2022-2023学年河南省洛阳市高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年河南省洛阳市高二上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．直线在y轴上的截距是（    ）

A．5 B．－5 C．10 D．－10

【答案】D

【分析】根据截距的概念结合条件即得.

【详解】因为直线，

令，可得，

所以直线在y轴上的截距是.

故选：D.

2．已知，，则线段AB的长为（    ）

A．39 B．7 C．5 D．

【答案】B

【分析】根据空间两点间距离公式即得.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

3．已知直线：与：垂直，则实数a的值为（    ）

A．0或3 B．0或-3 C．-3 D．0

【答案】B

【分析】利用两直线垂直的充要条件，列式计算作答.

【详解】因直线：与：垂直，则，解得或，

所以实数a的值为0或-3.

故选：B

4．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（    ）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【答案】C

【分析】在空间向量中,任意三个不在同一平面内且两两不共线的向量,可表示空间中的任意向量,从而可解.

【详解】对A选项，，故三向量共面，错误，

对B选项，，故三向量共面，错误，

对C选项，若向量共面,则无解,

故向量不共面,故C正确,

对于D选项，，故三向量共面，错误.

故选：C.

5．已知直线 l：和圆C：交于A，B两点，则弦 AB所对的圆心角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据弦长公式可得弦长，根据的边长关系，确定圆心角的大小.

【详解】由圆C：，可得，圆心，半径为，

又直线l：，

所以，又，

所以，圆心角，

即弦 AB 所对的圆心角的大小为.

故选：C.

6．已知四面体，分别是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用向量加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】

分别为中点，.

故选：A.

7．已知，当变化时，直线过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将直线方程整理为，由此可得方程组，解方程组即可求得定点坐标.

【详解】由得：，

由得：，直线恒过定点.

故选：A.

8．已知直线AB的方向向量为，平面的法向量为，给出下列命题：

①若则直线．

②若，则直线．

③记直线AB与平面所成角的为，则．

④若，，则点C到平面的距离．

其中真命题的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据空间向量证明线面位置关系，空间向量法表示线面夹角正弦值公式以及空间向量计算点到平面的距离公式即可判断.

【详解】对A选项，若，有可能直线平面内，故错误，

对B选项，符合利用空间向量判定线面垂直关系，由线线平行推出线面垂直，故B正确，

对C选项，因为可能为负值，而，故错误，其正确形式应为，故C错误，

对D选项，根据C选项公式，故，故D正确.

故真命题有2个，

故选：C.

9．圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由两圆半径相同可得圆的方程.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

设圆心关于的对称点为，则，解得：，

所求对称圆的圆心为，半径为，

所求对称圆的方程为：.

故选：B.

10．已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】由空间向量四点共面定理可得，然后利用一元二次函数的图像和性质求最小值即可.

【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，，

所以，即，

所以，

由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值，

所以，

故选：A

11．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一：

如图，设直线在平面的射影为，

作于点G，于点H，连接，

易得，又平面，则平面，又平面，则，

有

故．

已知，

故为所求．

解法二：

如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则，

所以，

设平面的法向量，则

令，则，所以，

所以．

设直线与平面所成角为，所以，

所以．

故选B．

12．若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出，可得线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆，即可得出结论.

【详解】由题意,,

，，，

线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆，

线段的中点的轨迹方程是：.

故选：D.

二、填空题

13．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______．

【答案】27

【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得，进而求得，即得.

【详解】∵，

∴，

∴，

故，解得，

∴．

故答案为：.

14．已知，两点到直线l：的距离相等，则______．

【答案】1或

【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解可得.

【详解】由题意得，即，

所以或，

解得或．

故答案为：1或.

15．在棱长为的正方体中，是底面内动点，且平面，当最大时，三棱锥的体积为______．

【答案】

【分析】根据面面平行的判定可证得平面平面，由此可得点轨迹为线段；根据，可知当时，最大；利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】

，平面，平面，平面，

同理可得：平面，

又，平面，平面平面，

平面平面，点轨迹为线段，

平面，平面，，

，则当最小时，最大；

四边形为正方形，当，即为中点时，最小；

当为中点时，最大，

平面，平面，    ，

，平面，平面，

，，

.

故答案为：.

16．方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由根式有意义解得方程的定义域，将方程两边平方，利用一元二次函数的判别式和图像求解即可.

【详解】由解得，

即的根在内，

因为，所以，

方程两边平方，

整理得在有两个不相等实数根，

所以，

由一元二次函数的图像可得，

解得，

综上，

故答案为：

三、解答题

17．已知的三个顶点是，，．

(1)求边的垂直平分线的方程；

(2)求经过两边中点的直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据斜率公式可求得，由中点坐标公式可求得中点坐标，根据垂直关系可确定所求直线斜率为，根据直线点斜式方程可求得结果；

（2）利用中点坐标公式可求得中点坐标，由直线两点式方程可求得结果.

【详解】（1），中点为，

边的垂直平分线方程为：，即.

（2）中点为，中点为，

经过两边中点的直线方程为：，即.

18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，．

(1)求的长；

(2)求异面直线与所成的角．

【答案】(1)

(2)90°．

【分析】(1)因为三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量，平方即求得模长.

(2) 求出两条直线与的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.

【详解】（1）设，，，构成空间的一个基底．

因为，

所以

，

所以．

（2）又，，

所以

∴

∴异面直线与所成的角为90°．

19．已知平面直角坐标系中有，，，四点．

(1)判断这四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由；

(2)一条光线从点射出，经过x轴反射后与的外接圆相切．求反射光线所在直线的方程．

【答案】(1)A，B，C，D四点共圆，；

(2)或．

【分析】（1）利用待定系数法可得经过A，B，D三点的圆的标准方程，然后判断是否在圆上，进而即得；

（2）由题可得点关于x轴对称的点，过向圆所作的两条切线所在直线即为所求，然后利用点到直线的距离公式即得.

【详解】（1）设经过A，B，D三点的圆的标准方程是，

将A，B，D三点坐标分别代入，得，∴，

所以经过A，B，D三点的圆的标准方程是，

将代入上面方程左边得，

所以点C在经过A，B，D三点的圆上，即A，B，C，D四点共圆，

过A，B，C，D四点的圆的方程为；

（2）根据光的反射原理，作与点关于x轴对称的点，从M点发出的光线经x轴反射后，反射光线所在直线就是由向圆所作的两条切线所在直线，

由题可知：，

则切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，

所以，解得或，

所以反射光线所在直线的方程为或，

即或．

20．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．

(1)求证：；

(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得；

（2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.

【详解】（1）在直角梯形ABCD中，，，，

所以，，

∴，

∴，

∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，

∴平面ABD，又∵平面ABD，

∴；

（2）由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，

由条件可得，，，，

∴，，

设平面ACD的法向量，则，，

∴，即，

令，可得平面ACD的一个法向量为），又，

∴点M到平面ACD的距离为．

21．有一种大型商品，，两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍.已知，两地相距40公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和商品价格的总费用较低.求，两地的售货区域的分界线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

【答案】见解析

【分析】本题合理建立直角坐标系，设出点，根据题意列出不等式，求出与阿氏圆模型相关的圆的方程即可.

【详解】以、所确定的直线为轴,的中点为坐标原点,建立如图

所示的平面直角坐标系.易知，

设某地的坐标为,且地居民选择地购买商品便宜,并设地的运费为元地的运费为元.因为地居民购货总费用满足条件:价格地运费价格地的运费.

即:.

,

化简整理得.

所以以点为圆心,为半径的圆是两地购货的分界线.

圆内的居民从地购货便宜,圆外的居民从地购货便宜,圆上的居民从、两地购货的总费用相等.因此可随意从、两地之一购货.

22．如图，长方体中，，点E在棱上且平面．

(1)求的值；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）建立空间坐标系，设，根据可求出的值，进而即得；

（2）求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式即得.

【详解】（1）如图，以D为原点，以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，设，

则，，，，，

∴，，，

∵平面，平面，

∴，

∴，解得，即，

∴，

∴；

（2）由（1）可知为平面的法向量，

又，，

设平面的法向量为，则，即，

令，可得，

∴，

∴平面与平面夹角的余弦值为．