2022-2023学年福建省晋江市第一中学高二上学期期中考试数学试题

这是一份2022-2023学年福建省晋江市第一中学高二上学期期中考试数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

晋江一中2022年秋季高二年期中考试
数 学 试 题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 直线的频斜角为（）A. 150°B. 120°C. 60° D. 30°
2. 设，向量，，，且，，则（）A. B. 3 C. D. 4
3. 如果向量，，共面，则实数的值是（）
A. B. C. D.
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（）
AB.
C. D.

5. 已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
6.已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)A．± B．± C．± D．±2
7. 设是双曲线一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为( )A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（）A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9. 如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（）
A. 椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为D.椭圆的一个方程可能为
10. 已知直线：，直线：，则下列命题正确的有（）
A. 直线恒过点B. 存在m使得直线的倾斜角为
C. 若，则或D. 不存在实数m使得
11. 以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）
A. 双曲线与椭圆有相同的焦点
B. 在平面内，设、为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆
C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有且仅有3条
12. 棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，若，则下列说法中正确的有（）
A. 三棱锥的体积为定值B. 二面角的正切值的取值范围为
C. 当时，平面截正方体所得截面为等腰梯形
D. 当时，EG与平面所成的角最大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.
14.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　. 
15. 已知抛物线方程为y2＝﹣4x，直线l方程为2x+y﹣4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为．
16. 已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则则___________.
四、解答题（17题10分，其他各题每题12分）
17. 已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.



18. 已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．



19. 已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.





20. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．










21. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.








22. 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
















晋江一中2022年秋季高二年期中考试
数 学 试 题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的频斜角为（）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
【答案】D
【详解】设直线的倾斜角为，则，而，故，
故选：D.
2. 设，向量，，，且，，则（）A. B. 3 C. D. 4
【答案】C
【详解】解：，，得，
又，则，得，，
，.
故选：C.
3. 如果向量，，共面，则实数的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由于向量，，共面，
设，可得，解得.
故选：B.
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（）

AB. C. D.
【答案】B
【详解】解：在平行四边形ABCD中，，在中，
，
，，，
在中，．故选：B．
5. 已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【详解】圆由题意可得
最长弦为直径等于6，最短的弦由垂径定理可得，
则四边形的面积为.
故选：D.
6．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)
A．±B．±C．±D．±2
【答案】A　【解析】由题可知，不妨设A，B两点的坐标分别为(－c，－kc)，(c，kc)，∵点A，B均在椭圆上，∴＋＝1.又椭圆的离心率为，∴＝，∴＝＝＝.∴＋＝1，解得k＝±.
7. 设是双曲线一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，则，且，
又是的中点，则是的中位线，则，且，
由双曲线定义可知，
由勾股定理知，，，
即，渐近线方程为，所以渐近线方程为．
故选C.

8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】在椭圆中，，，，，
因为，且点为第一象限内的点，则，可得，
翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，

设，其中，
则，，，
，
所以，，
翻折后，如下图所示：

因为平面平面，平面平面，平面，
，平面，
平面，，又因为，

，
，则，故当时，即当时，取得最小值，
则在翻折前，在中，为的角平分线，
所以，，即.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9. 如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（）

A. 椭圆的长轴长为8B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为D. 椭圆的一个方程可能为
【答案】BD
【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，
∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则，
所以，离心率为，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，则椭圆的方程为.故选：BD.
10. 已知直线：，直线：，则下列命题正确的有（）
A. 直线恒过点B. 存在m使得直线的倾斜角为
C. 若，则或D. 不存在实数m使得
【答案】AB
【详解】对于A，直线：，当时，，故直线恒过点，A正确；
对于B,当时，直线：即，的倾斜角为，B正确；
对于C, 当时，:即，直线：即，此时两直线不平行，
故当时，若，此时有 ，则或，
当时，:即,:即，两直线重合，不合题意，故C错误；
对于D，当时，:即，:即，此时，D错误，故选：AB.
11. 以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（）
A. 双曲线与椭圆有相同的焦点
B. 在平面内，设、为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆
C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有且仅有3条
【答案】AD
【详解】解：对于A：双曲线与椭圆的焦点均为，故A正确；
对于B：根据椭圆的定义，在平面内，设、为两个定点，为动点，
当时，动点的轨迹为椭圆，
当时，动点的轨迹为线段，
当时，动点的轨迹不存在，故B错误；
对于C：方程的两根为，，不能为椭圆和双曲线的离心率，故C错误；
对于D：双曲线的右焦点为，，，
当直线的斜率不存在时，代入双曲线中，可得，所以；
当直线的斜率存在时，设其直线方程为，联立，
可得，显然，
所以，
所以，，
所以，
解得，故D正确.
故选：AD.
12. 棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，若，则下列说法中正确的有（）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 二面角的正切值的取值范围为
C. 当时，平面截正方体所得截面为等腰梯形
D. 当时，EG与平面所成的角最大
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 可得点G是线段上的一个动点，
又因为正方体中,平面平面平面 ,故平面，所以点G到平面的距离为定值，
而,所以三棱锥是定值,又因为，
故三棱锥的体积为定值，A正确；
对于B，当时，点G与点C重合，


此时都是等腰三角形，设M为中点，则,
则为二面角的平面角， ,
则 ,即为钝角，
此时二面角的平面角大于，
此时二面角的正切值小于0，所以B不正确；
对于C中，当 时，此时 即点G为的中点，如图所示，

连接 ，此时 ，
在正方体中，因为E，F分别为棱，的中点，
可得,且 ，
在直角 中，可得 同理
所以四边形为等腰梯形，即平面截正方体所得截面为等腰梯形，所以C正确；
对于D，设N为的中点，连接,则平面，,

则为EG与平面所成的角，
当时， ,
在中， ,故 ,
即,则,即时，最小，
故,当 最小时，最大，
即当时，EG与平面所成的角最大，D正确，
故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.
【答案】.
【详解】设圆心坐标为,点和在圆上，
，即，解之得，可得圆心为.
半径,圆的方程为.
故答案为：.
14.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　. 

【详解】如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.
∴直线l的斜率的取值范围为-33,33.
【答案】-33,33
15. 已知抛物线方程为y2＝﹣4x，直线l方程为2x+y﹣4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为．
【答案】－1
【详解】由题意，点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线2x+y﹣4＝0的垂线，此时m+n＝|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），
则＝，则m+n的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．

16. 已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则___________.
【答案】
【详解】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得
故答案为：
四、解答题（17题10分，其他各题每题12分）
17. 已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或.
【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
18. 已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4x＋3y－23＝0；公共弦长
【小问1详解】
圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圆心C1（1，3），半径，
C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圆C2（5，6），半径，
|C1C2|＝，
∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，
∴圆C1和圆C2相交．
【小问2详解】
∵两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：
8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．
圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离，
∴圆C1和圆C2的公共弦长．
19. 已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【详解】（1）设是曲线上任意一点，由题意可得：，
整理可得：，
（2）存在，理由如下：
设过点的直线与曲线的交点为，，
设直线的方程为，
由得：，，
所以，
又，，
由，可得，
所以，
，
将代入上式可得：对任意的实数恒成立，
所以，解得：，
所以存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有，且的取值范围.
20. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，．

（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）取BC的中点O，连结AO,,，

为等腰直角三角形，所以，；
侧面为菱形，，
所以三角形为为等边三角形，所以，
又，所以，又，满足，所以；
因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.

则，，，，
若存在点M，则点M在上，不妨设，
则有，则，
有，，
设平面的法向量为，
则解得：
平面的法向量为
则
解得：或（舍）
故存在点M，.

21. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，，理由见解析.
【小问1详解】
取PC的中点O，连接ON，OB，
∵为的中点，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴四边形ABON为平行四边形，∴，
∵平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC；
【小问2详解】
过点A作AGBC，交CD于点G，则，
因为平面，平面，
所以，所以两两垂直，
以A为坐标原点，AG，AB，AP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面ANC的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
所以点到平面的距离；
【小问3详解】
设，故，所以，
所以，
由（1）可得，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，则，则，
则，
整理得：，解得：或(舍去)，
故即.
22. 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【答案】（1）
（2）存在
【解析】解：抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
小问2详解】
解：设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.