2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期阶段性测试（三） 数学（word版）

哈三中2022—2023学年度上学期

高三阶段性测试数学试卷

考试时间：120分钟  试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（    ）

A. 172 B. 183 C. 191 D. 211

5. 在正方体中，为中点，过的截面与平面 的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（    ）

A. 117 B. 118 C. 122 D. 123

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 已知是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若两两相交，则交线互相平行

10. 已知函数最小正周期为，则下列说法正确的是（    ）

A. 为的极小值点

B. 图象关于中心对称

C. 在上有且仅有5个零点

D. 的定义域为

11. 如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（    ）

A. 若是的中点，则平面

B. 存在某位置，使

C. 当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为

D. 直线和平面所成的角的最大值为

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 若恒成立，则

B. 当时，的零点只有个

C. 若函数有两个不同的零点，则

D. 当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 等比数列中，，，则_________．

14. 已知，且，则的最小值是__________.

15. 在中，，，与交于点，若，则的值为__________.

16. 在三棱锥中，二面角和的大小都为，，，，则三棱锥的外接球与内切球的表面积的比值为__________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，设角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）求角的最大值.

18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面底面，，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

19. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.

（1）求数列、通项公式；

（2）若，，求数列的前项和.

20. 如图，经过村庄A有两条夹角为公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.

（1）当时，求线段的长度；

（2）设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）

21. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.

（1）求证：；

（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（3），关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围.

哈三中2022—2023学年度上学期

高三阶段性测试数学试卷

考试时间：120分钟  试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

4. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（    ）

A. 172 B. 183 C. 191 D. 211

【答案】C

5. 在正方体中，为中点，过的截面与平面 的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（    ）

A. 117 B. 118 C. 122 D. 123

【答案】C

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若两两相交，则交线互相平行

【答案】BCD

10. 已知函数最小正周期为，则下列说法正确的是（    ）

A. 为的极小值点

B. 的图象关于中心对称

C. 在上有且仅有5个零点

D. 的定义域为

【答案】ACD

11. 如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（    ）

A. 若是的中点，则平面

B. 存在某位置，使

C. 当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为

D. 直线和平面所成的角的最大值为

【答案】ABD

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 若恒成立，则

B. 当时，的零点只有个

C. 若函数有两个不同的零点，则

D. 当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是

【答案】BC

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 等比数列中，，，则_________．

【答案】

14. 已知，且，则的最小值是__________.

【答案】

15. 在中，，，与交于点，若，则的值为__________.

【答案】

16. 在三棱锥中，二面角和的大小都为，，，，则三棱锥的外接球与内切球的表面积的比值为__________.

【答案】

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，设角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）求角的最大值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可；

（2）根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

由，

由正弦定理可得：，

由余弦定理可知：；

【小问2详解】

由（1）可知：，

当且仅当时取等号，

由余弦定理可知：，

因为，所以，因此角的最大值为.

18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面底面，，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用线面平行判定定理作辅助线证明.

（2）通过面面垂直的性质作辅助线证明线面垂直，再建立直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，再利用公式求线面角的正弦值.

【小问1详解】

取中点，连接.

为中点       

又   四边形为平行四边形

   平面，平面

平面

【小问2详解】

取中点，因为中，，所以

又因为侧面底面，平面平面，平面

所以平面   因为，所以

如图，以点为原点，所在直线分别为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系.

则,，设平面法向量为，

则，令，得

设直线和平面所成角为，则.

19. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若，，求数列的前项和.

【答案】（1），；，   

（2），.

【解析】

【分析】对于（1），设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得通项公式.设的前项和为，则，据此可得通项公式；

对于（2），由（1）可得，注意到，据此可得.

【小问1详解】

设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得，

两式相除得，又，得.

将代入，得，故，.

设的前项和为，则，

得，.又

则，结合，得，.

综上：通项公式为，，通项公式为，.

【小问2详解】

由（1）可得，，.

则，.

注意到，

则

，.

故，.

【点睛】关键点点睛：本题涉及求数列通项公式及裂项法求和，需注意以下几点：

（1）求等比数列通项公式时，常巧用上下同除达到消元目的.

（2）能发现（2）问中裂项式，是注意到这一恒等式.

20. 如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.

（1）当时，求线段的长度；

（2）设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）在中求得，然后在中由勾股定理求得；

（2）在中由正弦定理求得，然后在中由余弦定理求得，再利用三角函数恒等变换，结合正弦函数性质得最大值．

【小问1详解】

，，则，又，

∴，，，

∴；

【小问2详解】

，则，

由正弦定理得，

由余弦定理得

，

由三角形知，，

当且仅当，即时，取得最大值3，工厂产生的噪音对居民的影响最小．

21. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.

（1）求证：；

（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）点存在，.

【解析】

【分析】（1）连接与相交于点，连接， 证明平面，可得，再利用已知条件证明平面，可证得.

（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用法向量表示平面与平面的夹角的余弦，求出点坐标.

【小问1详解】

连接与相交于点，连接，如图所示：

四边形为菱形，∴为的中点，有，

为等边三角形，有，

平面，，∴平面，

平面，∴，

四边形为菱形，∴，

平面，，

平面，平面，∴

【小问2详解】

分别为的中点，连接，

由（1）可知，又，

平面，，平面，

，平面，

为等边三角形，，

以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

由，，∴，，

设，则，有,

∴，，，

设平面的一个法向量，则有，

令，则，，即，

平面的一个法向量为的方向上的单位向量，

若平面与平面的夹角的余弦值为，则有，

，由，∴，解得.

所以，点存在， .

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（3），关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析．   

（2）；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）求出导函数分类讨论确定的正负得单调性；

（2）由（1）的单调性，结合零点存在定理确定零点个数，从而得参数范围；

（3）不等式分离参数得，右边引入新函数，由导数求得新函数的最大值后可得参数的范围．

【小问1详解】

，

时，恒成立，在上是增函数，

时，时，，减函数，时，，是增函数，

综上，时，在R上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；

【小问2详解】

，

由（1）时，只有一个零点，

时，若时，则由在上递减得，显然足够大时，，因此在上还有一个零点，不合题意；

时，由（1）知是极小值也是最小值，函数只有一个零点，此时；

时，在上递增，有一个零点，因此，

此时，时，，因此在上也有一个零点，不合题意，

综上，的取值范围是；

【小问3详解】

不等式即为，又，

所以恒成立，

设，，

则，

由（1）知，从而，且时，，

所以时，，递增，时，，递减，

所以时，，

所以，．

【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，一般有两种方法：

（1）直接由不等式引入函数，利用导数求得函数的最值，然后由最值满足的不等关系求得参数；

（2）分离参数后，引入新函数，由导数得新函数的最值，然后可得参数范围．