【2023高考数学复习强化】专题14 解三角形图形类问题（学生版＋教师版）

专题14  解三角形图形类问题  

【方法技巧与总结】

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

【题型归纳目录】

题型一：妙用两次正弦定理

题型二：两角使用余弦定理

题型三：张角定理与等面积法

题型四：角平分线问题

题型五：中线问题

题型六：高问题

题型七：重心性质及其应用

题型八：外心及外接圆问题

题型九：两边夹问题

题型十：内心及内切圆问题

【典例例题】

题型一：妙用两次正弦定理

例1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，， 求的取值范围.

例2．（2020·北京·北师大二附中高三期中）如图，四边形中，，，设.

（1）若面积是面积的4倍，求；

（2）若，求.

例3．（江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．

(1)求证：；

(2)求．

例4．（广东省2022届高三二模数学试题）如图，已知△ABC内有一点P，满足．

(1)证明：．

(2)若，，求PC．

例5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．

(1)若，求梯形的面积；

(2)若，求．

例6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，．

(1)若，求的面积；

(2)若，求BC．

例7．（2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习（理））的内角的对边分别为，设.

（1）求；

（2）若为边上的点，为上的点，，.求．

例8．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．

(1)若，求△ABC的面积；

(2)若，，，求∠ACB的值．

例9．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形ABCD中，，，且______.

(1)证明：；

(2)若，求四边形ABCD的面积.

例10．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.

(1)若△ABC的面积为，求AC；

(2)若，，求.

例11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当，时，求的面积；

(2)当，时，求.

题型二：两角使用余弦定理

例12．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.

(1)证明：，；

(2)若，，求的最小值.

例13．（2022·湖北武汉·二模）如图，内一点满足.

(1)若，求的值；

(2)若，求的长.

例14．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）如图，在凸四边形中，已知．

(1)若，，求的值；

(2)若，四边形的面积为4，求的值．

例15．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

例16．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．

(1)证明：；

(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．

①； ②．

注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

例17．（2022·重庆·二模）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.

(1)证明：

(2)若，，求的最大值.

题型三：张角定理与等面积法

例18．（广东省2022届高三三模数学试题）已知△ABC中，分别为内角的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.

例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）在中，设角，，所对的边分别为，，，且

(1)求；

(2)若为上的点，平分角，且，，求.

例20．（2022·辽宁·高一期中）如图，在中，，，且点在线段上．

(1)若，求的长；

(2)若，，求的面积．

例21．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在 中，已知.

(1)求的值；

(2)若是的角平分线，求的长．

例22．（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．

(1)求函数的解析式；

(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．

例23．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．

①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．

题型四：角平分线问题

例24．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知的内角的对边分别为，且

(1)求的值；

(2)给出以下三个条件：

条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：

（i）求的值；

（ii）求的角平分线的长.

例25．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)求角；

(2)角的内角平分线交于点，若，，求.

例26．（2022·北京八十中模拟预测）在△ABC中，.

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.

例27．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，D为边BC的中点，的平分线分别交AB，AD于E，F两点．

(1)证明：；

(2)若，，，求DE．

例28．（2022·广东佛山·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且．

(1)求；

(2)若，求．

例29．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．

(1)求；

(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．

题型五：中线问题

例30．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若边上的中线，求的面积.

例31．（2022·全国·模拟预测）在中．．

(1)求角；

(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．

例32．（2022·海南海口·二模）在中，角的对边分别为已知，．

(1)求；

(2)若，边的中点为，求．

例33．（2022·山东·烟台二中模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知的周长为，且，若，求a．

例34．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））在中，分别为三个内角的对边，若．

(1)求角；

(2)若，，D为的中点，求的长度．

例35．（2022·湖北·模拟预测）记的内角的对边分别为，若.

(1)求角；

(2)若，点在线段上，且是线段中点，与交于点，求.

例36．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．

(1)求B；

(2)若，AC的中点为D，求BD的长．

题型六：高问题

例37．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，的面积为4，求BC边上的高．

例38．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，       ．

(1)求角A；

(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．

例39．（2022·北京房山·二模）在中，.

(1)求；

(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.

条件①：；条件②：；条件③：的面积为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

例40．（2022·山东青岛·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角；

(2)若，边上的高为，求边．

例41．（2022·福建·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，.

(1)求角；

(2)若，，求边上的高.

题型七：重心性质及其应用

例42．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P．

(1)的余弦值．

(2)求四边形的面积.

例43．（2022·全国·高三专题练习）G是的重心，分别是角的对边，若，则（       ）

A． B． C． D．

例44．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（       ）

A． B． C．3 D．

例45．（2022·全国·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆的面积为，．

(1)求；

(2)是角的平分线，若，的重心为，求的长．

题型八：外心及外接圆问题

例46．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为___________.

例47．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习）在中，，，，点为的外心，若，则（       ）

A． B． C． D．

例48．（2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.

①为的内心；②为的外心；③为的重心.

(1)求；

(2)若，__________，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

例49．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．

①O为的内心；②O为的外心．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

(1)求A；

(2)若，________，求的面积．

例50．（2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.

（1）求的值；

（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.

例51．（2022·辽宁·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.

(1)若，求外接圆的直径；

(2)若，求的周长.

例52．（2022·四川·树德中学模拟预测（理））已知的数．

(1)求的单调增区间；

(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．

例53．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.

(1)求；

(2)若，的面积为，求的周长.

题型九：两边夹问题

例54．（2021•双流区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是　　

A．2 B． C． D．1

例55．（2020•苏州二模）在中，已知边，，所对的角分别为，，，若，则　　．

例56．（2013•成都模拟）在中，若，则角　　．

例57．（2018•如皋市二模）在中，角、、的对边分别为，，，设是的面积，若，则角的值是　　．

题型十：内心及内切圆问题

例58．（2022·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.

(1)求的大小；

(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.

请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.

①为的外心，；

②为的垂心，；

③为的内心，.

例59．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=

(1)求的值；

(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．

例60．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①：，条件②：，这两个条件中选择一个作为已知.求：

(1)角A；

(2)的内切圆半径r.

例61．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．

(1)求角和边的大小；

(2)求△的内切圆半径．

例62．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，是上一点，平分.

(1)求证：；

(2)若，，，求的内切圆面积.

例63．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在中，分别为角的对边，且.

（1）求角；

（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.

例64．（2022·全国·高三专题练习）已知函数

（1）求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间；

（2）在中，分别是所对的边，当时，求内切圆面积的最大值.

例65．（2022·河南南阳·高三期末（理））在中，.

(1)求A；

(2)若的内切圆半径，求的最小值.

例66．（2022·陕西·模拟预测（文））已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，设O为的内心，则的面积为_________．

例67．（2022·全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC = （       ）

A． B． C． D．