2021-2022学年四川省仁寿县第一中学高一上学期期末模拟考试数学试题（解析版）

2021-2022学年四川省仁寿县第一中学高一上学期期末模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，进而求出.

【详解】，故

故选：B

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，，解得，

所以的定义域为.

故选：C

3．已知扇形的圆心角，弧长为，则该扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得扇形的半径，进而求得扇形的面积.

【详解】扇形的半径为，

所以扇形的面积为.

故选：C

4．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分情况讨论，当时和当时两种情况讨论求解即可.

【详解】解：已知函数，

当时，，此方程无解；

当时，，解得；

所以，

故选：D

5．若角的终边经过点，且，则m的值为（ ）

A．3 B． C．3或 D．5或

【答案】C

【分析】计算出OP＝r的值，进而根据任意角三角函数的定义，得到答案．

【详解】∵，故，∴，

故选：C

【点睛】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据已知中P点的坐标，计算出OP＝r的值，是解答本题关键．

6．已知是第三象限角，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得，再利用诱导公式化简即可得到答案.

【详解】是第三象限角，若，由，得

故选：C.

7．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在单调递减

【答案】C

【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函数，也不是偶函数.

【详解】为幂函数，故，解得：，

所以，定义域为，不关于原点对称，

所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误，

在上单调递增，D错误.

故选：C

8．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数图象可得函数为偶函数，且，再对各选项一一判断即可；

【详解】解：由函数图象可知，函数关于轴对称，即函数为偶函数，且；

对于A：，满足，又，即为奇函数，不符题意，

对于B：，，，即函数为偶函数，

对于C：，，故C错误；

对于D：，，，故为奇函数，不符题意，

故选：B

9．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称

C．的图象关于点对称 D．的解析式可改写成

【答案】B

【分析】对于A，由，可得，又由于在上不单调，从而可得在区间上也不单调，即可判断为错误；

对于B，因为，取最小值，所以得的图象关于直线对称，从而判断为正确；

对于C，由选项B可得的图象关于直线对称，从而判断为错误；

对于D，由诱导公式可得，从而判断为错误.

【详解】解：对于A，当时，，因为在上不单调，所以在区间上也不单调，故错误；

对于B，当时，，又因为，取最小值，

所以的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，由选项B可知，所以的图象关于直线对称，故错误；

对于D，因为，故错误.

故选：B.

10．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的知识求得正确答案.

【详解】，

，

所以.

故选：A

11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题得，，在上单调递减，得即可解决.

【详解】由题知，

将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

因为，

所以，

因为在上单调递减，

所以，

所以，

所以的最大值为1.

故选：D

12．已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可.

【详解】由题知，

因为函数（其中且）恰有个不同的零点，

所以，即，恰有个不同的解，

令

因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称，

由，

所以函数是周期函数，且最小正周期，

因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称，

当时，由函数的图象与函数的图象知，

函数的图象与函数的图象有且只有2个交点，

即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去；

当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象，

如图所示，由图知，函数图象与函数的图象有6个不同交点，

即方程有6个不相等的实数根，

所以，解得，

故选：B.

二、填空题

13．计算的值为__________

【答案】##

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

14．已知角为第四象限角，且满足，则_________

【答案】

【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果.

【详解】由题意得，

所以，

因为，所以可得 ，

所以，

因为是第四象限角，所以，所以.

故答案为：.

15．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.

【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，

所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，

又由函数，

根据复合函数的单调性的判定方法，

可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，

因为函数在上单调递减，则，

可得实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是__________________.

【答案】

【分析】画出的图象，令，则问题转化为在上有两个解，从而得，解不等式组可求得答案

【详解】的图象如图所示，令，则关于的方程有个不同的实数根，转化为方程在上有两个不同的解，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

三、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

（2）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解指数不等式求得集合，由此求得.

（2）对集合是否为空集进行分类讨论，结合列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】（1），所以，

当时，，

所以.

（2）当，即时，，满足.

当时，要使，

则需，解得.

综上所述，的取值范围是.

19．已知函数（其中）的图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求当时，函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图像得到A=1，，进而求得，再由点在图像上求解；

（2）利用伸缩变换得到，再利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1）解：由图像知：A=1，，则，，

所以，

因为点在图像上，所以，

所以，解得，

因为，所以，

所以；

（2）解：由题意得，

因为，则，

所以，当，即时，有最大值；

当，即时，有最小值

所以，即的值域为.

20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：

（）后还剩百分之几的污染物．

（）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）．

【答案】（1）个小时后还剩的污染物；（2）污染物减少所需要的时间为个小时.

【详解】试题分析：（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出中k的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；

（2）由污染物减少50%，即P=50%P0列等式求解污染物减少50%所需要的时间．

试题解析：

（）由，可知时，，

当时，，

所以，

当时，，

所以个小时后还剩的污染物．

（）当时，有，

解得

，

所以污染物减少所需要的时间为个小时．

点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.

21．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求的解析式；

(2)判断单调性，并用单调性的定义加以证明；

(3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)函数为上的单调增函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数的奇偶性求得.

（2）根据函数单调性的定义证得的单调性.

（3）利用函数的单调性、奇偶性化简题目所给不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，所以.

此时有，是定义在上的奇函数，

（2）在上递增，理由如下：

任取,，

其中，所以，

所以在上递增.

（3），

，

所以对任意恒成立，

，当时等号成立.

所以.

22．已知，．

(1)求的定义域；

(2)当时，对任意的，在上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．

(3)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求实数的取值范围；

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)

(3)

【详解】（1）由题知，

因为，

所以，

当时，解得,

当时，解得,

当时，解得 ，

综上可知，当时，的定义域为,当时，的定义域为,当时，的定义域，

（2）因为当时，对任意的，在上单调递增，

所以，

即，整理得，

因为，

所以，

所以，解得，

所以的取值范围为.

（3）由题知，有唯一解，

所以方程组有唯一解，

所以，

当时，，不符合，

当，即时，，也不符合，

当，且时，方程的解为，

若是方程的解，则解得或，

若是方程的解，则解得，

综上可得得取值范围是.