2023高考数学二轮复习（知识点多）专题34 两条直线的位置关系（原卷＋解析版）

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专题34 两条直线的位置关系
【考点预测】
知识点一：两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程
平行
垂直



（斜率存在）
（斜率不存在）
或

或中有一个为0，另一个不存在．
知识点二：三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
【方法技巧与总结】
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根
据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2．点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5．常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6．过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7．斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8．平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9．垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10．过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
【题型归纳目录】
题型一：两直线位置关系的判定
题型二：有关距离的计算
题型三：有关距离的最值问题
题型四：点点对称
题型五：点线对称
题型六：线点对称
题型七：线线对称
题型八：直线系方程
【典例例题】
题型一：两直线位置关系的判定
例1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知直线：，：，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

例2．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，则直线：和直线：的位置关系为（       ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则满足的的值是（       ）
A． B．0 C．或0 D．或0

例4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ）
A． B．2或 C．2 D．

例5．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（       ）
A．△ABC的外心为（－1，1） B．△ABC的顶点C的坐标可能为（－2，0）
C．△ABC的垂心坐标可能为（－2，0） D．△ABC的重心坐标可能为

例6．（2022·全国·高三专题练习（理））直线和直线垂直，则实数__________．

例7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线垂直”的（       ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

例8．（2023·全国·高三专题练习）直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（       ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3

【方法技巧与总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
题型二：有关距离的计算
例9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（     ）
A．1 B． C． D．3

例10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知两点到直线
的距离相等，则（       ）
A．2 B． C．2或 D．2或

例11．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ）
A． B．
C．或 D．或

例12．（2021·全国·高二课时练习）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______．

例13．（2022·全国·高二专题练习）已知的顶点为，则边上的中线长为____．

例14．（2016·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________．

例15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ）
A．4 B． C． D．

例16．（2022·江苏·高二）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（       ）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11

【方法技巧与总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
题型三：有关距离的最值问题
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．8

例18．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（       ）
A． B．
C． D．

例19．（2022·广东潮州·二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）．
A．5 B． C．45 D．

例20．（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．

例21．（2022·全国·高三专题练习）记，，，则的最小值是___________．

例22．（2022·全国·高三专题练习）求函数的最小值为___________．

例23．（2020·全国·高三专题练习（文））已知点，，动点P，Q分别在直线和上，且PQ与两直线垂直，则的最小值为___________．

例24．（2020·上海·复旦附中青浦分校高三开学考试）已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为__________________．

例25．（2022·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句诗说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为．若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为________．

例26．（2021·河北石家庄·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则△周长的最小值为_________．

例27．（2022·全国·高三专题练习）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．

例28．（2022·浙江·高三专题练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（       ）
A． B．9 C．7 D．

例29．（2022·全国·高三专题练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，的最小值为（       ）
A． B． C． D．

例30．（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线的距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．

例31．（2022·全国·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线
交于点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．

例32．（多选题）（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（       ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为

例33．（2021·全国·高三专题练习）已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
（2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．

例34．（多选题）（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1

例35．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的值可以是（　　）
A．6 B．7 C．10 D．15

【方法技巧与总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
题型四：点点对称
例36．（2022·全国·高二）过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（       ）
A． B． C． D．

例37．（2021·全国·高二课时练习）已知，，点是线段的中点，则______．

例38．（2022·内蒙古包头·高一期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．

例39．（2022·海南·高二期末）已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________．

【方法技巧与总结】
求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得
题型五：点线对称
例40．（2021·江西省峡江中学高二期中（理））在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点（如图）．若光线经过的重心，且则_________


例41．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　）
A．（－1，2） B．（2，－1） C．（1，3） D．（3，1）

例42．（2021·全国·高三专题练习）已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2，5），则直线l的方程是（       ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0

例43．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程．

例44．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），求点A关于直线l的对称点A′的坐标．

【方法技巧与总结】
求点关于直线对称的点
方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得
题型六：线点对称
例45．（2022·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程（       ）
A． B．
C． D．

例46．（2022·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（   ）
A． B． C． D．

例47．（2022·全国·高三专题练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．

例48．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
求直线l关于点中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用
，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．
题型七：线线对称
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．

例50．（2021·全国·模拟预测）与直线关于对称的直线的方程为__________．

例51．（2020·全国·高三专题练习（文））直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．

例52．（2022·全国·高三专题练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（       ）
A． B． C． D．

例53．（2021·全国·高二课时练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．

例54．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：，P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离

例55．（2020·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．

例56．（2020·全国·高三专题练习（文））直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为（       ）
A．x－3y＋14＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋2y－6＝0 D．2x－y+8＝0

【方法技巧与总结】
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线
对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型八：直线系方程
例57．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________．

例58．（2022·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）斜率为；
（2）过点；
（3）平行于直线．

例59．（2022·江苏·高二）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程．

例60．（2021·全国·高二专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．

例61．（2021·全国·高一课时练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程．

【方法技巧与总结】
利用直线系方程求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
3．（2022·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（       ）

A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
5．（2023·全国·高三专题练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
6．（2017·河南新乡·高三）设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（       ）
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
7．（2023·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB
的中点为，且满足，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设点P（-4，2），Q（6，-4），R（12，6），S（2，12），则有（       ）
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
10．（2021·湖北襄阳·高三阶段练习）已知曲线的方程为，则（       ）
A．曲线可能是直线 B．当时，直线与曲线相切
C．曲线经过定点 D．当时，直线与曲线相交
11．（2021·重庆一中高三期中）若过点，，，作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于（       ）
A． B． C． D．
12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（       ）
A．定点
B．定点
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为
三、填空题
13．（2022·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率；②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
14．（2022·全国·高二专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．

15．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））不等式的解集为______．
16．（2021·重庆市第七中学校高二阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点，、，的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为_________．
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为．




18．（2021·全国·高三专题练习）已知直线
（1）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（2）直线与直线平行，求与之间的距离．




19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知直线，点．求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线的方程；
（3）直线关于点对称的直线的方程．




20．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）．O为坐标原点，若线段OB交AD于M点，且，求t的值和相应M点的坐标．




21．（2020·全国·高三专题练习（理））已知平行四边形的三个顶点坐标为
（1）求平行四边形的顶点的坐标；
（2）求平行四边形的面积；
（3）在中，求外心的坐标．




22．（2016·江苏常州·高三阶段练习）如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0