2022-2023学年湖北省部分优质重点高中高三上学期12月联考数学试题（解析版）

湖北省优质重点高中高三联考

数学考试

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。可答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，直线与圆。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．若复数z满足方程，则（    ）

A．     B．     C．     D．

3．在公比为负数的等比数列中，，则（    ）

A．48     B．     C．80     D．

4．已知函数则“”是“有2个零点”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

5．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（    ）

A．     B．    C．     D．

6．已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）

A．     B．     C．26     D．28

8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，是边长为2的正三角形，E，F分别是棱上的动点，则的最小值是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，设命题p：对任意的定义域与值域都相同．下列判断正确的是（    ）

A．p是真命题   B．p的否定是“对任意的定义域与值域都不相同”

C．p是假命题   D．p的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同”

10．某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（    ）

A．                 B．

C．1等奖的面值为3130元     D．3等奖的面值为130元

11．已知点，若圆上存在唯一的点P，使得，则u的值可能为（    ）

A．     B．     C．1     D．7

12．已知，设，则（    ）

A．     B．     C．     D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设向量的夹角的余弦值为，且，则___________．

14．的值为___________．

15．若，且，则的最小值为___________，的最大值为___________．（本题第一空2分，第二空3分）

16．颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知．

（1）求；

（2）若，求的面积．

18．（12分）

如图，在正四棱柱中，，点E在上，且．

（1）若平面与相交于点F，求；

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）

将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．

（1）若为奇函数，求的值；

（2）若在上单调，求的取值范围．

20．（12分）

已知数列的前n项和为，且是公差为2的等差数列．

（1）求的通项公式以及；

（2）证明：．

21．（12分）

已知圆W经过三点．

（1）求圆W的方程．

（2）若经过点的直线与圆W相切，求直线的方程．

（3）已知直线与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

22．（12分）

已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，求k的取值范围．

湖北省优质重点高中高三联考

数学考试参考答案

1．D  因为，所以．

2．B  由，得，则，故．

3．A  设公比为q，由，得，因为，所以．

故．

4．C  当时，只有1个零点，且该零点为负数；当时，若有零点，则，即，此时只有1个零点，且该零点为正数．故“”是“有2个零点”的充要条件．

5．C  由图可知，，噪音的声波曲线的最小正周期，则．因为噪音的声波曲线过点，所以，则．又，所以，即噪音的声波曲线为，则可以用来智能降噪的声波曲线为．

6．D  设该圆台的高为h，则，解得．设球心O到下底面的距离为t，则，解得，则球O的半径，故球O的表面积为．

7．C  设直线与曲线切于点，与曲线切于点．对于函数，则，解得或（舍去）．所以，即．

对于函数，则，整理得，所以，故．

8．D  如图，将平面展开到一个平面内，由题意可知，则，从而，故．在中，由余弦定理可得，则．

9．AD  当时，，则的定义域与值域均为，所以p是真命题，且p的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同”．

10．ACD  由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，所以，则，由，可知．由，解得，则3等奖的面值为130元，，故1等奖的面值为3130元．

11．ACD  因为的中点为定点，且，所以P在以N为圆心，为半径的圆N上，依题意可得圆N与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，解得．

12．BCD  令，

则在上单调递减，所以，

则在上单调递增，所以，

即，即，即．

令，

，

所以在上单调递减，所以，

得在上单调递减，

则，即．

13．  由题意可知．

14．  ．

15．25；  由，可知，，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为25．

又，当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为．

16．  连接，交于点H，由题意得，

设，则，

因为所以，

六棱锥的高．

正六边形的面积，

则六棱锥的体积．

令函数，

则，

当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．

17．解：（1）因为，

所以，即，

所以，

即，

又，所以．

（2）因为，

所以，

又，解得，

所以的面积．

18．解：（1）如图，连接，因为平面，平面平面，所以．

连接，因为，所以，所以，

又，所以．

（2）以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．

设平面的法向量为，则令，得．

设平面的法向量为，则令，得．

．

由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

19．解：（1）因为，

所以．

因为为奇函数，所以，

即，又，所以的值为．

（2）因为，所以．

因为，所以，

又在上单调，所以或或，

所以的取值范围是．

20．（1）解：由题意可知，

整理可得，①

则，②

由②-①可得，

整理可得，

因为，所以，

因为，所以，

．

（2）证明：当时，成立．

当时，

．

综上，得证．

21．解：（1）设圆W的方程为，

则解得

则圆W的方程为．

（2）由（1）可知，圆W的圆心坐标为，半径为3．

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心W到直线的距离为，不符合题意．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，则圆心W到直线的距离为，解得，故直线的方程为．

（3）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，

则，整理得．

又，解得，所以直线的方程为，此时经过点A，不符合题意．

若直线的斜率存在，则设直线的方程为，

联立方程组整理得，

则．

，则，整理得，得或（舍去）．故直线的方程为，经过定点．

综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．

22．解：（1）当时，，则．

当时，单调递减，当时，单调递增，

则，即．

当时，．

当时，，当时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）．

令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故．

令，则等价于．因为，所以等价于．

令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，则．

故k的取值范围为．