明理由．（1年按365天计算）

【答案】第二种，理由见解析

【解析】根据题意，先计算第一种方法给的钱数，即每天的钱数乘以天数；再计算第二种方法给的钱数，但要总结规律可得第n天可得2n－1元钱．即可得总数，然后比较大小即可知哪种方案得到的多．

【详解】解：第一种方法：1×10×365=3650元

第二种方法：1+2+22+23+24+…+219=220－1=1048575分=10485.75元

∵10485.75＞3650

∴第二种方法得到的钱多．

【点评】本题考查了数字的规律，以及有理数的混合运算，涉及到比较数的大小．考查了找数字的规律的问题，做此类问题，需要认真审题，找出规律，从特殊到一般，归纳总结规律，是解决此类问题的关键所在．

20．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：

（1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个．

（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．

【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．

【解析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；

（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解．

【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，

故答案是：15；

（2）不能，理由如下：

第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=，

根据题意，得，

解得：不是整数，不合题意，

所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．

【点评】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键．

21．观察一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7…，将这列数排成下列形式：

（1）在上表中，第12行第6个数是 ；

（2）在上表中，“2021”是其中的第      行，第      个数；

（3）将上表中第i行的最后一个数记为ai，如第1行的最后一个数记为a1，即a1=1，第2行的最后一个数记为a2，即a2=3，如此下去，a3=-6，a4=-10，......，第n行的最后一个数记为xn，则用含n的式子表示|an|为        ；

（4）在（3）的条件下，计算．

【答案】（1）-72；（2）64，5；（3）；（4）

【解析】（1）根据题意可得，第行有个数，然后求出前十一行数的总个数，将其加可得该数的绝对值，再结合原数列中奇数为正偶数为负即可得出结论；

（2）结合（1）中前行数的总个数，因为，进一步可得结论；

（3）根据第n行的最后一个数的绝对值等于前行数的总个数可得结论；

（4）根据（3）中的结论将得出题中相应字母的数值，然后根据=将原式变形整理可得结果．

【详解】解：（1）前行数的总个数＝，

，

∵原数列中奇数为正偶数为负，

∴第12行第6个数是，

故答案为：-72；

（2）根据题意：前行数的总个数为：，

∵，，

∴“2021”是其中的第行，第个数，

故答案为：64；5；

（3）∵第n行的最后一个数的绝对值等于前行数的总个数，

∴1+2+3+......+n，即；

（4）

=．

【点评】本题考查了数字的排列规律，分析数据，总结、归纳数据发现规律，理由规律解决问题时关键，也考查了有理数的混合运算．

22．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：

（1）第4个等式中，k＝　 　；

（2）写出第5个等式：　 　；

（3）写出第n个等式：　 　（其中n为正整数）

【答案】（1）7；（2）s+(s+1)+（s+2）+…+（3s－2）=(2s－1)2；（3）n+(n+1)+（n+2）+…+（3n－2）=(2n－1)2

【解析】（1）根据前三个式子得出规律：结果是奇数的平方即可解答；

（2）根据前三个式子的规律：每一行的第一个数是行数，后面是奇数个连续整数的和，右边是奇数的平方，据此即可写出结果；

（3）根据（2）中规律直接写出结果即可．

【详解】解：（1）由前三个等式知，第4个等式为：4+5+6+7+8+9+10＝72，

∴k=7，

故答案为：7；

（2）由所给等式可知，

第s个等式为：s+(s+1)+（s+2）+…+（3s－2）=(2s－1)2，

故答案为：s+(s+1)+（s+2）+…+（3s－2）=(2s－1)2；

（3）由（2）知，第n个等式为:n+(n+1)+（n+2）+…+（3n－2）=(2n－1)2,

故答案为：n个等式为:n+(n+1)+（n+2）+…+（3n－2）=(2n－1)2．

【点评】本题考查数字类规律探究，理解题意，找到等式的规律是解答的关键．

23．阅读下列材料

∵

……

∴

=

=

=

解答下列问题:

（1）在和式中，第6项为____,第n项是__________.

（2）求的值

【答案】（1）；；（2）

【解析】（1）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可；根据（1）的规律写出第n个等式即可；

（2）运用以上规律，采用拆项抵消法即可解决问题．

【详解】解：（1）根据以上规律知第6项：

；

由题意知，第n项是：

；

（2）

．

【点评】本题考查寻找数字的规律及运用规律计算．掌握寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系是解题关键．

24．阅读下文，寻找规律：

已知：x≠1，观察下列各式：

（x﹣1）（x＋1）＝x2﹣1；

（x﹣1）（x2＋x＋1）＝x3﹣1；

（x﹣1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4﹣1；…

（1）分解因式：x5﹣1＝　 　；

（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1＋⋯＋x＋1）＝　 　；（其中n为正整数）

（3）计算2×（399＋398＋397⋯＋32＋3＋1）＝　 　．

【答案】（1）（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn-1；（3）3100-1

【解析】（1）观察可得规律，直接写出答案；

（2）观察可知：右边项的最大指数等于左边项最大指数，左边的项是对右边项的因式分解，依此规律分别求解．

（3）依据所得规律计算即可．

【详解】解：（1）∵（x-1）（x+1）=x2-1，

（x-1）（x2+x+1）=x3-1，

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；

∴x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1），

故答案为：（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；

（2）（x-1）（xn-1+…+x+1）

=xn-1+1-1

=xn-1，

故答案为：xn-1；

（3）2×（399+398+397+…+32+3+1）

=（3-1）（399+398+397+…+32+3+1）

=399+1-1

=3100-1，

故答案为：3100-1．

【点评】本题主要考查了平方差公式及数字的变化，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．