四川省成都市2023届高三数学（理）第一次诊断性检测试题（Word版附解析）

成都市2020级高中毕业班第一次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.满足为虚数单位的复数（    ）

A.    B.

C.    D.

3.抛物线的焦点坐标为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.下图为2012年─2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（    ）

A.2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B.2012年─2021年工业企业利润总额逐年递增

C.2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速

D.2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

5.若实数满足约束条件则的最大值是（    ）

A.2    B.4    C.6    D.8

6.下列命题中错误的是（    ）

A.在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B.对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大

C.线性回归直线恒过样本中心

D.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

7.若函数在处有极大值，则实数的值为（    ）

A.1    B.或    C.    D.

8.已知直线和平面.若，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

9.已知数列的前项和为.若，则（    ）

A.512    B.510    C.256    D.254

10.日光射人海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（    ）（参考数据：，）

A.    B.    C.    D.

11.已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知平面向量满足，则的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.2

第II卷（非选择题，共90分）

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.在公差为的等差数列中，已知，则__________.

14.的展开式中常数项是__________.

15.已知双曲线与圆（为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一个正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为__________.

16.已知函数.有下列结论：

①若函数有零点，则的取值范围是；

②函数的零点个数可能为；

③若函数有四个零点，则，且；

④若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且.

其中所有正确结论的编号为__________.

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.

18.（本小题满分12分）

记的内角所对边分别为.已知.

（1）求的大小；

（2）若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积.

条件①：；条件②：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本小题满分12分）

如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.

（1）设平面平面，证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；

（2）若，求的取值范围.

请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）设点在曲线上，且满足，求点的极径.

（本小题满分10分）选修：不等式选讲

已知为非负实数，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的最小值为6，求的最大值.

成都市2020级高中毕业班第一次诊断性检测

数学（理科）参考答案及评分意见

第I卷（选择题，共60分）

一､选择题：（每小题5分，共60分）

1.C    2.A    3.B    4.C    5.C    6.B    7.D    8.B    9.C    10.A    11.D    12.B.

第II卷（非选择题，共90分）

二､填空题：（每小题5分，共20分）

13.    14.    15.    16.②③④

三､解答题：（共70分）

17.解：（1）由，

解得.

（2）由题意知不低于80分的队伍有支，

不低于90分的队伍有支.

随机变量的可能取值为.

的分布列为

18.解：（1），

由正弦定理知，即.

在中，由，

.

.

.

.

（2）若选择条件①，由正弦定理，得.

.

又，即.

.

.

若选择条件②，由，即.

设.

则.

由，得.

.

.

19.解：（1）平面平面，

平面.

平面，平面平面，

.

由图①，得，

.

平面，

平面.

（2）由题意，得.

又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，

.

设平面的一个法向量为.

令，得.

设与平面所成角为.

直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：（1）由为等边三角形，，得（为半焦距）

，

的周长为，得.

.

椭圆的方程为.

（2）设轴上存在定点，由（1）知.

由题意知直线斜率不为0.设直线.

由消去，得.

显然.

故当，即时，为定值.

存在定点，使得为定值.

21.（1）当时，.

由题意知曲线在处的切点为.

曲线在处的切线方程为.

记.

在上单调递增，在上单调递减.

.即成立.

（2）记.则恒成立.

在上单调递增，

，使得，即.

当单调递减；当单调递增.

由式，可得.

代入式，得.

当时，记.

在上单调递减.

在上单调递减，

在上单调递减.

当时，不合题意；

当时，由（1）知，故，

.

由.故满足.

又在上单调递增，且，

实数的取值范围是.

22.解：（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为

，圆心.

把代入，

化简得圆的极坐标方程为.

（2）由题意，在极坐标系中，点.

点在曲线上，设.

在中，由余弦定理有，

即.

化简得.

解得或.

故或.

点的极径为1或.

23.解：（1）当时，.

当时，，解得；

当时，，此时无解；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

（2）由，

当且仅当时，等号成立.

.

.

由柯西不等式，得.

当且仅当时，即等号成立.

综上，的最大值为.