2021-2022学年广西贺州市钟山中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广西贺州市钟山中学高二上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．集合，1，，，则（    ）

A． B． C．， D．，1，

【答案】C

【分析】直接根据交集的定义即可求解.

【详解】解：,1,，

,

故选：C.

2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则7个剩余分数的方差为（    ）

A． B． C．36 D．

【答案】B

【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出，再求出方差.

【详解】由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，

所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，.

这组数据的平均数是，.

这组数据的方差是.

故选：B.

3．已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4．在等比数列中，已知，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】A

【分析】用基本量表示出来可以求；或者考虑下标和公式.

【详解】在等比数列中，，解得，

则.

故选：A.

5．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，

结合勾股定理，底面半径，

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

6．函数其中，的图象的一部分如图所示，，要想得到的图象，只需将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移2个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移2个单位长度

【答案】B

【分析】根据图象求出函数的解析式，然后根据图象变换关系进行求解即可.

【详解】函数的周期，即，得，

则，

由五点对应法得，得，

得，

为得到，

则只需要将的图象向右平移2个单位，即可得到的图象，

故选：B.

7．函数在的图像大致为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．

【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

8．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

9．执行如图所示的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.

【详解】输入的为，

不满足条件；

不满足条件；

满足条件

输出，故选C．

【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．

10．已知函数为奇函数，且对任意的，恒成立，当时，，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由奇函数的定义和恒成立，推得的最小正周期为4，结合所给的解析式，计算可得所求值.

【详解】由函数为奇函数，可得.

对任意的，恒成立，

可得，即有，

所以是周期函数，且4为其周期，

所以.

当时，，可得，

所以，

则.

故选：.

11．关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】C

【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C．

【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，若，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先作图，，得到，再根据余弦定理求得的值即可求解.

【详解】作图如下：

由已知可得，，

，

，

，

，

在三角形中，有余弦定理可得：

，

，

，

所以三角形的周长为，

故选：B.

二、填空题

13．已知向量，且，则_______.

【答案】2

【详解】由题意可得解得.

【名师点睛】（1）向量平行：，,.

（2）向量垂直：.

（3）向量的运算：.

14．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则___________.

【答案】

【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可

【详解】根据正弦定理可得，，，，

则，又，则，故.

得，

故答案为：.

15．已知数列的前n项和为，且，则________．

【答案】1022

【分析】利用结合确定数列是等比数列，得公比，由等比数列前项和公式计算．

【详解】因为，所以，所以，即．因为，所以，则是首项为2，公比为2的等比数列，故．

故答案为：1022．

16．若某个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积是___________.

【答案】##

【分析】由三视图可知该几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥，如图，设该正四棱锥的底面正方形的对角线交点为，则底面，且，在上取点，使得，由对称性可知点即为该四棱锥的外接球的球心，然后解三角形，通过勾股定理建立方程求出球的半径，从而得球的体积.

【详解】由三视图可知该几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥，

如图，设该正四棱锥的底面正方形的对角线交点为，

则底面，且，在上取点，使得，

由对称性可知点即为该四棱锥的外接球的球心，设球的半径为，

则，又易知，，

在中，由勾股定理可得，

，解得，

该几何体外接球的体积是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值；(2)由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得结果.

【详解】（1）∵，可得：，

∴由余弦定理可得：，     

 又∵，∴

（2）由及正弦定理可得：，

∵，，

∴由余弦定理可得：，

∴解得：，，

∴

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

18．已知数列为等比数列，，，，.

(1)求数列､的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由，求得数列的公比，再由等比数列的通项公式得，然后由对数的运算性质得；

（2）根据等差、等比数列的前项和公式，采用分组求和法，即可得解.

【详解】（1）设数列的公比为，则，

所以，

所以，

所以；

（2），

所以

.

19．从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间，，，进行分组，得到概率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值.

（2）用分层抽样的方法从重量在和的柚子中共抽取5个，其中重量在的有几个？

（3）在（2）中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在的柚子最多有1个的概率.

【答案】（1）1025（2）3（3）

【详解】分析：（1）观察最高的那个矩形，矩形横边的中点就是众数.(2)先分别计算出重量在的柚子数和重量在的柚子数，再利用分层抽样的定义求重量在的个数.(3)利用古典概型求重量在的柚子最多有1个的概率.

详解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于（克）

（2）从图中可知，重量在的柚子数

（个）

重量在的柚子数

（个）

从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在的个数为

（个）

（3）由（2）知，重量在的柚子个数为3个，设为，重量在的柚子个数为2个，设为，则所有基本事件有：，

共10种

其中重量在的柚子最多有1个的事件有：，

共7种

所以，重量在的柚子最多有1个的概率.

点睛：（1）本题主要考查众数和分层抽样，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.

20．如图，四边形是正方形，是边长为2的等边三角形，平面平面.

(1)证明：平面平面；

(2)若.求棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）将棱锥的体积转化为棱锥的体积来求得正确答案.

【详解】（1）取的中点，连接，

由，，则是等边三角形，，

平面平面，且平面平面，平面，

平面，平面，，

四边形是正方形，，

平面，平面，

平面，平面平面.

（2）连接，

由（1）知平面，

又，平面，

平面，平面，平面，

由平面平面，平面，则，

平面，平面，

平面，则到面的距离等于到面的距离，

，

，

棱锥的体积为.

21．已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.

(Ⅰ) 求数列的通项公式;

(Ⅱ) 证明.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析

【详解】(Ⅰ)设等比数列的公比为 ，因为成等差数列，所以

S4 + 2S2 =4S4 – S3，即，于是，又 =，

所以等比数列的通项公式为 =.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，所以 = ，

当n为奇数时，随n的增大而减小，所以=；

当n为偶数时，随n的增大而减小，所以=，

故对于，有 .

本题第（Ⅰ）问，由S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列可以求出公比，进而由等比数列的通项公式求出结果；第(Ⅱ)问，先求出，然后分n为奇数与偶数讨论得出数列的最大项与最小项的值.对第（Ⅰ）问，要注意细心计算；第二问，注意分n为奇数与偶数两种情况讨论.

【考点定位】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.

22．已知曲线的方程为：，其中：，且为常数.

（1）判断曲线的形状，并说明理由；

（2）设曲线分别与轴，轴交于点(不同于坐标原点），试判断的面积S是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线与曲线交于不同的两点,且为坐标原点），求曲线的方程.

【答案】（1）圆，理由见解析；（2）的面积为定值4，理由见解析；（3）.

【分析】（1）将曲线的方程化为，即可得到曲线的形状；（2）得到点坐标，计算三角形的面积，即可判定面积为定值；（3）由圆过坐标原点，且，求得，当时，直线与圆相离，舍去，当时，即可求解圆的方程.

【详解】（1）将曲线的方程化为,即.由于恒成立，可知曲线是以点为圆心， 以为半径的圆.

（2）的面积为定值4，证明如下：

在曲线方程中令,得，得点，

在曲线方程中令，得，得点，，为定值.

（3）圆过坐标原点，且，，

当时， 圆心坐标为，圆的半径为，

圆心到直线的距离,

直线与圆相离，不合题意，舍去，

当时，圆心坐标为，圆的半径为，此时圆心到直线的距离为，符合题意.

这时曲线的方程为.