专题12 几何模型（2）—半角模型-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题12 几何模型（2）—半角模型

【模型介绍】

半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【解题关键】

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法

【典型例题】

【题型一：等边直角三角形中的半角模型】

【模型】如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形。

【结论】结论①： MN=BM+CN；

证明：如下图1，延长AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，

∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，

即∠HBD=∠NCD=90°，

在△HBD和△NCD中：

∴△HBD≌△NCD(SAS)，

∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，

又∠BDC=120°，∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

即∠BDM+∠HDB=60°，

∴∠HDM=∠NDM=60°，

在△HDM和△NDM中：

∴△HDM≌△NDM(SAS)，

∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。

证明完毕！

结论②：如上图1中：△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；

或者说成：3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长。

证明：由结论①知：MN=MB+CN，

【例】如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．

（1）如图①，当时，则的周长为______；

（2）如图②，求证：．

【练1】如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．

【练2】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

【题型二：等腰直角三角形中的半角模型】

【模型】：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°

作法1：将△ABD旋转90°

作法2：分别翻折△ABD,△ACE

【结论】BD2+CE2=DE2（证明与正方形中的半角模型类似）

【例】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．

【练1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．

（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；

（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．

【练2】已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

【题型三：正方形中的半角模型】

【模型】在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

【结论】结论①：图1、2中，EF=BE+FD；

证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，

∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，

且AE=AE，AF=AF’，

∴△FAE≌△F’AE(SAS)，

∴EF=EF’，

又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，

∴F’、B、E三点共线，

∴EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论②：图2中MN²=BM²+DN²；

证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，

∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，

且AM=AM，AN=AN’，

∴△MAN’≌△MAN(SAS)，

∴MN=MN’，

又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，

∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，

∴在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，

即MN²=BM²+BN’²。

结论③：图1、2中EA平分∠BEF，FA平分∠DFE。

证明过程见证明①中时△FAE≌△F’AE即可。

结论④：图1、2中。

证明：如图5中，过A点作AH⊥EF于H点，由结论③可知：∠AEH=∠AEB，

且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，

∴AH=AB=AD，进而可以证明△AHF≌△ADF(AAS)，

∴.

结论⑤：图6中，连接NE，则A、B、E、N四点共圆，△ANE为等腰直角三角形。

证明：如图6中，∵∠EAF=45°=∠NBE，

∴A、B、E、N四点共圆，

由同弧所对的圆周角相等可知：∠AEN=∠ABN=45°，

又已知∠EAN=45°，∴△NEA为等腰直角三角形。

此时会有。

结论⑥：图7中，连接MF，则A、M、F、D四点共圆，△AMF为等腰直角三角形。

证明：如图7中，∵∠EAF=45°=∠BDF，

∴A、M、F、D四点共圆，

由同弧所对的圆周角相等可知：∠AFM=∠ADB=45°，

又已知∠EAN=45°，∴△AMF为等腰直角三角形。

此时会有。

结论⑦：图8中，△AMN∽△AFE，，.

证明：由结论⑥和结论⑤可知：，且∠MAN=∠FEA=45°(公共角)，

∴△AMN∽△AFE，且其相似比为，

∴，

由面积比等于相似比的平方可知：,

∴。

【例】如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上．

（1）与全等吗？为什么？

（2）若，，求的长．

【练1】已知，如图所示，正方形中，，分别在边，上，且，，分别交于，，连，求证：

①    ②.

【练2】请阅读下列材料：

问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？

小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；

（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；

（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．

【练3】如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．

（1）求证：四边形BFGH是正方形；

（2）求证：ED平分∠CEI；

（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为  　　．