2023年九年级数学中考复习专题：阿氏圆探究及其应用课件PPT

这是一份2023年九年级数学中考复习专题：阿氏圆探究及其应用课件PPT，共20页。

一、模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见得“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般为2类研究，即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连接PA 、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？
【模型解读】最早见“PA+PB”型的问题是在“将军饮马”问题中，故如何确定“k·PB” 的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题中“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3
例2：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值？
例8：在平面直角坐标系中，A（2,0），B（0,2），C（4,0），D（3,2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值为？
例9：如图1，在Rt△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，圆A的半径为6，P是圆A上的动点，连接PB、PC，则3PC+2PB的最小值为？
五.“阿氏圆”实战演练练1：如图，在边长为4的正方形ABCD内，内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，则2PB+PC的最小值为？
练2：如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为圆O，P是圆O上一动点，则2PB+PC的最小值为？