2023马鞍山高三第一次教学质量监测（一模）（1月）数学PDF版含答案

2023高三第一次教学质量检测

数  学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【答案】3．

14．【答案】，其中（只要符合题意即可）．

15．【答案】．

16．【答案】．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

【解析】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列．

所以，，数列是首项为，公差为的等差数列，

数列的通项公式：．          （3分）

由，，成等差数列，得：，，，有． （5分）

（2）由（1）知：，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列．

．               （10分）

18．（12分）

【解析】（1）选择条件①：

，

所以，于是，又，所以．

选择条件②：

因为，

解得，又，所以．

选择条件③：

则，由正弦定理得：，

即，整理得：，

由得：，又，所以．       （6分）

（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，

由正弦定理，得，

于是，．

化简得，，

因为，所以，，

故的取值范围为．             （12分）

19．（12分）

【解析】（1）证法1：因为底面，所以，

又为正方形，所以，

且，所以平面，

又平面，所以，

因为，为线段的中点，所以，

且，所以平面，

而平面，所以平面平面．        （6分）

证法2：以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得，，，，，，则

，，，．

设平面的法向量为，

由,得,，所以，

令，得，，所以．

设平面的法向量为，

由,得,，所以，

令，得，，所以，

因为，所以，所以平面平面．      （6分）

（2）方法1：因为底面为正方形，所以，

所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设所求角为，

由已知可求得，，，所以，

所以，又，点到平面的距离为2，

设点到平面的距离为，由，得，得，

又，所以．           （12分）

方法2：因为，平面的法向量为，

设直线与平面所成的角为，则．  （12分）

20．（12分）

【解析】（1）随机变量的可能取值为，        （1分）

，，

，，

．              （4分）

随机变量的分布列为：

随机变量的期望．   （6分）

（2），，．

，，． （8分）

根据公式，甲品种的变异系数为，乙的变异系数为，

所以甲品种的成年水牛的变异系数大．           （12分）

21．（12分）

【解析】（1）由题意，，满足，即．

于是，，       （4分）

所以双曲线的渐近线方程为．          （5分）

（2）由题，，直线，直线．

联立直线与直线方程，解得，故．       （7分）

由（1）知双曲线，故，

于是直线，即，即，与双曲线联立得：，即，    （10分）

即，因为，所以直线与双曲线只有一个公共点．                                                                                              （12分）

22．（12分）

【解析】（1）由，得．

令，则，

．

于是在上单增，故．

① 当时，则，所以在上单增，，

此时对恒成立，符合题意；         （4分）

② 当时，，，故存在使得，

当时，，则单减，此时，不符合题意．

综上，实数的取值范围．            （6分）

（2）由（1）中结论，取，有，即．

不妨设，，则，整理得．  （9分）

于是，

即．               （12分）