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    知识必备05 图形及其变换(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学必背知识手册

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    知识必备05图形及其变换(公式、定理、结论图表)

     

    考点一、平移变换

    1. 平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.

    【要点诠释】

    (1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换

    (2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据

    (3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.

    2.平移的基本性质:由平移的概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应角相等.

    【要点诠释】

    (1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征

    (2)“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.

    典例1:2022•大连)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(12),将线段OA向右平移4个单位长度,得到线段BC,点A的对应点C的坐标是  (52) 

    【分析】根据横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减求解即可.

    【解答】解:将线段OA向右平移4个单位长度,得到线段BC,点A的对应点C的坐标是(1+42),即(52),

    故答案为:(52).

    【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移,解题的关键是掌握点的坐标的平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.

    典例22022•毕节市)如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到点A111);把点A1向上平移2个单位,再向左平移2个单位,得到点A2(﹣13);把点A2向下平移3个单位,再向左平移3个单位,得到点A3(﹣40);把点A3向下平移4个单位,再向右平移4个单位,得到点A40,﹣4),…;按此做法进行下去,则点A10的坐标为  (﹣111) 

    【分析】根据题目规律,依次求出A5A6……A10的坐标即可.

    【解答】解:由图象可知,A551),

    将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位,可得A6(﹣17),

    将点A6向左平移7个单位,再向下平移7个单位,可得A7(﹣80),

    将点A7向右平移8个单位,再向下平移8个单位,可得A80,﹣8),

    将点A8向右平移9个单位,再向上平移9个单位,可得A991),

    将点A9向左平移10个单位,再向上平移10个单位,可得A10(﹣111),

    故答案为:(﹣111).

    【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移,规律型问题,解题的关键是学会探究规律,属于中考常考题型.

    考点二、轴对称变换

    1.轴对称与轴对称图形
     轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也叫做这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的对应点,叫做对称点.
     轴对称图形:把一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
    2.轴对称变换的性质
      ①关于直线对称的两个图形是全等图形.
      ②如果两个图形关于某直线对称,对称轴是对应点连线的垂直平分线.
      ③两个图形关于某直线对称,如果它们对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
      ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
    3.轴对称作图步骤
      ①找出已知图形的关键点,过关键点作对称轴的垂线,并延长至2倍,得到各点的对称点.
      ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
    4.翻折变换:图形翻折问题是近年来中考的一个热点,其实质是轴对称问题,折叠重合部分必全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴,互相重合的两点(对称点)连线必被折痕垂直平分.

    【要点诠释】翻折的规律是,折叠部分的图形,折叠前后,关于折痕成轴对称,两图形全等,折叠图形中有相似三角形,常用勾股定理.

    典例3:(2022•资阳)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E是直线BC上一动点.若AB4,则AE+OE的最小值是(  )

    A B C D

    【分析】本题为典型的将军饮马模型问题,需要通过轴对称,作点A关于直线BC的对称点A',再连接A'O,运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值,再运用勾股定理求线段A'O的长度即可.

    【解答】解:如图所示,作点A关于直线BC的对称点A',连接A'O,其与BC的交点即为点E,再作OFABAB于点F

    AA'关于BC对称,

    AEA'EAE+OEA'E+OE,当且仅当A'OE在同一条线上的时候和最小,如图所示,此时AE+OEA'E+OEA'O

    ∵正方形ABCD,点O为对角线的交点,

    AA'关于BC对称,

    ABBA'4

    FA'FB+BA'2+46

    RtOFA'中,

    故选:D

    【点评】本题为典型的将军饮马模型,熟练掌握轴对称的性质,并运用勾股定理求线段长度是解题关键.

    典例42022•黔西南州)在如图所示的RtABC纸片中,∠ACB90°,D是斜边AB的中点,把纸片沿着CD折叠,点B到点E的位置,连接AE.若AEDC,∠Bα,则∠EAC等于(  )

    Aα B90°﹣α Cα D90°﹣2α

    【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出CDBDADED,∠B=∠DCB=∠DCE=∠CEDα,求出∠EAD=∠AED180°﹣2α,∠CAD90°﹣α,即可得出答案.

    【解答】解:∵∠ACB90°,D是斜边AB的中点,

    CDBDAD

    由折叠的性质得:BDED,∠B=∠CED

    CDBDADED

    ∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠CEDα

    ∴∠EDC180°﹣∠DCE﹣∠CED180°﹣αα180°﹣2α

    AEDC

    ∴∠AED=∠EDC180°﹣2α

    EDAD

    ∴∠EAD=∠AED180°﹣2α

    ∵∠Bα,∠ACB90°,

    ∴∠CAD90°﹣α

    ∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α

    故选:B

    【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识,熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.

    考点三、旋转变换
    1.旋转概念:把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
    2.旋转变换的性质
      图形通过旋转,图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等,旋转过程中,图形的形状、大小都没有发生变化.
    3.旋转作图步骤
      ①分析题目要求,找出旋转中心,确定旋转角.
      ②分析所作图形,找出构成图形的关键点.
      ③沿一定的方向,按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
      ④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.

    【要点诠释】

    1.图形变换与图案设计的基本步骤
    ①确定图案的设计主题及要求;
    ②分析设计图案所给定的基本图案;
    ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换,实现由基本图案到各部分图案的有机组合;
    ④对图案进行修饰,完成图案.

    2.平移、旋转和轴对称之间的联系
      一个图形沿两条平行直线翻折(轴对称)两次相当于一次平移,沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转,其旋转角等于两直线交角的2倍.

    典例52022•枣庄)如图,将△ABC先向右平移1个单位,再绕点P按顺时针方向旋转90°,得到△ABC′,则点B的对应点B′的坐标是(  )

    A.(40 B.(2,﹣2 C.(4,﹣1 D.(2,﹣3

    【分析】作出旋转后的图形即可得出结论.

    【解答】解:作出旋转后的图形如下:

    B'点的坐标为(4,﹣1),

    故选:C

    【点评】本题主要考查图形的平移和旋转,熟练掌握图形的平移和旋转是解题的关键.

    典例62022•鞍山)如图,在△ABC中,ABAC,∠BAC120°,点D在直线AC上,连接BD,将DB绕点D逆时针旋转120°,得到线段DE,连接BECE

    1)求证:BCAB

    2)当点D在线段AC上(点D不与点AC重合)时,求的值;

    3)过点AANDEBD于点N,若AD2CD,请直接写出的值.

     

    【分析】(1)作AHBCH,可得BHABBC2BH,进而得出结论;

    2)证明△ABD∽△CBE,进而得出结果;

    3)当点D在线段AC上时,作BFAC,交CA的延长线于F,作AGBDG,设ABAC3a,则AD2a,解直角三角形BDF,求得BD的长,根据△DAG∽△DBF求得AQ,进而求得AN,进一步得出结果;当点DAC的延长线上时,设ABAC2a,则AD4a,同样方法求得结果.

    【解答】(1)证明:如图1

    AHBCH

    ABAC

    ∴∠BAH=∠CAH60°,BC2BH

    sin60°=

    BH

    BC2BH

    2)解:∵ABAC

    ∴∠ABC=∠ACB30°,

    由(1)得,

    同理可得,

    DBE30°,

    ∴∠ABC=∠DBE

    ∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC

    ∴∠ABD=∠CBE

    ∴△ABD∽△CBE

    3)解:如图2

    当点D在线段AC上时,

    BFAC,交CA的延长线于F,作AGBDG

    ABAC3a,则AD2a

    由(1)得,CE

    RtABF中,∠BAF180°﹣∠BAC60°,AB3a

    AF3acos60°=BF3asin60°=

    RtBDF中,DFAD+AF2a+a

    BDa

    ∵∠AGD=∠F90°,∠ADG=∠BDF

    ∴△DAG∽△DBF

    AG

    ANDE

    ∴∠AND=∠BDE120°,

    ∴∠ANG60°,

    ANaa

    如图3

    当点DAC的延长线上时,

    ABAC2a,则AD4a

    由(1)得,

    CE4

    BRCA,交CA的延长线于R,作AQBDQ

    同理可得,

    ARaBR

    BD2a

    AQ

    ANa

    综上所述:

    【点评】本题考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力.

     

     

     

     

     

     

     


     

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