2022届江西省九江市高三第一次高考模拟统一考试 数学（文）试题 PDF版

九江市2022年第一次高考模拟统一考试

数学试题（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A

解：∵，故选A．

2．C

解：∵，，

∴，故选C．

3．A 解：，故选A．

4．C 解：抛物线，焦点坐标为，故选 C．

5．B

解：从A，B，C，D，E这五个点中任取三个点，

共有，，，，，，，，，，

共10个基本事件，其中可构成三角形的有：，，，，，，

共6个基本事件，所求概率为，故选B．

6．D

解：将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，令，有，图像的一个对称中心为，故选D．

7．D

解：2008年-2012 年连续4年下降，2012年-2021年连续 9 年上升，A 正确；2008年至2021年，江西省普通高考报名人数的中位数为2015年和2016年的平均数，约为万人，B正确；2021年江西省普通高考报名人数约为49万，2012年约为27万，增长大于80％，C正确；较上一年增长幅度最大的是2014年，D错误，故选D．

8．D

解：织女星的星等为，亮度为，牛郎星的星等为，亮度为，则有，即，故选 D．

9．B

解：当时，，则为等差数列；若为等差数列，由，，，

有，解得或．当时，，此时．故选B．

10．A

解：该三棱锥是棱长为的正四面体，表面积，故选A．

11．D

解：如图，设双曲线E的左焦点为，由对称性，

∴，即，，设点，则有，解得，则，∴，解得，∴，，故选D．

12．A

12．A

解法一：有两个不同的零点，即有两个不同的实根，由可得，即，令，则，∴在上单调递增，在上单调递减，则，又时，，且，画出大致图像，

可知，则．故选A．

解法二：有两个不同的零点，即有两个不同的实根．当时，显然不满足条件．当直线与图像相切时，设切点为，由，则有，故，则．又，即，则，∴．要使得直线与图像有两个交点，则，故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．

解：依题意得，∴，∴．

14．1

解：依题意得，即，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1．

15．2

解法一：由正弦定理得，∴，∴，∴，即，，，即，即．

解法二：由正弦定理得，∴，∴，又∵，∴，∴，即．

16．

解：当点E与或重合时，截面为正或正，周长为；

一般地，设，则，

∴，，

∴，

同理可得：，，

故截面图形的周长为定值．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当时，，，

当时，， ①，   ②

①－②得，即．

又，∴是首项为，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∵，∴，

∴

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设与的交点为M．

∵E为中点，．

又∵，，∴，

则．

在和中，

又∵，∴，即．

又，，，平面，

∴平面．

（Ⅱ）连接，

∵平面，平面，∴，

又∵平面，平面，∴，

又∵，∴平面，

又平面，∴，

在中，，，，

∴，∴，

∴四棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由表得：，

，

∴，

，

∴输出电压U与芯片温度t之间线性回归方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：℃时，,

℃时，，

℃时，，

℃时，，

℃时，，

∴，

∵℃时，，

，

∴该温度传感器工作不正常．

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵，

∴，

∵，∴，

∴曲线在处的切线方程为，

∴，即．

（Ⅱ）解法一：①当时，，满足题意；

②当时，若，则，

令，则，

当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴，故a的取值范围是．

解法二：①当时，

由得，不合题意；

②当时，由得，

令，则，

当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴，故a的取值范围是．

解法三：①当时，，满足题意；

②当时，若，则，

令，，则，

∵，当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴，

∴，故a的取值范围是．

说明：若将已知条件中的“”改为“”，结论仍然成立．证明如下：

当时，上述已证；

当时，∵，∴在R上单调递增，

，

令，，，

∵，∴在上单调递减，

∴，即，

∴在上单调递减，∴，

∴，∴，

又，故存在，使得，

∴当时，，不符题意．

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当垂直于x轴时，最小，

其最小值为，∴，

∴抛物线C的标准方程为．

（Ⅱ）解法一：取，

则点M在直线上，且点O为线段的中点．

∴．

当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为．

则点O到直线的距离，

联立方程，消去y整理得，

则，，

∴，

综上可得，面积的最小值为4．

解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，

由，得点P的坐标为，

则点P到直线的距离为2，

又，所以的面积为，

当不垂直于x轴时，设其斜率为，

则直线的方程为，

设P，A，B的坐标分别为，，，

则，，

由，得，

，

即，故点P在直线上，且此直线平行于直线．

则点P到直线的距离，

联立方程，消去y整理得，

则，，

∴，

综上可得，面积的取值范围为4．

解法三：取，

则点M在直线上，且点O为线段的中点．

∴，

设直线的方程为，则点O到直线的距离．

联立方程，消去x整理得，

则，，

∴，

综上可得，面积的最小值为4．

22．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵曲线的普通方程为，∴，

即曲线的极坐标方程为，

∵曲线的参数方程为（为参数），

∴曲线的普通方程为，

即，即，

即曲线的极坐标方程为．

（Ⅱ）把代入，的极坐标方程得：

，，

∴，

∴，解得或（舍去），

∴，∴，，

∴．

23．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）时，

①当时，，解得，∴

②时，，解得，∴

③当时，，解得，∴，

综上所述，当时，的解集为．

（Ⅱ）．

∴在上单调递增，上单调递减，

又∵，，在单调递减，上单调递增，

∴与图像如图所示，

要使得与的图像可以围成一个四边形，

则，即．

故m的取值范围为．