第07讲 直角三角形

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第07讲 直角三角形       【学习目标】1．掌握直角三角形边角关系，三角形边角满足哪些条件可以判定是直角三角形，并要求灵活运用。2．理解直角三角形全等的判定的内容，可以根据不同的条件选择合适的判定方法，并规范写出步骤。         【基础知识】1.勾股定理及其逆定理   定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。   逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。   2.直角三角形两个锐角之间的关系  定理：直角三角形两个锐角互余。  逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。  3.含30度的直角三角形的边的定理  定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。  逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。  4.命题与逆命题  命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。   5.直角三角形全等的判定定理   定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）6.等积法 直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高乘积的一半  【考点剖析】考点一：直角三角形的判定例1．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C．【解析】①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180，解得：x＝18°，∴∠5＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故选：C．考点二：直角三角形全等判定HL例2．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？【答案】当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等． 考点三：命题与逆命题例3．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　   　．【答案】对应角相等的三角形是全等三角形【解析】命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形          【真题演练】1．下列说法中错误的是（　　）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A∠B∠C，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形2．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　）A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（　　）A．3 B．4 C．5 D．4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（　　）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（　　）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　   　．（不添加字母和辅助线）7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝　   　．8.如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．    9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．        10.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．                           【过关检测】1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）A．20° B．30° C．40° D．50°3．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（　　）A．22.5° B．30° C．25° D．40°5.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是　   　海里．6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　   　．7.命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是　   　命题．（填“真”或“假”）8．如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝　   　时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．9.如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　   　°．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，AM的长为15cm，求BC的长． 11．在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 12.如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．