2023届四川省成都市第七中学高三12月一诊模拟卷（一）数学理科（word版）

这是一份2023届四川省成都市第七中学高三12月一诊模拟卷（一）数学理科（word版），共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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高2023届四川省成都七中高三一诊-----数学模拟卷（一）
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{(x，y)|(x＋y＋1)(2x－y＋1)＝0}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
2.若复数(4＋ai)(1＋i)(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－4 B．3 C．4 D．5
3.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B． C． D．
4．已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0＝(　　)
A．－32 B．32 C．64 D．－64
5．已知a＝tan (－)，b＝cos ()，c＝sin (－)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．a>c>b
6．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m＞0，n＞0)，则＋的最小值为(　　)
A．10 B．9 C．8 D．4



7.设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则(　　)
A．a C．c 9.考拉兹猜想又名3n＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1，阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i＝(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9
10.如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从A点出发，沿几何体表面爬行，首先到达C点，然后沿凸起部分的表面到达B点，则小蚂蚁走过的最短距离为(　　)

A．4＋2 B．4＋22＋10π
C．4＋42 D．122＋10π
11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)和点M(，0).若存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足＝λ(0＜λ＜)，则椭圆C的离心率取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，)
C．(，1) D．(，1)
12.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是(　　)
A．(－∞，ln 2) B．(ln 2，＋∞)
C．(0，e2) D．(e2，＋∞)



第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知Sn是等比数列的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列的公比为_______________
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
15.已知球O是正四面体SABC的外接球，E为线段BC的中点，过点E的平面α与球O形成的截面面积的最小值为6π，则正四面体SABC的体积为_____
16．已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ex＋ax2＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(x∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan，求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.











18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)，数学成绩的频数分布直方图如下：

(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；
(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望.
附参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ























19.如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O是BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积．












20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值．
















21.已知函数f(x)＝(2x－1)ln x＋x－1.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求证：f(x)>－1.














请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin ＝4.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线C1上的点，点Q是曲线C2上的点，求|PQ|的最小值．






23．选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|.
(1)解不等式f(x)≥6；
(2)已知a>0，b>0，g(x)＝f(x)－|x＋1|的最大值为m，＋＝m，求a2＋b2的最小值．


绝密☆启封并使用完毕前
高2023届四川省成都七中高三一诊-----数学模拟卷（一）
数 学（理工类）
1．D.
2. C.
3. B.
4．A.
5．B.
6．C.
7.D.
8．C.
9. C.
10. A.
11．C.
12. A.
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． q＝2.
14.答案：
15. 8.
16．答案：－
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(x∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan，求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.
【解析】(1)因为点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)，所以Sn＝－an，
当n≥2时，Sn－1＝－an－1，
所以an＝an－1－an，化为an＝an－1，
当n＝1时，a1＝S1＝－a1，解得a1＝.
所以an＝×＝×()n＝()2n＋1.
(2)对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，
所以cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3
＝＝(n＋1)(n－1).
所以当n≥2时，＝
＝(－)，所以＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＜(1＋)＝，
又＋＋…＋≥＝.
所以≤＋＋＋…＋＜.

18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)，数学成绩的频数分布直方图如下：

(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；
(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望.
附参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 解　(1)数学成绩的平均分为
(0.012×45＋0.020×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95)×10＝65.9，
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些.
(2)语文成绩优秀的概率为p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×＝0.02，
数学成绩优秀的概率为p2＝×10＝0.05，
语文成绩优秀人数为200×0.02＝4，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10.
(3)语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，X所有可能的取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

19.如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O是BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积．
【规范解答】 (1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，…………2分

因为AO⊂平面ABD，
平面ABD⊥平面BCD且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD. …………4分
(2)以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，
设C(，，0)，D(0，1，0)，B(0，－1，0)，
A(0，0，m)，E(0，，m)，…………5分
因为＝，＝(，，0)，
设n1＝(x1，y1，z1)为平面EBC法向量，
所以，
所以，
令y1＝1，所以z1＝－，x1＝－，
所以n1＝，…………7分
平面BCD法向量为＝(0，0，m)，
cos 〈n1，〉＝＝，解得m＝1，…………9分
所以OA＝1，所以S△ABD＝×BD×OA＝×2×1＝1，VA­BCD＝·S△ABD·|xC|＝.…………12分

20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值．
【解析】(1)由题意可知2b＝2，b＝1，
又椭圆离心率为，则a＝，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，＋＝，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝＝，同理可得|CD|＝，
所以＋＝＋＝＝.

21.已知函数f(x)＝(2x－1)ln x＋x－1.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求证：f(x)>－1.
【解析】(1)由f(x)＝(2x－1)ln x＋x－1，
得f′(x)＝2ln x－＋3，
所以f′(1)＝2，f(1)＝0，则切线方程为y＝2x－2.
(2)f′(x)＝2ln x－＋3，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝2ln x－＋3，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝＋＝>0，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h(1)＝2>0，h＝1－ln 4＝ln <0，
又h(x)在(0，＋∞)上连续，
所以存在x0∈使得h(x0)＝0，即f′(x0)＝0，
所以2ln x0－＋3＝0.(*)
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：
x
(0，x0)
x0
(x0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)ln x0＋x0－1.
由(*)式得ln x0＝－，代入上式得
f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)＋x0－1
＝－2x0－＋.
令t(x)＝－2x－＋，x∈，
t′(x)＝－2＝<0，
故t(x)在上单调递减．
所以t(x)>t(1)，又t(1)＝－1，
即f(x0)>－1，所以f(x)>－1.


请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin ＝4.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线C1上的点，点Q是曲线C2上的点，求|PQ|的最小值．
【解析】(1)由ρsin ＝4得：
ρsin θ＋ρcos θ＝4，
将，代入得曲线C2，得直角坐标方程为：x＋y＝4.
(2)由题意，可设P(cos φ，sin φ)，由点到直线的距离公式可得：
点P到直线x＋y＝4的距离为：
d＝
由题意可得：|PQ|≥d，
即|PQ|≥
＝≥2，
所以，|PQ|的最小值为2.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|.
(1)解不等式f(x)≥6；
(2)已知a>0，b>0，g(x)＝f(x)－|x＋1|的最大值为m，＋＝m，求a2＋b2的最小值．
【解析】(1)函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|＝，
当x>2时，不等式f(x)≥6即为x＋4≥6，解得x≥2，所以x>2；
当－1≤x≤2时，不等式f(x)≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x＝2；
当x<－1时，不等式f(x)≥6即为－x－4≥6，解得x≤－10，所以x≤－10.
综上所述，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－10或x≥2}；
(2)g(x)＝f(x)－|x＋1|
＝|x＋1|－|x－2|≤|(x＋1)－(x－2)|
＝3，
所以g(x)的最大值为m＝3，
则＋＝3，
故a2＋b2＝(a2＋b2)·
＝
≥＝，当且仅当＝且＝，即a＝b＝时取等号，
故a2＋b2的最小值为.