山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高二上学期11月期中检测数学试题含答案

山西2021~2022年度高中教育发展联盟

高二11月份期中检测

数学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：选择性必修一。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为

A.-5   B.-3   C.1   D.7

2.抛物线的焦点坐标为

A.   B.   C.   D.

3.过点且方向向量为的直线方程为

A.   B.

C.   D.

4.已知双曲线和圆，则圆心C到双曲线渐近线的距离为

A.   B.   C.   D.

5.如图，在四棱锥中，平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，，，，，为等腰直角三角形，点F在棱上，若点P为DB的中点，且平面，则点F的坐标为

A.   B.   C.   D.

6.已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则的值为

A.   B.6   C.   D.

7.已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为

A.5   B.   C.10   D.14

8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知A，B是平面上的两定点，，动点满足，，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知直线：与直线：的交点在第三象限，则实数k的值可能为

A.   B.   C.   D.2

10.已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是

A.的面积为

B.若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9

C.点P的纵坐标为

D.内切圆的面积为

11.如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是

A.当，时，点D到直线PQ的距离为

B.线段PQ的最小值为

C.平面平面BCD

D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为

12.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是

A.当AB过焦点F时，为等腰三角形

B.若，则直线AB的斜率为

C.若，且，则

D.若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线过椭圆的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为____________.

14.在直三棱柱中，，，，则点C到平面的距离为____________.

15.若圆上，有且仅有一个点到的距离为1，则实数的值为____________.

16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，A是C的左顶点，点P在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，顶点A的坐标为，AB中点D坐标为.

（1）若AC边所在的直线方程为，求AC边高线所在的直线方程；

（2）若的面积为，求点的轨迹方程.

18.（12分）

已知圆：，直线：.

（1）过点，作圆的切线，求切线的方程；

（2）判断直线与圆是否相交，若相交，求出直线被圆截得的弦长最短时m的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.

19.（12分）

如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点E为棱的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值.

20.（12分）

已知斜率为2的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若.

（1）求抛物线方程；

（2）若O为坐标原点，C，D为抛物线上异于原点O的不同的两点，记OC的斜率为，OD的斜率为，当时，求证：直线CD过定点.

21.（12分）

如图所示，在五面体ABCDE中，为正三角形，四边形ACDE为直角梯形，其中，，，平面平面ABC，，动点F在棱AB上，且.

（1）当时，求证：平面EFC；

（2）是否存在点F，使得EF与平面CBE所成角的正弦值为?若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.

山西2021~2022年度高中教育发展联盟高二11月份期中检测·数学

参考答案、提示及评分细则

1.C  2.A  3.B  4.A  5.D  6.A  7.D  8.C  9.BC  10.AD  11.BCD  12.ACD

13.    14.    15.4或6    16.3

17.解：（1）∵D为AB中点，∴点B的坐标为.

又∵

∴AC边上高线所在直线的斜率为1

∴AC边上高线所在的直线方程为.

（2）∵，∴

又∵

∴点C到AB的距离为1

∴所有到AB距离为1的点在与AB平行且距离为1的直线上，

又∵AB方程为

∴设所求直线为.

则

解得.

∴点C所在的轨迹方程为或.

18.解：（1）当斜率存在时，设切线方程为

∴

解得

∴.

当斜率不存在时，方程为与圆相切满足条件..

∴切线方程为或.

（2）直线：

∴直线过的交点

又∵满足

∴点在圆的内部

∴直线与圆相交

又，

∴最短弦的斜率为-1，即，，

∴最短弦的方程为，

∴

∴最短弦长为.

19.（1）证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形

又∵

∴为等边三角形

∴，

又∵，∴，∴

又∵四边形为矩形

∴

又∵

∴平面

又∵平面

∴平面平面.

（2）解：以B为原点BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，，

设平面的法向量为.

则即

∴

又∵平面ABE的法向量为

∴

∴平面ABE与平面夹角的余弦值为.

20.（1）解：设直线的方程为：，，

则得

∴

∴

解得：

∴抛物线方程为

（2）证明：设，

当直线CD斜率存在时，方程为：

则解得

∴

又∵，

∴，∴，解得，

∴，∴直线过点

当斜率不存在时设，

又∴，解得，代入抛物线方程的，此时CD方程为，也过点.

综上所述，直线CD恒过定点.

21.（1）证明：如图，连接AD交CE于H，

∵，∴

又∵，∴

又∵平面EFC，平面EFC，

∴平面EFC

（2）解：∵平面平面ABC，平面平面，，平面ACDE，

∴平面ABC.

取AC中点O为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，过点O且平行AE的直线为z轴，

建立空间直角坐标系如图所示，，，，，，

设平面的法向量为

则即

∴，

又∵

∴

解得或，又∵，∴，

∴当F为靠近B的4等分点时，EF与平面CBE所成角的正弦值为.

22.解：（1）设点的坐标为，

∵，

∴点P在线段QF的垂直平分线上，

∴，

又∵，∴

∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，

∴，

∴椭圆方程为

（2）设直线AB方程为，，

则解得

∴

，解得

∴

∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为

令，得，∴，，

∴

∴

设则

∴

当且仅当即时等号成立，有最大值此时，满足，

所以直线AB的方程为或.