2023高考数学二轮复习（知识点多）专题23 数列的基本知识与概念 （原卷＋解析版）

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专题23 数列的基本知识与概念  【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【方法技巧与总结】（1）若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证．（2）在数列中，若最大，则若最小，则【题型归纳目录】题型一：数列的周期性题型二：数列的单调性题型三：数列的最大（小）项题型四：数列中的规律问题题型五：数列的最值问题  【典例例题】
题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（    ）A．1147 B．1148 C． D． 例2．若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（    ）A．2 B．5 C．7 D．8 例3．数列满足，，其前项积为，则等于（    ）A． B． C． D． 例4．若数列满足，且，则的前100项和为（    ）A．67 B．68 C．134 D．167 例5．数列满足若，则等于（    ）A． B． C． D． 例6．已知数列满足，，若且记数列的前项和为，若，则的值为（    ）A． B．3028 C． D．3029 例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列中，，当时，，则（       ）A． B． C．5 D．
例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列中，，，则等于（       ）A． B． C．-1 D．2 题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D． 例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D． 例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（     ）A． B．C． D． 例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D． 例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．
 例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D． 【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断 题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（    ）A． B．1C．2 D．3 例16．已知数列满足 ，，则的最小值为（    ）A．2 -1 B． C． D． 例17．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（        ）A．第3项 B．第4项  C．第5项  D．第6项 例18．已知数列的前n项和数列的前n项和则的最小值____ 例19．数列，，，，中的最小项的值为__________． 【方法技巧与总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（    ）；（    ）． A．35   B．36   C．37   D．38    例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若数对满足，，则数对排在（    ）A．第386位 B．第193位 C．第348位 D．第174位 例22．已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（    ）A． B． C． D． 例23．将正整数排列如下：12    34    5   6
7    8   9   1011    12  13  14   15……则图中数出现在A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列的最小值为（       ）A． B． C． D． 例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，则下列说法正确的是（       ）A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是 例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列中，，（，），则的最小值是（       ）A． B． C． D． 例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D． 例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，，则的最小值为（       ）A． B．C． D． 例29．（2022·全国·高三专题练习）设，则数列中最大项的值为（       ）A． B．5 C．6 D．
例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．  【过关测试】一、单选题1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（       ）A．①② B．②③ C．①④ D．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（       ）A． B．C． D．4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前2022项积为（       ）A． B． C． D．5．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列满足，则（       ）A． B．1 C．2 D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是（       ）A．第2项 B．第3项C．第4项 D．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（     ）A．数列是常数列B．若，则是递增数列C．若，则D．若，则的最小项的值为10．（2022·北京四中三模）已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（       ）A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是180C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为12．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列
中的项的值可能为（       ）A． B．2 C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（       ）A．数列，的一个通项公式是B．数列的图象是一群孤立的点C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列D．数列，，是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知是的前项和，，，则下列选项错误的是（       ）A． B．C． D．是以为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an}满足，，则数列{an}中的项的值可能为（       ）A． B． C． D．16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（       ）A． B． C． D．17．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合中所有的数从小到大排列的数列，即，，，，，…，则下列结论正确的是（       ）
A．第四行的数是17，18，20，24 B．C． D．18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（       ）A．第6行第1个数为192B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列C．第10行前10个数的和为D．数表中第2021行第2021个数为19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（       ）A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（       ）．A．是递增数列 B．是递减数列C． D．数列的最大项为和21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质），则（       ）A．若n为质数，则 B．数列单调递增C．数列的前5项和等于 D．数列为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列满足，则为递增数列”为假命题的数列的通项公式可以为__________．
23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列的通项公式：__________．①；②数列是单调递减数列；③数列是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列中，，则数列中的最大项的________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列中，已知，，，则的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列满足，，则的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．