天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二数学上学期期末线上试题（Word版附解析）

这是一份天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二数学上学期期末线上试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共18小题，每小题5分，共90分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.）
1. 双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出离心率作答.
【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，因此半焦距，
所以双曲线的离心率.
故选：D
2. 抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置．
【详解】由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴，且，即，
故抛物线的准线方程为.
故选：B.
3. 若数列中，，，.则（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式赋值运算求解.
【详解】当时，则，
当时，则.
故选：A.
4. 直线l：被圆O：截得的弦长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算.
【详解】圆O：的圆心，半径，
则圆心到直线l：的距离，
∴弦长为.
故选：A.
5. 已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，，则（）
A. 7B. 4C. 1D. –2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式可求，进而可求结果.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得：，则，即，解得或（舍去），
故.
故选：C.
6. 如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则,
∵，则，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
7. 设是等差数列的前n项和，若，则的值是（）
A. 10B. 20C. 30D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解.
【详解】由题意可得：，则.
故选：B.
8. 已知双曲线（，）的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线渐近线的方程，再利用圆的切线性质列式并求出离心率作答.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，双曲线半焦距为c，
而圆的圆心为，半径为1，依题意，，即有，，
所以该双曲线的离心率.
故选：C
9. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线上，，则点P的横坐标为（）
A. 5B. 8C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的焦点，准线，令点P的横坐标为，
由抛物线定义得，解得，
所以点P的横坐标为6.
故选：D
10. 已知数列满足，则数列的前2023项之和为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列中，，则，
数列的前n项和，
所以数列的前2023项之和.
故选：A
11. 如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：C.
12. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
故选：B.
13. 已知等比数列的前n项和为，若，则的公比（）
A. B. C. 或1D. 或1
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.
【详解】当时，则，不合题意，舍去；
当时，则，解得；
综上所述：.
故选：B.
14. 已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式计算作答.
【详解】数列的通项公式为：，数列的前n项和为，
则有，
所以数列的前100项之和.
故选：A
15. 已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.
【详解】令数列的前n项和为，因为，
则，
则有
两式相减得：，
因此，有，
所以数列的前100项之和为.
故选：B
16. 已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答.
【详解】双曲线H：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，而双曲线的虚半轴长为3，
即，显然四边形为矩形，其面积，解得
所以双曲线的方程为.
故选：B
17. 过抛物线C：（）的焦点F的直线l与抛物线C交于两点A，B，若，则直线l的斜率（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.
【详解】抛物线C：的焦点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，
由消去x并整理得：，设，则，
，由得：，而，
则有，因此，解得，则，
所以直线l的斜率.
故选：A
18. 已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得数列为递增数列，讨论n的奇偶性结合恒成立问题分析求解.
【详解】∵，
∴数列为递增数列，
若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有：
当为奇数时，则，故，即；
当为偶数时，则，故，即；
综上所述：实数c的取值范围是.
故选：B.
二、填空题
19. 已知抛物线（）的焦点坐标为，则p的值为____________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点即可得解.
【详解】解：因为抛物线（）的焦点坐标为，
所以，即.
故答案为：.
20. 已知等差数列的前5项和，则____________．
【答案】11
【解析】
【分析】由等差数列的性质求解，
【详解】由题意得，得，
故，，则，
故答案为：11
21. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵点P在双曲线的右支上，则，
∴.
故答案为：.
22. 已知过抛物线C：的焦点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A、B两点，则________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直接AB的方程，即可计算作答.
【详解】抛物线C：的焦点，则直线，
由得：，
所以.
故答案为：8
23. 已知数列的通项公式为：，，前n项和为，则___________.
【答案】800
【解析】
【分析】利用并项求和法求解即可.
【详解】解：由，
得
.
故答案为：800.
24. 已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：上，，，垂足为D，点O为坐标原点，若，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用和双曲线方程求出坐标，由于双曲线的对称线，取，接着讨论直线斜率不存在和存在时，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，即可得到点的轨迹方程为，故设，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案
【详解】设，因为，故，所以①，
因为在双曲线上，所以②，
由①②可得，由于双曲线的对称性，不妨设，
①直线斜率不存在时，
可设，，
，
，，
又，，
，解得，，
，为垂足，，
②直线斜率存在时，设直线，
整理得，
设，，，，则，，
因为，所以，
得，
所以，
得，即，
当即时，直线过定点，不符合题意；
当即时，直线过定点，
综上，点在以为直径的圆上，，线段的中点为，
所以点的轨迹方程为，
故可设的坐标为，
所以（其中）
所以当时，取得最大值
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
三、解答题（共2题，共30分.）
25. 设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线与椭圆有唯一公共点M（M在第一象限中），与轴交于N，，其中O为坐标原点.
（i）求直线的斜率；
（ii）若，求椭圆的方程.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合椭圆的性质运算求解；（2）先证椭圆在点处的切线为.（i）设点M及直线，根据题意列式运算求，进而可得斜率；（ii）根据题意结合（i）中的坐标求，即可得方程.
【小问1详解】
由题意可得：，则，
∵，则，解得，
∴，
故椭圆的离心率.
【小问2详解】
先证：椭圆在点处的切线为.
证明：∵点在椭圆上，则，即，
∴点在直线上，
联立方程，消去得，
∴，即方程组只有一个解，
故椭圆在点处的切线为.
（i）设点，则直线为，故，
∵，则，
∴，
由题意可得，解得，
故直线：的斜率.
（ii）由（i）可得：，
∵，解得，
∴，
故椭圆方程为.
26. 已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，，证明：.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比q，再求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用等比数列前n项和公式、裂项相消法分组求和作答.
（2）求出，验证当时不等式成立，当时，证得，再利用放缩的方法结合裂项相消法求和推理作答.
【小问1详解】
设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
则，即有，
即，因此，，而，解得，又，
所以数列的通项公式是.
小问2详解】
由（1）知，，当时，，
当时，
，
，
所以数列的前项和.
【小问3详解】
由（1）知，，则，有，，，
当时，，当时，，当时，，
即当时，不等式成立，
当时，
，
则，
，
综上得：，.
【点睛】易错点睛：裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．