高中物理高考 必修2 第五章 从教材走向高考

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【教材原题】
解析 小球刚好通过圆形轨道最高点时需满足
mg＝eq \f(mveq \\al(2,高),R)①
小球从开始下落到圆形轨道最高点，由机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,高)＋mg·2R②
结合①②得h＝2.5R
答案 2.5R
【迁移深化】
1．解析 小物块从C到A的运动是平抛运动。
(1)设小球在C处的速度为vC，则由C到A有
x＝vCt，y＝2R＝eq \f(1,2)gt2。
由以上两式得veq \\al(2,C)＝eq \f(gx2,4R)。
小球从A到C有WF－2mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)，
解得WF＝mg(2R＋eq \f(x2,8R))＝(0.5x2＋0.5) J。
(2)当WF最小时，物块刚好能够通过C点，
此时mg＝eq \f(mveq \\al(2,C),R)。
由C到A仍做平抛运动，所以veq \\al(2,C)＝eq \f(gx2,4R)仍成立。
由以上两式得x＝2R。代入公式可求得恒力做功的最小值为WFmin＝(0.5＋0.5×4×0.252) J＝0.625 J。
答案 (1)(0.5x2＋0.5) J (2)0.625 J
2．解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为Ep＝5mgl①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＋μmg(5l－l)②
联立①②式，并代入题给数据得
vB＝eq \r(6gl)③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
eq \f(mv2,l)－mg≥0④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,D)＋mg·2l⑤
联立③⑤式得vD＝eq \r(2gl)⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝eq \f(1,2)gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2eq \r(2)l⑨
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)MvB′2≤Mgleq \(○,\s\up1(11))
Ep＝eq \f(1,2)MvB′2＋μMg·4leq \(○,\s\up1(12))
联立①⑩eq \(○,\s\up1(11))eq \(○,\s\up1(12))式得
eq \f(5,3)m≤M答案 (1)eq \r(6gl) 2eq \r(2)l (2)eq \f(5,3)m≤M3．解析 (1)设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有
eq \f(F0,mg)＝tan α①
F2＝(mg)2＋Feq \\al(2,0)②
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
F＝meq \f(v2,R)③
由①②③式和题给数据得
F0＝eq \f(3,4)mg④
v＝eq \f(\r(5gR),2)⑤
(2)设小球到达A点的速度大小为v1，作CD⊥PA，交PA于D点，由几何关系得
DA＝Rsin α⑥
CD＝R(1＋cs α)⑦
由动能定理有
－mg·CD－F0·DA＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)⑧
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为
p＝mv1＝eq \f(m\r(23gR),2)⑨
(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为v⊥，从c点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有
v⊥t＋eq \f(1,2)gt2＝CD⑩
v⊥＝vsin αeq \(○,\s\up3(11))
由⑤⑦eq \(○,\s\up1(10))eq \(○,\s\up1(11))式和题给数据得
t＝eq \f(3,5)eq \r(\f(5R,g))eq \(○,\s\up3(12))
答案 (1)eq \f(3,4)mg eq \f(\r(5gR),2) (2)eq \f(m\r(23gR),2) (3)eq \f(3,5)eq \r(\f(5R,g))
【教材原题】(人教版必修2〈问题与练习〉·P80·T2)
【迁移深化2】改变条件和情境
游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来(图7.9－4)。我们把这种情形抽象为图7.9－5 的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点。如果已知圆轨道的半径为R，h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力。
2.(2016·全国卷Ⅱ，25)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图2所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
图2
【迁移深化1】改变获得速度的方法
【迁移深化3】改变条件和情境
1.如图1所示，在竖直面内有一光滑水平直轨道与半径为R＝0.25 m的光滑半圆形轨道在半圆的一个端点B相切，半圆轨道的另一端点为C。在直轨道上距B为x(m)的A点，有一可看作质点、质量为m＝0.1 kg的小物块处于静止状态。现用水平恒力将小物块推到B处后撤去恒力，小物块沿半圆轨道运动到C处后，恰好落回到水平面上的A点，取g＝10 m/s2。求：
图1
(1)水平恒力对小物块做功WF与x的关系式；
(2)水平恒力做功的最小值。
3.(2018·全国卷Ⅲ，25)如图3，
在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sin α＝eq \f(3,5)。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
图3