2022-2023学年广西贵港市高一上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年广西贵港市高一上学期1月期末质量检测数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定定义求解即可.

【详解】根据全称命题的否定定义，命题“，”的否定是“，”.

故选：A．

2．若全集，集合，则可能为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由已知条件求出，则可求得集合中的元素，从而可判断集合.

【详解】因为全集，集合，

所以，

所以，

所以只有选项C的集合符合条件，

故选：C

3．（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正切的诱导公式化简后计算即可.

【详解】，

故选：A

4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及可求得结果.

【详解】因为函数的定义域为，

所以要使有意义，则

，解得且，

所以原函数的定义域为，

故选：C．

5．“是第二象限角”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合象限角的范围分析判断.

【详解】因为是第二象限角，

所以，

所以，

所以，

当时，，

当时，，

所以“是第二象限角”是“”的必要不充分条件，

故选：B．

6．已知，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.

【详解】令，所以，，

所以．

故选：C．

7．若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【分析】由题意知是偶函数，在上单调递减,可得为正偶数，再根据的范围可得答案.

【详解】由题意知是偶函数，因为在上单调递减,

所以为正偶数，

又，

∴，解得或．

故选：D．

8．若函数，则下列函数为奇函数的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合奇函数的定义判断各选项即可.

【详解】因为，

所以，定义域为，不关于原点对称，故A，C错误；

因为，定义域为，

又，所以不是奇函数，故B错误；

，定义域为，

又，所以是奇函数，故D正确.

故选：D．

二、多选题

9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

则一定包含的零点的区间是（    ）A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.

【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，且，，，

根据零点存在性定理可知，函数的零点的区间是．

故选：ACD

10．将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移（）个单位长度得到的图象．则（　　）

A．若为奇函数，则的值可能为

B．若为奇函数，则的值可能为

C．若为偶函数，则的值可能为

D．若为偶函数，则的值可能为

【答案】BCD

【分析】先利用三角函数图象变换规律表示出的解析式，然后根据函数奇偶性的性质逐个分析判断即可.

【详解】将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，

再向左平移（）个单位长度得到的图象，则

，

若为奇函数，则，即，

当时，，当时，，所以A错误，B正确；

若为偶函数，，即，

当时，，当时，，所以C正确，D正确；

故选：BCD．

11．若（，且）在上单调递增，则的值可能是（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】BC

【分析】结合分段函数的单调性即可求解.

【详解】根据题意，（，且）在上单调递增，

则有，解得，

故选：BC．

12．函数满足，，，则（　　）

A． B．

C．为奇函数 D．

【答案】BCD

【分析】利用赋值法可判断AB选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可判断D选项.

【详解】在等式中，令，可得，

在等式中，令，可得，A错；

在等式中，令，可得，①

在等式中，令，可得，②

①②可得，B对；

令，其中，则，

即，故函数为奇函数，C对；

因为，则，

又因为，

上述两个等式相加可得，D对.

故选：BCD.

三、填空题

13．的值为 _____．

【答案】##

【分析】利用两角差的正弦公式的逆用即可求解.

【详解】.

故答案为：．

14．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，如图，这是折扇的示意图，OA＝4，（扇环ABCD）部分的面积是 _____．

【答案】

【分析】利用可得答案.

【详解】由题意可知，．

故答案为：．

15．若正数满足，则的最大值为 _____．

【答案】4

【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再利用对数的运算性质可求出结果.

【详解】解：由题意得，即，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

即的最大值为4，

故答案为：4．

16．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.

【详解】当时，，令，得，

若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点，

当时，，所以，即.

若，即时，在上恰有一个零点，

所以在上有且仅有4个零点，所以，即，

又，所以.

综上所述：的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．求值：

(1) ；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可；

（2）利用对数的运算性质求解即可.

【详解】（1）原式＝；

（2）原式＝．

18．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数关系即可求解；

（2）利用同角三角函数关系可求出，根据所在象限讨论即可求解.

【详解】（1）由题意得，

解得.

（2）由，代入，得，

当为第一象限角时，，，

所以；

当为第三象限角时，，，

所以．

综上所述，或.

19．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)或，或

(2)

【分析】（1）求出集合，利用集合的并集运算，补集运算和交集运算求解即可；

（2）根据集合的包含关系求解即可.

【详解】（1）由解得或，

所以或，

当时，，或，

所以或，或.

（2）因为，所以，

①当时，，解得；

②当时，或，此时无解，

综上的取值范围为.

20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的油速（单位：m/s）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)若一条鲑鱼的游速为2m/s，求该鱼的耗氧量的单位数；

(2)假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，12s后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值.

【答案】(1)8100

(2)

【分析】（1）将游速为2m/s代入可解出鱼的耗氧量的单位数；

（2）先根据追及问题表示出甲乙的速度差，然后根据可求出各自的耗氧量的单位数的比值.

【详解】（1）由题意得，得.

故该鱼的耗氧量的单位数为8100.

（2）设甲鲑鱼的游速为（单位：m/s），耗氧量的单位数为，乙鲑鱼的游速为（单位：m/s），耗氧量的单位数为.

由题意得，则，

得，得.

21．已知函数．

(1)若，且关于x的不等式的解集是，求的最小值；

(2)设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）由韦达定理得，，再利用基本不等式可得答案；

（2）不等式在上恒成立可得，解不等式组可得答案．

【详解】（1）因为，且关于x的不等式的解集是，

所以和是方程的两根，

所以．

所以＝＝

＝，当且仅当a＝1时等号成立，

所以的最小值为8；

（2）因为关于x的不等式在上恒成立，

所以，所以，解得，

所以a的取值范围为．

22．已知函数．

(1)求的单调递减区间；

(2)若在上有4个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，得，然后由可求出函数的单调递减区间；

（2）由，得或，由可得或，则问题转化为的图象与直线有2个交点，且，从而可求出的取值范围．

【详解】（1）

，

由，得

，

所以的单调递减区间为；

（2）令，

得或，

当时，，

得或，，

因为，所以或，

因为在上有4个零点，

所以的图象与直线有2个交点，且，即，

由，得，

因为，

所以，得，

即的取值范围为.