2022-2023学年辽宁省凌源市高二上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省凌源市高二上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算可得答案.

【详解】.

故选：B

2．古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（    ）

A．30 B．120 C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程求出，再提供的椭圆面积公式求出椭圆的面积.

【详解】因为，，所以椭圆的面积为．

故选：C

3．已知，，若，则（    ）

A． B．4 C．3 D．

【答案】B

【分析】由平面向量的坐标运算求解，

【详解】因为，所以，所以.

故选：B

4．若双曲线（）的渐近线与圆相切，则m=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的标准方程，求得渐近线方程，根据圆的一般方程，利用配方法，整理标准方程，求得圆心与半径，结合直线与圆相切的性质，建立方程，可得答案.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由圆，整理可得，可得圆心为，半径为2，

则，得．

故选：B.

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由对数的运算性质求解，

【详解】因为，所以.则，

所以.

故选：B

6．若一个长方体的长､宽､高分别为4，，2，且该长方体的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的表面积公式，即得解.

【详解】由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心即为体对角线交点，

半径为体对角线的一半，即球的半径，

则球的表面积.

故选：D

7．函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据函数图象得到，再根据平移变换求解即可.

【详解】由图知：，则，

，所以，则，即.

因为，所以，，

即，.

因为，得，所以.

所以

.

故选：C

8．已知函数为奇函数，当时，，则（    ）

A．25 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】根据函数为奇函数，可得的图象关于点对称，结合函数在区间的解析式，即可求解的值.

【详解】解：因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，

所以．

因为，所以，所以．

故选：D.

二、多选题

9．已知双曲线C：，则下列选项中正确的是（    ）

A．C的焦点坐标为 B．C的顶点坐标为

C．C的离心率为 D．C的虚轴长为

【答案】BCD

【分析】由题意可得，，，根据焦点在y轴上，逐一判断即可.

【详解】解：因为，，

所以，，．

因为焦点在y轴上，

所以C的焦点坐标为，故A错误；

顶点为，故B正确；

离心率为，故C正确，

虚轴长为，故D正确．

故选：BCD.

10．如图，在正三棱柱中，若，则（    ）

A．三棱锥的体积为

B．三棱锥的体积为

C．点C到直线的距离为

D．点C到直线的距离为

【答案】AC

【分析】利用等体积法和三棱锥的体积公式计算即可判断AB；建立如图空间直角坐标系，求出在上的投影的长度，利用向量法求出点线距即可判断CD.

【详解】三棱锥即三棱锥，其体积为，故A正确，B不正确；

取AC的中点O，则，，

以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，

则，，，所以，，

所以在上的投影的长度为，

故点C到直线的距离，故C正确，D错误.

故选：AC.

11．已知函数（    ）

A．

B．与均无零点

C．若在上单调递增，则无最小值

D．若的取小值为，则的值域为

【答案】BCD

【分析】当时，，所以错误；当时，与均无零点，所以B正确；，所以无最小值，所以C正确；，的值域为，所以D正确．

【详解】，

当时，，，所以A错误．

当时，与均无零点，所以B正确．

若在上单调递增，则，即，

所以无最小值，所以C正确．

若的最小值为，则，即，

此时在上的值域为，在上的值域为，的值域为，所以D正确．

故选：BCD

12．已知直线，则（    ）

A．直线恒过点

B．点到直线的最大距离为．

C．直线的斜率可以为任意负数

D．当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4

【答案】ABD

【分析】根据含参直线方程可确定直线的定点来判断A；根据直线过定点可以确定点点到直线的最大距离来判断B；求解直线的斜率存在时，求直线斜率，即可判断C；根据，可确定直线斜率存在以及直线斜率的范围，即可确定直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值来判断D.

【详解】解：对于A，直线，令得，则直线晅过点，故A正确；

对于B，由于直线过定点，则当时，到直线的距离最大，且最大值为，故B正确；

对于C，当时，直线的斜率为，故C错误；

对于D，当时，直线的斜率，由于直线过的定点为，则可设直线的方程为，直线与坐标轴所围成的三角形面积为，则，即，当且仅当，即时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为______．

【答案】

【分析】利用待定系数法，代入已知点，建立方程，根据准线的公式，可得答案.

【详解】设这条抛物线的方程为，由图可知B点坐标为（3,0.5），所以，得，故这条抛物线的准线方程为．

故答案为：.

14．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.

【答案】17

【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个数据的气温，即可求解.

【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：

12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，

，

这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，

即17℃.

故答案为：.

15．已知圆：与圆：相离，则整数m的一个取值可以是______．

【答案】2##3##4

【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列出不等式，求出整数m的值.

【详解】解：由题意

在圆：与圆：中，

圆的圆心为，圆的圆心为，圆的半径为3，圆的半径为，

∴两圆圆心的距离为．

∴，解得，

∴整数m的取值可能是2，3，4．

故答案为：2或3或4.

四、解答题

16．某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：

(1)从这800名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率；

(2)该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这5人中随机选出2人发一份小礼品，求这2人恰好是一男一女的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.

（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率.

【详解】（1）依题意，从这800名学生中随机抽取一人，

该学生是女同学且对食堂满意的概率为.

（2）不满意的男女生比例为，

用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，

则男生抽取人，女生抽取人，

男生记为，女生记为，

在这5人中随机选出2人，基本事件为，

，共个，

其中一男一女的为：，，共个，

所以在这5人中随机选出2人发一份小礼品，这2人恰好是一男一女的概率为.

17．在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是AD，的中点．

(1)证明：MN与平面BCN不垂直．

(2)求MN与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立坐标系，利用向量证明与平面内的一条直线不垂直即可；

（2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法进行求解.

【详解】（1）解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．

（1）证明：因为，，所以，但，

所以MN与平面BCN不垂直．

（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，得．

设MN与平面所成的角为θ，则，

故MN与平面所成角的正弦值为．

18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角A；

(2)若，D为BC边的中点，，求a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，

（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，

【详解】（1）由题意得，

所以，

所以.因为，所以.

因为，所以.

（2）由，可得.

因为，，，所以，解得.

因为，所以.

19．已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线l交抛物线C于M，N点，且MN的中点坐标为，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用焦半径列出方程，求出，从而得到抛物线方程；

（2）先得到直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，，两式相减，结合点MN的中点坐标为，求出直线l的方程，联立抛物线方程后得到，及直线l与y轴的交点为，从而求出的面积.

【详解】（1）因为，所以，

故抛物线C的方程为；

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，，

则，

两式相减得，整理得．

因为MN的中点为，所以，

所以直线l的方程为，即．

联立方程组，得，

则．

因为直线l与y轴的交点为，

所以的面积为．

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，M为PD的中点．

(1)证明：平面PBC．

(2)求平面PBC与平面PCD的夹角．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 取PC的中点为N，连接MN，NB，利用中位线证明且，所以四边形MNBA为平行四边形，得到，再利用线面平行得判定即可证明；

(2) 过A作，垂足为H，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PCD的法向量，代入向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：取PC的中点为N，连接MN，NB，

则且．

因为且，所以且，

所以四边形MNBA为平行四边形，所以．

又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．

（2）过A作，垂足为H，则．

如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，．

设平面PBC的法向量为，因为，，所以令，得．

设平面PCD的法向量为，因为，，所以令，得．

设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则，

所以平面PBC与平面PCD的夹角为．

21．已知椭圆W：的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为．

(1)求椭圆W的方程；

(2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接交椭圆W于点C，若，求直线AC的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；

（2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.

【详解】（1）由题意知，设过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，则，

解得，所以，所以．

因为椭圆W的离心率，所以．

因为，所以，，故椭圆W的方程为．

（2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为，，，

联立方程组消去x并整理得，

所以，，

所以．

因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，

所以点B到直线AC的距离为2d，

所以．

由，解得，所以，故直线AC的方程为，

即或．

五、双空题

22．在长方体中，，，，则______；点C到平面的距离为______．

【答案】         

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解出答案.

【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，，

所以，，，，．

因为，，

所以．

设平面的法向量为，因为，，

所以,令，得．

因为，所以点C到平面的距离．

故答案为：，.