热点强化练7　动力学和能量观点分析多过程问题

(时间：40分钟)

1.(多选)(2020·山东淄博市4月第模拟)如图1甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，做出小球所受弹力F的大小随小球下落的位置坐标x变化的关系，如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下说法正确的是(　　)

图1

A.小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度始终减小

B.小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，加速度先减小后增大

C.当x＝h＋2x0时，小球的动能为零

D.小球动能的最大值为mgh＋

答案　BD

解析　小球刚落到弹簧上时，弹力小于重力，小球加速度向下，速度增大，随弹力的增加，加速度减小，当弹力等于重力时加速度为零，此时速度最大；然后向下运动时弹力大于重力，小球的加速度向上且逐渐变大，小球做减速运动直到最低点，则小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故A错误，B正确；根据乙图可知，当x＝h＋x0，小球的重力等于弹簧的弹力，是平衡位置，在x＝h处小球的动能不为零，根据对称性可知，在x＝h＋2x0位置小球的动能也不为零，选项C错误；小球达到最大速度的过程中，根据动能定理可知mg(h＋x0)－mg·x0＝Ekm，故小球动能的最大值为mgh＋，故D正确。

2.(多选)(2020·山东青岛巿一模)如图2(a)，质量M＝4 kg、倾角为θ的斜面体置于粗糙水平面上，质量m＝1 kg的小物块置于斜面顶端，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ。t＝0时刻对物块施加一平行于斜面向下的推力F，推力F的大小随时间t变化的图像如图(b)所示，t＝2 s时物块到达斜面底端。斜面体始终保持静止，重力加速度g＝10 m/s2，在物块沿斜面下滑过程中，下列说法正确的是(　　)

图2

A.物块到达斜面底端时的动能为32 J

B.斜面的长度为8 m

C.斜面体对水平面的压力大小始终为50 N

D.水平面对斜面体的摩擦力水平向右且逐渐增大

答案　AC

解析　物块与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ可知mgsin θ＝μmgcos θ，则物体所受的合力为F，由F－t图像以及动量定理可知t＝×2×8 N·s＝8 N·s，t＝mv，可得v＝8 m/s，则动能Ek＝mv2＝×1×82 J＝32 J，选项A正确；若物块匀加速下滑，则斜面的长度为l＝t＝8 m，而物块做加速度增大的加速运动，则物块的位移小于8 m，即斜面长度小于8 m，选项B错误；滑块对斜面体有沿斜面向下的摩擦力，大小为f＝μmgcos θ＝mgsin θ，垂直斜面的压力大小为mgcos θ，两个力的合力竖直向下，大小为mg，则斜面体对水平面的压力大小始终为Mg＋mg＝50 N，斜面体在水平方向受力为零，则受摩擦力为零，选项C正确，D错误。

3.(多选)(2020·海南省新高考3月线上诊断)如图3所示，半径为R的半圆形光滑轨道ABC固定在光滑水平桌面上，AOC为半圆形轨道的直径，一质量为m的小球放置在A点，某时刻，给小球施加一方向垂直AC、大小为F的水平恒力，在以后的运动过程中，下列说法正确的是(　　)

图3

A.小球能够越过C点到达AC的左侧

B.小球运动过程中的最大速度为

C.小球运动过程中对轨道压力的最大值为3F

D.小球运动过程中对桌面的压力先增大后减小

答案　BC

解析　由动能定理可知，到达C点时小球在力F的方向上的位移为0，力F做功为0，到达C点时速度恰好为0，所以不能到达AC的左侧，故A错误；当小球向右运动的位移最大时，力对小球做正功最多，小球的动能最大，速度最大，由动能定理得FR＝mv2，则得最大速度v＝，故B正确；当小球的速度最大时对轨道的压力最大，由水平方向受力分析可知FN－F＝m，解得FN＝3F，由牛顿第三定律可知小球对轨道压力的最大值为3F，故C正确；小球始终在光滑水平面上运动，对桌面的压力大小不变，故D错误。

4.(2020·海南省高考调研)高铁在改变人们出行和生活方式方面的作用初步显现。某高铁列车在启动阶段的运动可看作在水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，列车的加速度大小为a。已知该列车(含乘客)的质量为m，运动过程中受到的阻力为其所受重力的k倍，重力加速度大小为g。求列车从静止开始到速度大小为v的过程中，

图4

(1)列车运动的位移大小及运动时间；

(2)列车牵引力所做的功。

答案　(1)　　(2)(kg＋a)

解析　(1)由速度位移的关系式得v2＝2ax

解得列车运动的位移为x＝

由速度公式得v＝at

解得t＝

(2)由动能定理得W－kmgx＝mv2－0

解得W＝(kg＋a)

5.(2020·山东临沂市一模)如图5所示，弯成四分之三圆弧的细杆竖直固定在天花板上的N点，细杆上的PQ两点与圆心O在同一水平线上，圆弧半径为0.8 m。质量为0.1 kg的有孔小球A(可视为质点)穿在圆弧细杆上，小球A通过轻质细绳与质量也为0.1 kg小球B相连，细绳绕过固定在Q处的轻质小定滑轮。将小球A由圆弧细杆上某处由静止释放，则小球A沿圆弧杆下滑，同时带动小球B运动，当小球A下滑到D点时其速度为4 m/s，此时细绳与水平方向的夹角为37°，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，cos 16°＝0.96。问：

图5

(1)小球A下滑到D点时，若细绳的张力T＝x(N)，则圆弧杆对小球A的弹力是多大？

(2)小球A下滑到D点时，小球B的速度是多大？方向向哪？

(3)如果最初释放小球A的某处恰好是P点，请通过计算判断圆弧杆PD段是否光滑。

答案　(1)(2.96－0.8x) N　(2)2.4 m/s，竖直向下

(3)光滑

解析　(1)当球A运动到D点时，设圆弧杆对小球A的弹力为FN，由牛顿第二定律有

FN＋Tcos 37°－mgcos 16°＝

解得FN＝(2.96－0.8x) N。

(2)小球A在D点时，小球B的速度

vB＝vAsin 37°＝2.4 m/s，方向竖直向下。

(3)由几何关系有

QD＝2Rcos 37°＝1.6R

h＝QDsin 37°＝0.96R

若圆弧杆不光滑，则在小球A从P点滑到D点的过程中，必有摩擦力对小球A做功。设摩擦力对小球A做功为Wf，对A、B两小球由功能关系得

mgh＋mg(2R－QD)＋Wf＝mv＋mv

代入数据解得Wf＝0

所以圆弧杆PD段是光滑的。

6.如图6所示，AB和CDO都是处于同一竖直平面内的光滑圆弧形轨道，O、A位于同一水平面上。AB是半径为R＝1  m 的圆周轨道，CDO是半径为r＝0.5 m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性挡板(可以把小球弹回不损失能量，图中没有画出)D为CDO轨道的中点。BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接。已知BC段水平轨道长L＝2 m，与小球之间的动摩擦因数μ＝0.2。现让一个质量为m＝1 kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下(取g＝10 m/s2，不计空气阻力)。

图6

(1)当H＝2 m时，求此时小球第一次到达D点对轨道的压力大小；

(2)为使小球仅与弹性挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，求H的取值范围。

答案　(1)84 N　(2)0.65 m≤H≤0.7 m

解析　(1)设小球第一次到达D点的速度为vD，对小球从静止释放到D点的过程，根据动能定理有

mg(H＋r)－μmgL＝mv

在D点轨道对小球的支持力FN提供向心力，则有FN＝m，联立解得FN＝84 N，由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小为FN′＝FN＝84 N。

(2)为使小球仅与挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，H最小时必须满足能上升到O点，则有：mgHmin－μmgL＝mv，在O点由牛顿第二定律有mg＝m，代入数据解得Hmin＝0.65 m

仅与弹性挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，H最大时，与挡板碰后再返回最高能上升到D点，则mg(Hmax＋r)－3μmgL＝0，代入数据解得Hmax＝0.7 m，故有0.65 m≤H≤0.7 m。

7.(2020·湖南衡阳市第一次联考)如图7所示，由两个半径均为R的四分之一圆弧细管道构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2水平，轻弹簧左端固定在竖直板上，右端与质量为m的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径，小球大小可忽略)，宽和高均为R的木盒子固定于水平面上，盒子左侧DG到管道右端C的水平距离为R，开始时弹簧处于锁定状态，具有的弹性势能为4mgR，其中g为重力加速度。当解除锁定后小球离开弹簧进入管道，最后从C点抛出。(轨道ABC与木盒截面GDEF在同一竖直面内)

图7

(1)求小球经C点时的动能；

(2)求小球经C点时对轨道的压力；

(3)小球从C点抛出后能直接击中盒子底部时，讨论弹簧此时弹性势能满足什么条件。

答案　(1)2mgR　(2)3mg，方向竖直向上

(3)mgR＜Ep＜mgR

解析　(1)对小球从释放到C的过程，应用动能定理可得4mgR－2mgR＝EkC－0，

解得小球经C点时的动能EkC＝2mgR。

(2)由(1)可知C点小球的速度 vC＝＝2

在C点，由牛顿第二定律可得

mg＋FN＝m，解得FN＝3mg，方向竖直向下

由牛顿第三定律可知在C点时小球对轨道的压力大小也为3mg，方向竖直向上。

(3)当小球恰从G点射入盒子中，则由平抛运动规律可得

竖直方向R＝gt

水平方向R＝vC1t1

联立解得vC1＝

小球从释放到C点的过程Ep1－2mgR＝mv－0

得Ep1＝mgR

当小球直接击中E点时，弹性势能是符合条件的最大值，由平抛运动规律可得

竖直方向2R＝gt

水平方向2R＝vC2t2

联立解得vC2＝

小球从释放到C点的过程Ep2－2mgR＝mv－0

得Ep2＝mgR

综上符合条件的弹性势能应满足mgR＜Ep＜mgR。