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江西省九江市2023年第一次高考模拟统一考试 理科数学试题及答案
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这是一份江西省九江市2023年第一次高考模拟统一考试 理科数学试题及答案，文件包含理科数学教师版2023江西省九江市2023年第一次高考模拟统一考试docx、理科数学2023江西省九江市2023年第一次高考模拟统一考试pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，
答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则(A)
A.B.C.D.
解：，，故选A.
2.复数满足，则的虚部为（A）
A.B.C.D.
解:，虚部为，故选A.
3.若实数满足约束条件，则的最大值为(D)
A.B.C.D.
解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数的
最大值在处取得，.故选D.
4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：.某同学
为了验证欧拉的结论，设计了如右算法计算的值来估算，
则判断框填入的是(D)
A.B.
C.D.
解：由程序框图可知，最后一次进入判断框时，，执行最后一次循环
体，，，输出sum，故选D.
5.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（B）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解：若，，则为递减数列.若为递增数列，则，，.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选B.
6.已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为（B）
A.B.C.D.
解:，球的半径，设的外心为，从而，所求距离，故选B.
7.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则(A)
A. B. C. D.
解：由，令得.令，得，，.
因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称.又，图像关于点中心对称，的周期. ，，.故选A.
8.已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（C）
A.B.C.D.
解:与的面积相等，为的中点，故为等腰直角三角形，
,，，即，，，故选C.
9.在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（C）
A.B.C.D.
解：设，连接，平面，即为与平面所成角.设，，，，，故选C.
10.已知为单位向量，则向量与夹角的最大值为(A)
A.B.C.D.
解：设，则，
令，， ，
当且仅当时取等号，向量与夹角的最大值为.故选A.
11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为.记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（D）
A.B.C.D.
解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则
，，
,，，
，故选D.
12.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是(C)
A.B.C.D.
解：由已知得：，，
.
令，则，求导得，在上单调递增，在上单调递减，且当时；当时，.
,，，由及的图象可知，恒成立，即成立，而，，故选C.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列的前项和为，若，，则 7 .
解：依题意得，解得，.
14.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为.
解：.
15.已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，
.若在上存在最大值2，则实数的最小值是.
解：，，，即，又， ，，时，，画图可知：，解得，即.
16.已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为.
解：圆的标准方程为，，抛物线的焦点为，准线方程为，，，即的最小值为.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
中，内角所对的边分别是，已知，.
(1)求角的值；
(2)求边上高的最大值.
解:(1)由，得………1分
由正弦定理，得………3分
又，………4分
即………5分
，………6分
(2)解法一：设边上高为，
由余弦定理,得………7分
即………8分
，，即，当且仅当时，等号成立………10分
………11分
又，，边上高的最大值为………12分
解法二：设边上高为，
由正弦定理得，，………7分
………8分
因为，，
………10分
，，，………11分
又，，边上高的最大值为………12分
18.(本小题满分12分)
如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点.
(1)求证：平面平面；
D
A
B
C
H
D
B
F
C
(2)为线段上一点，若二面角的余弦值为，求线段的长.
解:(1)，，，平面，
平面………1分
又平面，………2分
由直角梯形，，，，，得………3分
又，平面，平面………4分
又平面，平面平面………5分
(2)取的中点，连接，，
B
D
H
F
C
E
z
y
x
，，又平面平面，平面,
为的中点，为的中点，，又，
………6分
故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标
系，则，，，，，
设，则………7分
设平面的一个法向量为，
，，
，，令，得，，即
………9分
平面的一个法向量为………10分
，解得或(舍)………11分
即为的中点，故线段的长为………12分
19.(本小题满分12分)
飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：
终点
后退
3步
甲
乙
前进1步
(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家
再投掷骰子的次数为，分别求出的分布列和数学期望.
解:(1)甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4………1分
若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为………2分
若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为…………3分
若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为………4分
故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为………5分
(2)依题意得，，……7分
，，………10分
，………12分
20.(本小题满分12分)
M
N
A
B
P
F1
F2
xN
yN
ON
如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，
面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与
异于的交点，直线交于两点，证明：为定值.
解:(1)的周长为，由椭圆的定义得，即………1分
又面积的最大值为2，，即………2分
，，，解得………3分
椭圆的标准方程为………4分
(2)由(1)可知，，………5分
设，，，点在曲线上，………6分
依题意，可设直线，的斜率分别为，
则的方程分别为，，
于是………7分
联立方程组，消去整理，得，
，………8分
………9分
同理可得：………10分
，………11分
为定值………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数().
(1)求证：曲线在处的切线斜率恒大于0；
(2)讨论极值点的个数.
解:(1)(), ………1分
令()，则，，
易知在上单调递增，且………2分
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，在上单调递增………3分
，，即曲线在处的切线斜率恒大于0………4分
(2)令(),则，
显然在上单调递增，由，得………5分
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
………6分
①当时，，，，在上单调递增，无极值点………7分
②当时，，
，，所以存在唯一的，使得，即
………8分
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
是的极大值点………9分
又，由(1)知，且当时，，，，，即，，
所以存在唯一的，使得，即………10分
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递曾，
是的极小值点………11分
综上所述，当时，无极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点.
………12分
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值.
解:(1)由，得………1分
由，，得直线的直角坐标方程为………2分
由(为参数)，两式相除得………3分
，整理得曲线的普通方程为()………4分
(2)解法一：直线经过点，的参数方程为(为参数)，
代入中，得………5分
由，得………6分
，………7分
………8分
,，，，
当且仅当时，等号成立………9分
故的最大值为………10分
解法二：直线经过点，………5分
由切割线定理得………7分
，当且仅当为圆的直径时，等号成立………9分
故的最大值为………10分
23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知均为正实数，且.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
解:(1)，
又，，………1分
………2分
，当且仅当时，等式成立………3分
即的最大值为………4分
(2)令，，，则
………5分
，，，，
当且仅当，即时，等式成立………6分
由(1)知，………7分
，………8分
即，当且仅当时，等式成立………9分
故的最小值为………10分1
2
3
1
2
3
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，
答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则(A)
A.B.C.D.
解：，，故选A.
2.复数满足，则的虚部为（A）
A.B.C.D.
解:，虚部为，故选A.
3.若实数满足约束条件，则的最大值为(D)
A.B.C.D.
解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数的
最大值在处取得，.故选D.
4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：.某同学
为了验证欧拉的结论，设计了如右算法计算的值来估算，
则判断框填入的是(D)
A.B.
C.D.
解：由程序框图可知，最后一次进入判断框时，，执行最后一次循环
体，，，输出sum，故选D.
5.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（B）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解：若，，则为递减数列.若为递增数列，则，，.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选B.
6.已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为（B）
A.B.C.D.
解:，球的半径，设的外心为，从而，所求距离，故选B.
7.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则(A)
A. B. C. D.
解：由，令得.令，得，，.
因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称.又，图像关于点中心对称，的周期. ，，.故选A.
8.已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（C）
A.B.C.D.
解:与的面积相等，为的中点，故为等腰直角三角形，
,，，即，，，故选C.
9.在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（C）
A.B.C.D.
解：设，连接，平面，即为与平面所成角.设，，，，，故选C.
10.已知为单位向量，则向量与夹角的最大值为(A)
A.B.C.D.
解：设，则，
令，， ，
当且仅当时取等号，向量与夹角的最大值为.故选A.
11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为.记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（D）
A.B.C.D.
解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则
，，
,，，
，故选D.
12.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是(C)
A.B.C.D.
解：由已知得：，，
.
令，则，求导得，在上单调递增，在上单调递减，且当时；当时，.
,，，由及的图象可知，恒成立，即成立，而，，故选C.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列的前项和为，若，，则 7 .
解：依题意得，解得，.
14.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为.
解：.
15.已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，
.若在上存在最大值2，则实数的最小值是.
解：，，，即，又， ，，时，，画图可知：，解得，即.
16.已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为.
解：圆的标准方程为，，抛物线的焦点为，准线方程为，，，即的最小值为.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
中，内角所对的边分别是，已知，.
(1)求角的值；
(2)求边上高的最大值.
解:(1)由，得………1分
由正弦定理，得………3分
又，………4分
即………5分
，………6分
(2)解法一：设边上高为，
由余弦定理,得………7分
即………8分
，，即，当且仅当时，等号成立………10分
………11分
又，，边上高的最大值为………12分
解法二：设边上高为，
由正弦定理得，，………7分
………8分
因为，，
………10分
，，，………11分
又，，边上高的最大值为………12分
18.(本小题满分12分)
如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点.
(1)求证：平面平面；
D
A
B
C
H
D
B
F
C
(2)为线段上一点，若二面角的余弦值为，求线段的长.
解:(1)，，，平面，
平面………1分
又平面，………2分
由直角梯形，，，，，得………3分
又，平面，平面………4分
又平面，平面平面………5分
(2)取的中点，连接，，
B
D
H
F
C
E
z
y
x
，，又平面平面，平面,
为的中点，为的中点，，又，
………6分
故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标
系，则，，，，，
设，则………7分
设平面的一个法向量为，
，，
，，令，得，，即
………9分
平面的一个法向量为………10分
，解得或(舍)………11分
即为的中点，故线段的长为………12分
19.(本小题满分12分)
飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：
终点
后退
3步
甲
乙
前进1步
(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家
再投掷骰子的次数为，分别求出的分布列和数学期望.
解:(1)甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4………1分
若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为………2分
若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为…………3分
若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为………4分
故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为………5分
(2)依题意得，，……7分
，，………10分
，………12分
20.(本小题满分12分)
M
N
A
B
P
F1
F2
xN
yN
ON
如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，
面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与
异于的交点，直线交于两点，证明：为定值.
解:(1)的周长为，由椭圆的定义得，即………1分
又面积的最大值为2，，即………2分
，，，解得………3分
椭圆的标准方程为………4分
(2)由(1)可知，，………5分
设，，，点在曲线上，………6分
依题意，可设直线，的斜率分别为，
则的方程分别为，，
于是………7分
联立方程组，消去整理，得，
，………8分
………9分
同理可得：………10分
，………11分
为定值………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数().
(1)求证：曲线在处的切线斜率恒大于0；
(2)讨论极值点的个数.
解:(1)(), ………1分
令()，则，，
易知在上单调递增，且………2分
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，在上单调递增………3分
，，即曲线在处的切线斜率恒大于0………4分
(2)令(),则，
显然在上单调递增，由，得………5分
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
………6分
①当时，，，，在上单调递增，无极值点………7分
②当时，，
，，所以存在唯一的，使得，即
………8分
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
是的极大值点………9分
又，由(1)知，且当时，，，，，即，，
所以存在唯一的，使得，即………10分
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递曾，
是的极小值点………11分
综上所述，当时，无极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点.
………12分
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值.
解:(1)由，得………1分
由，，得直线的直角坐标方程为………2分
由(为参数)，两式相除得………3分
，整理得曲线的普通方程为()………4分
(2)解法一：直线经过点，的参数方程为(为参数)，
代入中，得………5分
由，得………6分
，………7分
………8分
,，，，
当且仅当时，等号成立………9分
故的最大值为………10分
解法二：直线经过点，………5分
由切割线定理得………7分
，当且仅当为圆的直径时，等号成立………9分
故的最大值为………10分
23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知均为正实数，且.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
解:(1)，
又，，………1分
………2分
，当且仅当时，等式成立………3分
即的最大值为………4分
(2)令，，，则
………5分
，，，，
当且仅当，即时，等式成立………6分
由(1)知，………7分
，………8分
即，当且仅当时，等式成立………9分
故的最小值为………10分1
2
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2
3
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